एक्स की शक्ति के ई के व्युत्पन्न की एक अद्भुत विशेषता। x की घात के घातांक की व्युत्पत्ति की सीमा क्या है

विषय का अध्ययन करते समय सुविधा और स्पष्टता के लिए यहां सारांश तालिका दी गई है।

नियतवाई = सी पावर फ़ंक्शन वाई = एक्स पी (x p)" = p x p - 1	घातांक प्रकार्यवाई = एक्स (ए एक्स)" = ए एक्स एलएन ए विशेष रूप से, कबए = ईअपने पास वाई = ई एक्स (ई एक्स)" = ई एक्स
लघुगणक समारोह (लॉग ए एक्स) "= 1 एक्स एलएन ए विशेष रूप से, कबए = ईअपने पास वाई = लॉग एक्स (एलएन एक्स)" = 1 एक्स	त्रिकोणमितीय कार्य (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
उलटा त्रिकोणमितीय कार्य (ए आर सी पाप एक्स) "= 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी कॉस एक्स)" = - 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी टी जी एक्स) "= 1 1 + एक्स 2 (ए आर सी सी टी जी एक्स)" = - 1 1 + एक्स 2	अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य (s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

आइए विश्लेषण करें कि संकेतित तालिका के सूत्र कैसे प्राप्त किए गए थे, या, दूसरे शब्दों में, हम प्रत्येक प्रकार के फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति को सिद्ध करेंगे।

स्थिरांक का व्युत्पन्न

प्रमाण 1

इस सूत्र को व्युत्पन्न करने के लिए, हम एक बिंदु पर एक फलन के अवकलज की परिभाषा को एक आधार के रूप में लेते हैं। हम x 0 = x का उपयोग करते हैं, जहाँ एक्सकिसी भी वास्तविक संख्या का मान लेता है, या, दूसरे शब्दों में, एक्सफलन f (x) = C के प्रांत से कोई संख्या है। आइए तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा को ∆ x → 0 के रूप में लिखें:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

कृपया ध्यान दें कि व्यंजक 0 ∆ x सीमा चिह्न के अंतर्गत आता है। यह "शून्य से विभाजित शून्य" की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में एक अपरिमेय मान नहीं है, बल्कि शून्य है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फलन की वृद्धि हमेशा शून्य होती है।

अतः, स्थिरांक फलन f (x) = C का अवकलज परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में शून्य के बराबर है।

उदाहरण 1

निरंतर कार्यों को देखते हुए:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 । 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

समाधान

आइए दी गई शर्तों का वर्णन करें। पहले फलन में हम प्राकृतिक संख्या 3 का अवकलज देखते हैं। निम्नलिखित उदाहरण में, आपको इसका व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है ए, कहाँ ए- कोई वास्तविक संख्या। तीसरा उदाहरण हमें अपरिमेय संख्या 4 का अवकलज देता है। 13 7 22 , चौथा - शून्य का व्युत्पन्न (शून्य एक पूर्णांक है)। अंत में, पांचवें मामले में, हमारे पास परिमेय भिन्न - 8 7 का अवकलज है।

उत्तर:किसी भी वास्तविक के लिए दिए गए कार्यों के डेरिवेटिव शून्य हैं एक्स(परिभाषा के संपूर्ण डोमेन पर)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4। 13 7 22" = 0, f 4 "(एक्स) = 0" = 0, एफ 5 "(एक्स) = - 8 7" = 0

पावर फ़ंक्शन डेरिवेटिव

चलिए आगे बढ़ते हैं ऊर्जा समीकरणऔर इसके व्युत्पन्न का सूत्र, जिसका रूप है: (x p) "= p x p - 1, जहां घातांक पीकोई वास्तविक संख्या है।

प्रमाण 2

यहाँ सूत्र का प्रमाण है जब घातांक एक प्राकृतिक संख्या है: पी = 1 , 2 , 3 , …

फिर से, हम अवकलज की परिभाषा पर भरोसा करते हैं। आइए तर्क की वृद्धि के लिए पावर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

(x p) "= lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करते हैं:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +। . . + + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी - एक्स पी = = सी पी 1 एक्स पी - 1 ∆ एक्स + सी पी 2 एक्स पी - 2 (∆ एक्स) 2 +। . . + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी

इस प्रकार:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x +... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = पी! 1! (पी - 1)! एक्स पी - 1 = पी एक्स पी - 1

इसलिए, जब एक्सपोनेंट एक प्राकृतिक संख्या है, तो हमने पावर फंक्शन के डेरिवेटिव के फॉर्मूले को साबित किया।

प्रमाण 3

मामले के लिए सबूत देने के लिए जब पी-शून्य के अलावा कोई वास्तविक संख्या, हम लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का उपयोग करते हैं (यहां हमें लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से अंतर को समझना चाहिए)। अधिक पूर्ण समझ प्राप्त करने के लिए, लघुगणकीय फलन के अवकलज का अध्ययन करना वांछनीय है और साथ ही एक निहित रूप से दिए गए फलन के अवकलज और एक जटिल फलन के अवकलज का अध्ययन करना चाहिए।

दो मामलों पर विचार करें: कब एक्ससकारात्मक और कब एक्सनकारात्मक हैं।

इसलिए x> 0। तब: x p > 0। हम समानता y \u003d x p के लघुगणक को आधार e पर लेते हैं और लघुगणक की संपत्ति को लागू करते हैं:

वाई = एक्स पी एलएन वाई = एलएन एक्स पी एलएन वाई = पी एलएन एक्स

इस स्तर पर, एक अंतर्निहित परिभाषित कार्य प्राप्त किया गया है। आइए इसके व्युत्पन्न को परिभाषित करें:

(ln y) "= (p ln x) 1 y y" = p 1 x ⇒ y "= p y x = p x p x = p x p - 1

अब हम उस मामले पर विचार करते हैं जब एक्स-एक नकारात्मक संख्या।

यदि संकेतक पीएक सम संख्या है, तो x के लिए शक्ति फलन भी परिभाषित है< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

फिर एक्स.पी< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

अगर पीएक विषम संख्या है, तो एक्स के लिए पावर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x) ) पी - 1 = पी एक्स पी - 1

अंतिम संक्रमण संभव है क्योंकि अगर पीएक विषम संख्या है, तो पी - 1या तो एक सम संख्या या शून्य (p = 1 के लिए), इसलिए, ऋणात्मक के लिए एक्ससमानता (- x) p - 1 = x p - 1 सत्य है।

इसलिए, हमने किसी वास्तविक पी के लिए पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध किया है।

उदाहरण 2

दिए गए कार्य:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

उनके डेरिवेटिव निर्धारित करें।

समाधान

हम डिग्री के गुणों के आधार पर दिए गए कार्यों के भाग को सारणीबद्ध रूप y = x p में बदलते हैं, और फिर सूत्र का उपयोग करते हैं:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - लॉग 7 12 x - लॉग 7 12 - 1 = - लॉग 7 12 x - लॉग 7 12 - लॉग 7 7 = - लॉग 7 12 x - लॉग 7 84

घातीय समारोह का व्युत्पन्न

प्रमाण 4

हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

(a x) "= lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

हमें अनिश्चितता मिली। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया चर z = a ∆ x - 1 (z → 0 को ∆ x → 0 के रूप में) लिखते हैं। इस स्थिति में a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a । अंतिम संक्रमण के लिए, लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्र का उपयोग किया जाता है।

आइए मूल सीमा में प्रतिस्थापन करें:

(a x) "= a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

दूसरी अद्भुत सीमा को याद करें और फिर हमें घातीय फलन के अवकलज का सूत्र प्राप्त होता है:

(a x) "= a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

उदाहरण 3

घातीय कार्य दिए गए हैं:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

हमें उनके डेरिवेटिव खोजने की जरूरत है।

समाधान

हम घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और लघुगणक के गुणों के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x "= 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

प्रमाण 5

हम किसी के लिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं एक्सपरिभाषा के क्षेत्र में और लघुगणक के आधार a के किसी भी मान्य मान में। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x लॉग ए लिम ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x लॉग a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

यह समानता की निर्दिष्ट श्रृंखला से देखा जा सकता है कि परिवर्तन लघुगणक संपत्ति के आधार पर बनाए गए थे। समानता सीमा ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e दूसरी उल्लेखनीय सीमा के अनुसार सत्य है।

उदाहरण 4

लघुगणकीय कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = लॉग लॉग 3 एक्स, एफ 2 (एक्स) = लॉग एक्स

उनके डेरिवेटिव की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए व्युत्पन्न सूत्र लागू करें:

एफ 1 "(एक्स) = (लॉग एलएन 3 एक्स)" = 1 एक्स एलएन (एलएन 3); f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

तो प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न एक से विभाजित होता है एक्स.

त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव

प्रमाण 6

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए हम कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों और पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करते हैं।

साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

ज्याओं के अंतर का सूत्र हमें निम्नलिखित क्रियाएं करने की अनुमति देगा:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

अंत में, हम पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करते हैं:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

तो समारोह का व्युत्पन्न पाप एक्सइच्छा कॉस एक्स.

हम कोज्या व्युत्पन्न के सूत्र को भी इसी प्रकार सिद्ध करेंगे:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

वे। फलन cos x का अवकलज होगा - पाप एक्स.

हम विभेदन के नियमों के आधार पर स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos" x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin" x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव

व्युत्क्रम कार्यों के व्युत्पन्न पर अनुभाग आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्रों के प्रमाण पर व्यापक जानकारी प्रदान करता है, इसलिए हम यहां सामग्री की नकल नहीं करेंगे।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के डेरिवेटिव

प्रमाण 7

हम विभेदन नियम और घातीय फलन के व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करके अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोस्पर्शज्या के व्युत्पन्नों के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

एस एच "एक्स = ई एक्स - ई - एक्स 2" = 1 2 ई एक्स "- ई - एक्स" == 1 2 ई एक्स - ई - एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2 = सी एच एक्स सी एच "एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2" = 1 2 ई एक्स "+ ई - एक्स" == 1 2 ई एक्स + - ई - एक्स = ई एक्स - ई - एक्स 2 = एस एच एक्स टी एच "एक्स = एस एच एक्स सी एच एक्स" = एस एच "एक्स सी एच एक्स - एस एच एक्स सी एच" एक्स सी एच 2 एक्स = सी एच 2 एक्स - एस एच 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h" x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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तालिका के पहले सूत्र को प्राप्त करते समय, हम एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे। चलो कहाँ ले लो एक्स- कोई वास्तविक संख्या, अर्थात्, एक्स- फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र से कोई भी संख्या। आइए तर्क वृद्धि के लिए फ़ंक्शन वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीमा के संकेत के तहत, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो शून्य से विभाजित शून्य की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में एक अपरिमेय मान नहीं होता है, लेकिन ठीक शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फलन की वृद्धि हमेशा शून्य होती है।

इस प्रकार, एक स्थिर कार्य का व्युत्पन्नपरिभाषा के संपूर्ण डोमेन पर शून्य के बराबर है.

एक शक्ति समारोह का व्युत्पन्न।

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का रूप है , जहां प्रतिपादक पीकोई वास्तविक संख्या है।

आइए हम पहले प्राकृतिक घातांक के सूत्र को सिद्ध करें, अर्थात पी = 1, 2, 3, ...

हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करेंगे। आइए तर्क की वृद्धि के लिए पावर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र की ओर मुड़ते हैं:

इस तरह,

यह एक प्राकृतिक घातांक के लिए एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध करता है।

घातीय समारोह का व्युत्पन्न।

हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त करते हैं:

अनिश्चितता में आ गया। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया चर पेश करते हैं, और के लिए। तब । पिछले संक्रमण में, हमने लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्र का उपयोग किया था।

आइए मूल सीमा में प्रतिस्थापन करें:

यदि हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा को याद करते हैं, तो हम घातीय कार्य के व्युत्पन्न के सूत्र पर आते हैं:

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न।

आइए हम सभी के लिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध करें एक्सदायरे और सभी मान्य आधार मूल्यों से एलघुगणक। व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

जैसा कि आपने देखा, प्रमाण में, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके परिवर्तन किए गए थे। समानता दूसरी उल्लेखनीय सीमा के कारण मान्य है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव।

त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें कुछ त्रिकोणमिति सूत्रों के साथ-साथ पहली उल्लेखनीय सीमा को याद करना होगा।

साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है .

हम ज्या के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पहली उल्लेखनीय सीमा की ओर मुड़ना बाकी है:

तो समारोह का व्युत्पन्न पाप एक्सवहाँ है कॉस एक्स.

कोज्या व्युत्पन्न का सूत्र ठीक उसी तरह सिद्ध होता है।

इसलिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कॉस एक्सवहाँ है -सिन एक्स.

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए डेरिवेटिव की तालिका के सूत्रों की व्युत्पत्ति भेदभाव के सिद्ध नियमों (एक अंश के व्युत्पन्न) का उपयोग करके की जाएगी।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के डेरिवेटिव।

डेरिवेटिव की तालिका से घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए विभेदन के नियम और सूत्र हमें अतिशयोक्तिपूर्ण साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।

व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न।

ताकि प्रस्तुति में कोई भ्रम न हो, आइए निचले सूचकांक में उस फ़ंक्शन के तर्क को निरूपित करें जिसके द्वारा भेदभाव किया जाता है, अर्थात यह फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है च (एक्स)द्वारा एक्स.

अब हम तैयार करते हैं व्युत्क्रम फलन का अवकलज ज्ञात करने का नियम।

कार्यों को करने दें वाई = एफ (एक्स)और एक्स = जी (वाई)परस्पर व्युत्क्रम, अंतराल पर परिभाषित और क्रमशः। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का परिमित गैर-शून्य व्युत्पन्न मौजूद है च (एक्स), तब बिंदु पर व्युत्क्रम फलन का एक परिमित अवकलज मौजूद होता है जी (वाई), और . एक अन्य प्रविष्टि में .

यह नियम किसी के लिए भी सुधारा जा सकता है एक्सअंतराल से, तो हम प्राप्त करते हैं .

आइए इन सूत्रों की वैधता की जाँच करें।

आइए प्राकृतिक लघुगणक के लिए व्युत्क्रम फलन ज्ञात करें (यहाँ वाईएक समारोह है, और एक्स- तर्क)। के लिए इस समीकरण को हल करना एक्स, हम प्राप्त करते हैं (यहाँ एक्सएक समारोह है, और वाईउसका तर्क)। वह है, और पारस्परिक रूप से उलटा कार्य।

डेरिवेटिव्स की तालिका से, हम देखते हैं और .

आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन के डेरिवेटिव खोजने के सूत्र हमें उसी परिणाम तक ले जाते हैं:

पुरातनता में कई संख्याओं ने अपना परिमाण और अंधविश्वास अर्थ प्राप्त कर लिया। आजकल इनमें नए-नए मिथक जुड़ते जा रहे हैं। संख्या पाई के बारे में कई किंवदंतियाँ हैं, प्रसिद्ध फाइबोनैचि संख्याएँ थोड़ी कम प्रसिद्ध हैं। लेकिन शायद सबसे आश्चर्यजनक संख्या ई है, जिसके बिना नहीं किया जा सकता है आधुनिक गणित, भौतिकी और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र भी।

ई का अंकगणितीय मान लगभग 2.718 है। बिल्कुल क्यों नहीं, लेकिन लगभग? क्योंकि यह संख्या अपरिमेय और पारलौकिक है, इसे प्राकृतिक पूर्णांकों वाले अंश के रूप में या तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। निर्दिष्ट सटीकता की अधिकांश गणनाओं के लिए, 2.718 का मान पर्याप्त है, हालांकि वर्तमान स्तर कंप्यूटर विज्ञानआपको एक ट्रिलियन दशमलव स्थानों से अधिक की सटीकता के साथ इसका मान निर्धारित करने की अनुमति देता है।

संख्या ई की मुख्य विशेषता यह है कि इसके घातीय फ़ंक्शन f (x) \u003d e x का व्युत्पन्न फ़ंक्शन e x के मान के बराबर है। किसी अन्य गणितीय संबंध में ऐसा असामान्य गुण नहीं है। आइए इसके बारे में थोड़ा और विस्तार से बात करते हैं।

क्या हद है

पहले, आइए एक सीमा की अवधारणा से निपटें। कुछ गणितीय व्यंजकों पर विचार करें, उदाहरण के लिए, i = 1/n। देख सकता हूं, कि "एन" में वृद्धि के साथ", "i" का मान कम हो जाएगा, और जैसे ही "n" अनंत की ओर जाता है (जो चिह्न ∞ द्वारा इंगित किया जाता है), "i" शून्य के बराबर सीमा मान (अधिक बार केवल सीमा कहा जाता है) की ओर प्रवृत्त होगा। विचाराधीन मामले के लिए सीमा अभिव्यक्ति (लिम के रूप में चिह्नित) को लिम n →∞ (1/ n) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

अलग-अलग भावों की अलग-अलग सीमाएँ हैं। सोवियत और रूसी पाठ्यपुस्तकों में दूसरी उल्लेखनीय सीमा के रूप में शामिल ऐसी सीमाओं में से एक अभिव्यक्ति लिम n →∞ (1+1/ n) n है। पहले से ही मध्य युग में, यह स्थापित किया गया था कि इस अभिव्यक्ति की सीमा संख्या ई है।

पहली उल्लेखनीय सीमा में एक्सप्रेशन लिम n →∞ (Sin n / n) = 1 शामिल है.

अवकलज e x कैसे ज्ञात करें - इस वीडियो में।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है

एक व्युत्पन्न की अवधारणा को प्रकट करने के लिए, किसी को यह याद रखना चाहिए कि गणित में एक कार्य क्या है। जटिल परिभाषाओं के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, हम एक फ़ंक्शन की सहज गणितीय अवधारणा पर ध्यान केन्द्रित करते हैं, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि इसमें एक या कई मात्राएँ पूरी तरह से किसी अन्य मात्रा के मान को निर्धारित करती हैं, यदि वे परस्पर जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र S = π ∙ r 2 में, त्रिज्या r का मान पूरी तरह से और विशिष्ट रूप से वृत्त S का क्षेत्रफल निर्धारित करता है।

प्रकार के आधार पर, कार्य बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक आदि हो सकते हैं। उनमें दो, तीन या अधिक तर्क परस्पर जुड़े हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूरी S ने यात्रा की, जिसे वस्तु ने समान रूप से त्वरित गति से पार कर लिया है, फ़ंक्शन S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t द्वारा वर्णित है, जहां "t" गति का समय है, तर्क "a "त्वरण है (या तो सकारात्मक या नकारात्मक मान हो सकता है) और" वी "गति की प्रारंभिक गति है। इस प्रकार, यात्रा की गई दूरी की मात्रा तीन तर्कों के मूल्यों पर निर्भर करती है, जिनमें से दो ("ए" और "वी") स्थिर हैं।

आइए इस उदाहरण का उपयोग किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की प्राथमिक अवधारणा को दिखाने के लिए करें। यह किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। हमारे उदाहरण में, यह किसी विशेष समय पर वस्तु की गति होगी। निरंतर "ए" और "वी" के साथ यह केवल समय "टी" पर निर्भर करता है, अर्थात, वैज्ञानिक शब्दों में, आपको समय "टी" के संबंध में फ़ंक्शन एस का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है।

इस प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है, जो किसी फ़ंक्शन के विकास के अनुपात की सीमा की गणना करके उसके तर्क के विकास को एक नगण्य राशि द्वारा किया जाता है। व्यक्तिगत कार्यों के लिए ऐसी समस्याओं को हल करना अक्सर आसान काम नहीं होता है और यहां पर विचार नहीं किया जाता है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि कुछ बिंदुओं पर कुछ कार्यों में ऐसी सीमाएं बिल्कुल नहीं होती हैं।

हमारे उदाहरण में, व्युत्पन्न एससमय के साथ "t" फॉर्म S" = ds / dt = a ∙ t + V ले लेगा, जिससे यह देखा जा सकता है कि गति S" "t" के आधार पर रैखिक रूप से बदलती है।

प्रतिपादक का व्युत्पन्न

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन को एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन कहा जाता है, जिसका आधार संख्या ई है। इसे आमतौर पर F (x) \u003d e x के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जहां एक्सपोनेंट x एक चर है। इस फ़ंक्शन में वास्तविक संख्याओं की संपूर्ण श्रेणी पर पूर्ण भिन्नता है। जैसे-जैसे x बढ़ता है, यह लगातार बढ़ता है और हमेशा शून्य से बड़ा होता है। इसका व्युत्क्रम कार्य लघुगणक है।

प्रसिद्ध गणितज्ञ टेलर ने इस फ़ंक्शन को अपने नाम पर एक श्रृंखला में विस्तारित करने में कामयाब रहे e x = 1 + x/1! + x2/2! + एक्स 3/3! + … x श्रेणी में - ∞ से + ∞ तक।

इस समारोह के आधार पर कानून, घातीय कहा जाता है। वह वर्णन करता है:

• चक्रवृद्धि बैंक ब्याज में वृद्धि;
• जानवरों की आबादी और ग्रह की आबादी में वृद्धि;
• कठोर मोर्टिस समय और भी बहुत कुछ।

आइए हम एक बार फिर से इस निर्भरता की उल्लेखनीय संपत्ति को दोहराते हैं - किसी भी बिंदु पर इसके व्युत्पन्न का मूल्य हमेशा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य के बराबर होता है, अर्थात (e x)" = e x।

एक्सपोनेंट के सबसे सामान्य मामलों के डेरिवेटिव यहां दिए गए हैं:

• (ई कुल्हाड़ी)" = एक ∙ ई कुल्हाड़ी;
• (ई एफ (एक्स))" = एफ "(एक्स) ∙ ई एफ (एक्स) ।

इन निर्भरताओं का उपयोग करके, इस फ़ंक्शन के अन्य विशेष प्रकारों के लिए डेरिवेटिव ढूंढना आसान है।

संख्या ई के बारे में कुछ रोचक तथ्य

नेपियर, ओट्रेड, ह्यूजेंस, बर्नौली, लीबनिज, न्यूटन, यूलर और अन्य जैसे वैज्ञानिकों के नाम इस संख्या के साथ जुड़े हुए हैं। उत्तरार्द्ध ने वास्तव में इस संख्या के लिए पदनाम ई पेश किया, और गणना के लिए उनके द्वारा खोजी गई श्रृंखला ई = 1 + 1/1 का उपयोग करके पहले 18 वर्ण भी पाए! +2/2! + 3/3! …

नंबर ई सबसे अप्रत्याशित स्थानों में होता है। उदाहरण के लिए, यह कैटेनरी समीकरण में शामिल है, जो एक रस्सी के अपने वजन के नीचे शिथिलता का वर्णन करता है, जब इसके सिरों को समर्थन पर तय किया जाता है।

वीडियो

वीडियो पाठ का विषय घातीय फलन का व्युत्पन्न है।

बुनियादी अवधारणाओं

$x$ की शक्ति के प्रतिपादक के व्युत्पन्न पर विचार करने से पहले, हम परिभाषाओं को याद करते हैं

1. कार्य;
2. अनुक्रम सीमा;
3. व्युत्पन्न;
4. प्रदर्शक।

$x$ की शक्ति के प्रतिपादक के व्युत्पन्न की स्पष्ट समझ के लिए यह आवश्यक है।

परिभाषा 1

एक फ़ंक्शन दो चर के बीच का संबंध है।

आइए $y=f(x)$ लें, जहां $x$ और $y$ चर हैं। यहाँ $x$ को तर्क कहा जाता है और $y$ को फ़ंक्शन कहा जाता है। तर्क मनमाना मान ले सकता है। बदले में, चर $y$ तर्क के आधार पर एक निश्चित कानून के अनुसार बदलता है। यही है, तर्क $x$ स्वतंत्र चर है और समारोह $y$ आश्रित चर है। $X$ का कोई भी मान $y$ के एकल मान से मेल खाता है।

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n=1, 2, 3, ...$ को किसी कानून के आधार पर एक संख्या $x_n$ निर्दिष्ट की जाती है, तो हम कहते हैं कि संख्याओं का एक क्रम $x_1,x_2,...,x_n$ है परिभाषित। अन्यथा, ऐसा अनुक्रम $\(x_n\)$ के रूप में लिखा जाता है। सभी नंबर $x_n$ अनुक्रम के सदस्य या तत्व कहलाते हैं।

परिभाषा 2

अनुक्रम की सीमा अंत बिंदु या वास्तविक रेखा पर अनंत पर बिंदु है। सीमा इस तरह लिखी जाती है: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$। इस प्रविष्टि का अर्थ है कि चर $x_n$ $a$ $x_n\to a$ की ओर जाता है।

बिंदु $x_0$ पर फ़ंक्शन $f$ के व्युत्पन्न को निम्नलिखित सीमा कहा जाता है:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$। इसे $f"(x_0)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

संख्या $e$ निम्नलिखित सीमा के बराबर है:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

दी गई सीमा में, $n$ एक प्राकृतिक या वास्तविक संख्या है।

सीमा, व्युत्पन्न और प्रतिपादक की अवधारणाओं को जानने के बाद, हम सूत्र $(e^x)"=e^x$ के प्रमाण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

$x$ की घात के प्रतिपादक के व्युत्पन्न की व्युत्पत्ति

हमारे पास $e^x$ है, जहाँ $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$।

एक्सपोनेंट $e^(a+bx)=e^a*e^b$ की संपत्ति से हम सीमा के अंश को बदल सकते हैं:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$।

यानी, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ से 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$।

निरूपित $t=e^(\Delta x)-1$। हमें $e^(\Delta x)=t+1$ मिलता है, और लघुगणक की संपत्ति से यह पता चलता है कि $\Delta x = ln(t+1)$।

चूंकि एक्सपोनेंट निरंतर है, हमारे पास $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ इसलिए, यदि $\Delta x\to 0$, तो $ टी \ से $ 0।

परिणामस्वरूप, हम परिवर्तन दिखाते हैं:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (टी)(एलएन(टी+1))$।

निरूपित करें $n=\frac (1)(t)$, फिर $t=\frac(1)(n)$। यह पता चला है कि अगर $t\to 0$, तो $n\to\infty$।

आइए हमारी सीमा को बदलें:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$।

लघुगणक $b\cdot ln c=ln c^b$ की संपत्ति से हमारे पास है

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

सीमा निम्नानुसार परिवर्तित की जाती है:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$।

लघुगणक की निरंतरता संपत्ति और निरंतर कार्य के लिए सीमाओं की संपत्ति के अनुसार: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, जहां $f(x)$ की धनात्मक सीमा $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$ है। इसलिए, इस तथ्य के कारण कि लघुगणक निरंतर है और एक धनात्मक सीमा $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln ई=1$.

दूसरी अद्भुत सीमा $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$ के मूल्य का उपयोग करते हैं। हम पाते हैं:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

इस प्रकार, हमने प्रतिपादक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त किया है और यह दावा कर सकते हैं कि $x$ की शक्ति के प्रतिपादक का व्युत्पन्न $x$ की शक्ति के प्रतिपादक के बराबर है:

अन्य सूत्रों और नियमों का उपयोग करके इस सूत्र को प्राप्त करने के अन्य तरीके भी हैं।

उदाहरण 1

किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने के उदाहरण पर विचार करें।

स्थिति: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$।

समाधान: सूत्र $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ को $2^x, 3^x$ और $10^x$ पर लागू करें। व्युत्पन्न सूत्र $(e^x)"= के अनुसार e^x$ चौथा पद $e^x$ नहीं बदलता है।

उत्तर: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$।

इस प्रकार, हमने सूत्र $(e^x)"=e^x$ निकाला है, बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषा देते हुए, हमने एक शब्द के रूप में एक एक्सपोनेंट के साथ एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का एक उदाहरण का विश्लेषण किया है।

घातीय (e की घात x) और घातीय फलन (a की घात x) के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का प्रमाण और व्युत्पत्ति। ई^2x, ई^3x और ई^एनएक्स के डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण। उच्च ऑर्डर के डेरिवेटिव के लिए सूत्र।

संतुष्ट

यह सभी देखें: घातीय कार्य - गुण, सूत्र, ग्राफ
एक्सपोनेंट, ई से एक्स की शक्ति - गुण, सूत्र, ग्राफ

मूल सूत्र

प्रतिपादक का व्युत्पन्न प्रतिपादक के बराबर है (x की शक्ति के लिए e का व्युत्पन्न x की शक्ति के बराबर है):
(1) (ई एक्स) '= ई एक्स.

डिग्री ए के आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर होता है, जिसे प्राकृतिक लघुगणक से गुणा किया जाता है:
(2) .

घातांक एक चरघातांकी फलन है जिसका घातांक आधार संख्या e के बराबर है, जो निम्नलिखित सीमा है:
.
यहाँ यह या तो प्राकृतिक या वास्तविक संख्या हो सकती है। इसके बाद, हम घातांक के अवकलज के लिए सूत्र (1) प्राप्त करते हैं।

प्रतिपादक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

x की घात e के घातांक पर विचार करें:
वाई = ई एक्स।
यह कार्य सभी के लिए परिभाषित किया गया है। आइए x के संबंध में इसका व्युत्पन्न ज्ञात करें। परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न निम्नलिखित सीमा है:
(3) .

आइए इस व्यंजक को ज्ञात गणितीय गुणों और नियमों में बदलने के लिए रूपांतरित करें। इसके लिए हमें निम्नलिखित तथ्यों की आवश्यकता है:
ए)एक्सपोनेंट संपत्ति:
(4) ;
बी)लघुगणक गुण:
(5) ;
में)लघुगणक की निरंतरता और निरंतर कार्य के लिए सीमाओं की संपत्ति:
(6) .
यहाँ, कुछ फलन है जिसकी एक सीमा है और यह सीमा धनात्मक है।
जी)दूसरी अद्भुत सीमा का अर्थ:
(7) .

हम इन तथ्यों को अपनी सीमा तक लागू करते हैं (3)। हम संपत्ति का उपयोग करते हैं (4):
;
.

चलो एक प्रतिस्थापन करते हैं। तब ; .
प्रतिपादक की निरंतरता के कारण,
.
इसलिए, पर, . परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.

चलो एक प्रतिस्थापन करते हैं। तब । पर , । और हमारे पास है:
.

हम लघुगणक (5) की संपत्ति लागू करते हैं:
. तब
.

आइए संपत्ति (6) लागू करें। चूँकि एक सकारात्मक सीमा है और लघुगणक निरंतर है, तब:
.
यहां हमने दूसरी उल्लेखनीय सीमा (7) का भी इस्तेमाल किया। तब
.

इस प्रकार, हमने घातांक के अवकलज के लिए सूत्र (1) प्राप्त किया है।

घातीय फलन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब हम डिग्री ए के आधार के साथ घातीय समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र (2) प्राप्त करते हैं। हम मानते हैं कि और। फिर घातीय कार्य
(8)
सभी के लिए परिभाषित।

आइए हम सूत्र (8) को रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हम घातीय फलन और लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हैं।
;
.
इसलिए, हमने सूत्र (8) को निम्न रूप में रूपांतरित किया है:
.

x की घात के लिए e का उच्च क्रम डेरिवेटिव

अब आइए उच्च ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजें। आइए पहले एक्सपोनेंट को देखें:
(14) .
(1) .

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (14) स्वयं फ़ंक्शन (14) के बराबर है। विभेद (1), हम दूसरे और तीसरे क्रम के डेरिवेटिव प्राप्त करते हैं:
;
.

इससे पता चलता है कि nवें क्रम का व्युत्पन्न भी मूल कार्य के बराबर है:
.

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के उच्च क्रम डेरिवेटिव

अब डिग्री के आधार के साथ एक घातीय कार्य पर विचार करें:
.
हमने इसका पहला ऑर्डर डेरिवेटिव पाया:
(15) .

विभेद (15), हम दूसरे और तीसरे क्रम के डेरिवेटिव प्राप्त करते हैं:
;
.

हम देखते हैं कि प्रत्येक अवकलन से मूल फलन का गुणन होता है। इसलिए, nवें अवकलज का निम्नलिखित रूप है:
.

यह सभी देखें: