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Polígonos regulares
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“Para que una persona sea educada en el pleno sentido de la palabra, se necesitan tres cualidades: amplio conocimiento, hábito de pensar y nobleza de sentimientos”.
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Monasterio Simónov
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¿Sabes?
Cual formas geométricas¿Ya hemos estudiado? ¿Cuales son sus elementos? ¿Qué forma se llama polígono? ¿Cuál es el menor número de lados que puede tener un polígono? ¿Qué polígono se llama convexo? Muestre polígonos convexos y no convexos en la figura. Explica qué ángulos se llaman ángulos de un polígono convexo, ángulos exteriores. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular la suma de los ángulos de un polígono convexo? ¿Cuál es el perímetro de un polígono?
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Preguntas de crucigrama: ¿Lados, ángulos y vértices de un polígono? ¿Cómo se llama un polígono de lados y ángulos iguales? 3.¿Cómo se llama una figura que se puede dividir en un número finito de triángulos? 4.¿Parte de un círculo? 5. ¿Límite del polígono? 6.¿Elemento de un círculo? 7. ¿Elemento poligonal? 8. ¿Borde circular? 9. ¿Polígono con el menor número de lados? 10.¿Un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo? 11.¿Otro tipo de ángulo de una circunferencia? 12.¿Suma de las longitudes de los lados de un polígono? 13. ¿Un polígono que está en un semiplano con respecto a una línea recta que contiene cualquiera de sus lados?
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¿Cuál es el valor de cada uno de los ángulos de un decágono regular a); b) n-gón.
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Ángulo de un n-gon regular
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Trabajo práctico. 1. La torre de siete cúpulas de la Ciudad Blanca tenía en planta un hexágono regular, cuyos lados miden 14 m. Dibuje la planta de esta torre. 2. Mida el ángulo AOB. ¿Qué parte de su valor es el valor del ángulo total O? ¿Cómo puedes calcular el tamaño de este ángulo, sabiendo el número de lados del polígono? 3.Mida el ángulo CAK: el ángulo exterior del polígono. Calcula la suma del ángulo exterior CAK y el ángulo interior CAB. ¿Por qué estos ángulos siempre suman 180°? ¿Cuál es la suma de los ángulos externos de un hexágono regular, tomados uno en cada vértice?
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El diámetro de la base de la torre Dulo es de 16 m. Dibuja un plano para la base de una torre de 16 lados, utilizando al construir el ángulo en el que el lado del polígono es visible desde el centro del círculo. Calcula los ángulos interiores y exteriores de este 16 gon. ¿Cuál es la suma de los ángulos exteriores de un góno regular de 16, tomados uno en cada vértice? N° 1082, 1083.
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Títulos de diapositivas:
Un poliedro es un cuerpo cuya superficie consta de un número finito de polígonos planos.
Poliedros regulares
¿Cuántos poliedros regulares hay? - ¿Cómo se determinan, qué propiedades tienen? -¿Dónde se encuentran? ¿Tienen aplicaciones prácticas?
Un poliedro convexo se llama regular si todas sus caras son iguales. polígonos regulares y en cada uno de sus vértices converge el mismo número de aristas.
“hedra” - cara “tetra” - cuatro hexes” - seis “octa” - ocho “dodeca” - doce “icosas” - veinte Los nombres de estos poliedros provienen de la Antigua Grecia y en ellos se indica el número de caras.
Nombre del poliedro regular Tipo de cara Número de vértices de aristas de caras que convergen en un vértice Tetraedro Triángulo regular 4 6 4 3 Octaedro Triángulo regular 6 12 8 4 Icosaedro Triángulo regular 12 30 20 5 Cubo (hexaedro) Cuadrado 8 12 6 3 Dodecaedro Pentágono regular 20 30 12 3 Datos sobre poliedros regulares
Pregunta (problema): ¿Cuántos poliedros regulares hay? ¿Cómo configurar su número?
α n = (180 °(n -2)): n En cada vértice del poliedro hay al menos tres ángulos planos, y su suma debe ser inferior a 360 °. Forma de las caras Número de caras en un vértice Suma de ángulos planos en el vértice de un poliedro Conclusión sobre la existencia de un poliedro α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 a = 3
carroll
Grandes matemáticos de la antigüedad Arquímedes Euclides Pitágoras
El antiguo científico griego Platón describió en detalle las propiedades de los poliedros regulares. Por eso a los poliedros regulares se les llama sólidos platónicos.
tetraedro - cubo de fuego - octaedro de tierra - icosaedro de aire - dodecaedro de agua - universo
Poliedros en ciencias espaciales y terrestres.
Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo y matemático alemán. Uno de los fundadores de la astronomía moderna: descubrió las leyes del movimiento planetario (leyes de Kepler).
Copa Kepler Cósmica
"Ecosaedro - estructura dodecaédrica de la Tierra"
Poliedros en el arte y la arquitectura.
Alberto Durero (1471-1528) "Melancolía"
Salvador Dalí "La última cena"
Estructuras arquitectónicas modernas en forma de poliedros.
Faro de Alejandría
Poliedro de ladrillo de un arquitecto suizo
Edificio moderno en Inglaterra
Poliedros en la naturaleza FEODARIA
Pirita (pirita de azufre) Monocristal de alumbre de potasio Cristales de mineral de cobre rojo CRISTALES NATURALES
La sal de mesa está formada por cristales en forma de cubo. El mineral silvita también tiene una red cristalina en forma de cubo. Las moléculas de agua tienen forma de tetraedro. El mineral cuprita forma cristales en forma de octaedros. Los cristales de pirita tienen forma de dodecaedro.
Diamante En forma de octaedro, cristalizan diamantes, cloruro de sodio, fluorita, olivino y otras sustancias.
Históricamente, la primera forma recortada que apareció en el siglo XIV fue el octaedro. Diamante Shah Peso del diamante 88,7 quilates
Tarea La Reina de Inglaterra dio instrucciones para cortar el diamante a lo largo de los bordes con hilo de oro. Pero el corte no se realizó, ya que el joyero no pudo calcular la longitud máxima del hilo de oro y no se le mostró el diamante. Se informó al joyero de los siguientes datos: número de vértices B = 54, número de caras D = 48, longitud del borde mayor L = 4 mm. Encuentra la longitud máxima del hilo dorado.
Poliedro regular Número de caras Vértices Aristas Tetraedro 4 4 6 Cubo 6 8 12 Octaedro 8 6 12 Dodecaedro 12 20 30 Icosaedro 20 12 30 Trabajo de investigación"La fórmula de Euler"
Teorema de Euler. Para cualquier poliedro convexo B + G - 2 = P donde B es el número de vértices, G es el número de caras, P es el número de aristas de este poliedro.
¡MINUTO FÍSICO!
Problema Encuentra el ángulo entre dos aristas de un octaedro regular que tienen un vértice común pero no pertenecen a la misma cara.
Problema Calcula la altura de un tetraedro regular con una arista de 12 cm.
El cristal tiene la forma de un octaedro que consta de dos pirámides regulares con una base común, el borde de la base de la pirámide es de 6 cm. La altura del octaedro es de 8 cm. Calcula el área de la superficie lateral del cristal.
Área de superficie Tetraedro Icosaedro Dodecaedro Hexaedro Octaedro
Tarea: mnogogranniki.ru Utilizando desarrollos, haga modelos del 1er poliedro regular con un lado de 15 cm, el 1er poliedro semirregular
¡Gracias por el trabajo!
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Definición de un polígono regular. Un polígono regular es un polígono convexo en el que todos los lados y todos los ángulos (interiores) son iguales.
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Círculo circunscrito a un polígono regular. Teorema: alrededor de cualquier polígono regular se puede describir un círculo, y sólo uno. Una circunferencia se dice circunscrita a un polígono si todos sus vértices se encuentran en esa circunferencia.
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Un círculo inscrito en un polígono regular. Se dice que un círculo está inscrito en un polígono si todos los lados del polígono tocan el círculo. Teorema: Un círculo puede inscribirse en cualquier polígono regular, y sólo en uno.
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Sea A1 A 2 ...A n un polígono regular, O el centro del círculo circunscrito. Al demostrar el teorema 1, descubrimos que ∆ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1, por lo tanto, las alturas de estos triángulos trazados desde el vértice O también son iguales. Por lo tanto, un círculo con centro O y radio OH pasa por los puntos H1, H2, Hn y toca los lados del polígono en estos puntos, es decir, el círculo está inscrito en el polígono dado. Dado: ABCD…An es un polígono regular. Demuestre: en cualquier polígono regular se puede inscribir un círculo, y solo uno.
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Demostremos que sólo hay un círculo inscrito. Supongamos que hay otra circunferencia con centro O y radio OA. Entonces su centro es equidistante de los lados del polígono, es decir El punto O1 se encuentra en cada una de las bisectrices de las esquinas del polígono y, por tanto, coincide con el punto O de la intersección de estas bisectrices.
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A D B C O Dado: ABCD…An es un polígono regular. Demuestre: alrededor de cualquier polígono regular se puede dibujar un círculo, y solo uno. Demostración: Dibujemos las bisectrices BO y СО de los ángulos iguales ABC y BCD. Se cruzarán, ya que las esquinas del polígono son convexas y cada una mide menos de 180⁰. Sea O el punto de su intersección. Luego, dibujando los segmentos OA y OD, obtenemos ΔBOA, ΔBOC y ΔСOD. ΔBOA = ΔBOS según el primer signo de igualdad de los triángulos (VO - general, AB = BC, ángulo 2 = ángulo 3). Similar a ΔBOS=ΔCOD. 1 2 3 4 porque ángulo 2 = ángulo 3 como mitades de ángulos iguales, entonces ΔВOC es isósceles. Este triángulo es igual a ΔBOA y ΔCOD => también son isósceles, lo que significa OA=OB=OC=OD, es decir. Los puntos A, B, C y D equidistan del punto O y se encuentran en el círculo (O; OB). De manera similar, otros vértices del polígono se encuentran en el mismo círculo.
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Demostremos ahora que sólo existe un círculo circunscrito. Consideremos unos tres vértices de un polígono, por ejemplo A, B, C. Porque. Sólo un círculo pasa por estos puntos, entonces sólo se puede describir un círculo alrededor del polígono ABC...An. o A B C D
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Consecuencias. Corolario No. 1 Un círculo inscrito en un polígono regular toca los lados del polígono en sus puntos medios. Corolario N° 2 El centro de un círculo circunscrito a un polígono regular coincide con el centro de un círculo inscrito en el mismo polígono.
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Fórmula para calcular el área de un polígono regular. Sea S el área de un n-gón regular, a1 su lado, P el perímetro y r y R los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, respectivamente. Probemos que
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Para ello, conecta el centro de este polígono con sus vértices. Entonces el polígono se dividirá en n triángulos iguales, el área de cada uno de los cuales es igual a Por lo tanto,
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Fórmula para calcular el lado de un polígono regular. Derivemos las fórmulas: Para derivar estas fórmulas, usaremos la figura. EN triangulo rectánguloА1Н1О O А1 А2 А3 Аn H2 H1 Hn H3 Por lo tanto,
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Poniendo n = 3, 4 y 6 en la fórmula, obtenemos expresiones para los lados de un triángulo regular, un cuadrado y un hexágono regular:
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Problema No. 1 Dado: círculo(O; R) Construya un n-gón regular. Divide el círculo en n arcos iguales. Para ello, dibuja los radios OA1, OA2,..., OAn de este círculo de modo que ángulo A1OA2= ángulo A2OA3 =...= ángulo An-1OAn= ángulo AnOA1= 360°/n (en la figura n=8 ). Si ahora dibujamos los segmentos A1A2, A2A3,..., Аn-1Аn, АnА1, obtendremos un n-gón A1A2...Аn. Los triángulos A1OA2, A2OA3,..., AnOA1 son iguales entre sí, por lo tanto A1A2= A2A3=...= An-1Аn= AnA1. De ello se deduce que A1A2…An es un n-gón regular. Construcción de polígonos regulares.
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Problema No. 2 Dado: A1, A2...Аn - n-gon regular Construya una solución regular de 2n-gon. Dibujemos un círculo a su alrededor. Para ello, construiremos las bisectrices de los ángulos A1 y A2 y denotaremos el punto de su intersección con la letra O. Luego dibujamos una circunferencia con centro O y radio OA1. Divida los arcos A1A2, A2A3..., An A1 por la mitad. Conecte cada uno de los puntos de división B1, B2, ..., Bn con segmentos a los extremos del arco correspondiente. Para construir los puntos B1, B2, ..., Bn, puedes usar la bisectriz perpendicular a los lados de un n-gon dado. En la figura se construye de esta forma un dodecágono regular A1 B1 A2 B2... A6 B6.
Lección sobre el tema "Polígonos regulares".
Objetivos de la lección:
educativo: presentar a los estudiantes el concepto y tipos de polígonos regulares, con algunas de sus propiedades; enseñarles a utilizar la fórmula para calcular el ángulo de un polígono regular;
- desarrollo:
- educativo:
Progreso de la lección:
1. Momento organizacional
Lema de la lección:
Tres caminos conducen al conocimiento:
filósofo chino y el sabio Confucio.
2. Motivación de la lección.
Queridos chicos!
Espero que esta lección sea interesante y de gran beneficio para todos. Realmente quiero que aquellos que todavía son indiferentes a la reina de todas las ciencias salgan de nuestra lección con la profunda convicción de que la geometría es un tema interesante y necesario.
El escritor francés del siglo XIX, Anatole France, comentó una vez: “Sólo se puede aprender a través de la diversión... Para digerir el conocimiento, hay que absorberlo con apetito”.
Sigamos el consejo del escritor en la lección de hoy: sea activo, atento y absorba con entusiasmo los conocimientos que le serán útiles en el futuro.
3. Actualización de conocimientos básicos.
Encuesta frontal:
¿Cuales son sus elementos?
Vistas de polígono
4. Estudiar material nuevo.
Entre las diferentes formas geométricas del plano destaca una gran familia de POLÍGONOS.
Los nombres de las figuras geométricas tienen un significado muy concreto. Mire más de cerca la palabra "polígono" y diga en qué partes se compone. La palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchos ángulos".
Sustituye un número específico, por ejemplo 5, en la palabra "polígono" en lugar de la parte "muchos". Obtendrás un PENTÁGONO. O 6. Entonces – HEXÁGONO. Observa que hay tantos ángulos como lados, por lo que estas figuras bien podrían llamarse poliláteros.
La imagen muestra formas geométricas. Usando el dibujo, nombra estas formas.
Definición.Un polígono regular es un polígono convexo en el que todos los ángulos son iguales y todos los lados son iguales.
Ya está familiarizado con algunos polígonos regulares: un triángulo equilátero (triángulo regular), un cuadrado (cuadrilátero regular).
Conozcamos algunas propiedades que tienen todos los polígonos regulares.
Suma de ángulos de un polígono
n – número de lados
n-2 - número de triángulos
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º, multiplicamos por el número de triángulos n -2, obtenemos S= (n-2)*180. 
S=(n-2)*180
Fórmula para calcular el ángulo x de un polígono regular
.
Derivemos una fórmula para calcular ángulo x de un n-gon regular.
En un polígono regular todos los ángulos son iguales, dividimos la suma de los ángulos por el número de ángulos y obtenemos la fórmula:
x =(n-2)*180/n
5. Consolidación de material nuevo.
Resuelva los números 179, 181, 183(1), 184.
Sin girar la cabeza, mire alrededor del perímetro de la pared del aula en el sentido de las agujas del reloj, pizarra a lo largo del perímetro en el sentido contrario a las agujas del reloj, el triángulo representado en el soporte en el sentido de las agujas del reloj y el triángulo igual en el sentido contrario a las agujas del reloj. Gira la cabeza hacia la izquierda y mira la línea del horizonte, y ahora la punta de tu nariz. Cierra los ojos, cuenta hasta 5, abre los ojos y...
Nos llevaremos las palmas a los ojos,
Abramos nuestras piernas fuertes.
Girando a la derecha
Miremos majestuosamente a nuestro alrededor.
Y tienes que ir a la izquierda también
Mire desde debajo de sus palmas.
Y - ¡a la derecha! Y una cosa más
¡Sobre tu hombro izquierdo!
Ahora sigamos trabajando.
7. Trabajo independiente de los estudiantes.
Decisión No. 183(2).
8. Resumen de la lección. Reflexión. D/z.
¿Qué es lo que más recuerdas de la lección?
¿Qué te sorprendió?
¿Qué te gustó más?
¿Cómo quieres que sea la próxima lección?
D/z. Aprenda el paso 6. Resuelve los números 180, 182, 185.
Tarea creativa:
Internet :
Ver contenido de la presentación
"polígonos regulares"
- - educativo: presentar a los estudiantes el concepto y los tipos de polígonos regulares y algunas de sus propiedades; Enseña cómo usar la fórmula para calcular el ángulo de un polígono regular.
- - desarrollo: desarrollo de la actividad cognitiva, imaginación espacial, capacidad de elegir la solución adecuada, expresar de manera sucinta los pensamientos, analizar y sacar conclusiones.
- - educativo: fomentar el interés por el tema, la capacidad de trabajar en equipo, una cultura de la comunicación.
Lema de la lección:
Tres caminos conducen al conocimiento:
El camino de la reflexión es el camino más noble;
El camino de la imitación es el camino más fácil;
El camino de la experiencia es el camino más amargo.
filósofo y sabio chino
Confucio.
- ¿Qué formas geométricas hemos estudiado ya?
- ¿Cuales son sus elementos?
- ¿Qué forma se llama polígono?
- Vistas de polígono
- ¿Cuál es el perímetro de un polígono?
- ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono?
Incorrecto Correcto polígonos
- Un polígono convexo se llama regular si todos sus ángulos son iguales y todos sus lados son iguales.
Propiedades de los polígonos regulares
suma de angulos
polígono
n – número de lados n-2 – número de triángulos La suma de los ángulos de un triángulo es 180º, 180º multiplicado por el número de triángulos (n-2), obtenemos S= (n-2)*180.
Fórmula para calcular el ángulo correcto. norte - cuadrado
en la derecha norte- en un cuadrado todos los ángulos son iguales, dividimos la suma de los ángulos por el número de ángulos, obtenemos la fórmula:
A norte =(n-2)*180/n
Prueba Elige los números de las afirmaciones correctas.
- Un polígono convexo es regular si todos sus lados son iguales.
- Cualquier polígono regular es convexo.
- Cualquier cuadrilátero de lados iguales es regular.
- Un triángulo es regular si todos sus ángulos son iguales.
- Cualquier triángulo equilátero es regular.
- Cualquier polígono convexo es regular.
- Cualquier cuadrilátero que tenga ángulos iguales es regular.
trabajo independiente
A norte =(n-2)*180/n
A 3 =(3-2)*180/3= 180/3= 60
N° 1079 (oral), N° 1081 (b, d), N° 1083 (b)
Tarea creativa:
*Información histórica sobre polígonos regulares. Posibles consultas para un buscador web Internet :
- Polígonos en la escuela de Pitágoras. Construcción de polígonos, Euclides. Polígonos regulares, Claudio Ptolomeo.
- Polígonos en la escuela de Pitágoras.
- Construcción de polígonos, Euclides.
- Polígonos regulares, Claudio Ptolomeo.
De la historia De la historia Los polígonos regulares se conocen desde la antigüedad. En los monumentos antiguos egipcios y babilónicos se encuentran cuadriláteros, hexágonos y octágonos regulares en forma de imágenes en las paredes y decoraciones talladas en piedra. Los científicos de la antigua Grecia comenzaron a mostrar gran interés por los polígonos regulares desde la época de Pitágoras. La doctrina de los polígonos regulares fue sistematizada y presentada en el libro 4 de los Elementos de Euclides.
POLIEDRO REGULAR Sólidos PLATONIANOS: Tetraedro – “fuego” Cubo – “tierra” Octaedro – “aire” Dodecaedro – “el mundo entero” Icosaedro – “agua”
POLÍGONOS REGULARES EN LA NATURALEZA POLÍGONOS REGULARES EN LA NATURALEZA Los polígonos regulares se encuentran en la naturaleza. Un ejemplo es el panal, que es un rectángulo cubierto de hexágonos regulares. En estos hexágonos, las abejas cultivan células de cera que son prismas hexagonales rectos. Las abejas depositan miel en ellos y luego los cubren nuevamente con un rectángulo sólido de cera.
Fuentes de información: Enciclopedia infantil "Exploro el mundo" Matemáticas, Moscú, AST, 1998. ru.wikipedia.org/wiki/History of Mathematics A.I.Azevich Veinte lecciones de armonía: curso de humanidades y matemáticas - M.: Shkola-Press, 1998.
