Ένα καταπληκτικό χαρακτηριστικό της παραγώγου του e στη δύναμη του x. Παράγωγος του εκθέτη στη δύναμη του x Ποιο είναι το όριο

Ακολουθεί ένας συνοπτικός πίνακας για ευκολία και σαφήνεια κατά τη μελέτη του θέματος.

Συνεχήςy=C Συνάρτηση ισχύος y = x p (x p)" = p x p - 1	Εκθετικη συναρτησηy = x (a x)" = a x ln a Ειδικότερα, ότανα = εέχουμε y = e x (ε χ)" = ε χ
λογαριθμική συνάρτηση (log a x) " = 1 x ln a Ειδικότερα, ότανα = εέχουμε y = log x (ln x)" = 1 x	Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c t g x) " = - 1 1 + x 2	Υπερβολικές συναρτήσεις (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Ας αναλύσουμε πώς προέκυψαν οι τύποι του υποδεικνυόμενου πίνακα ή, με άλλα λόγια, θα αποδείξουμε την παραγωγή τύπων για παραγώγους για κάθε τύπο συνάρτησης.

Παράγωγος σταθεράς

Απόδειξη 1

Για να εξάγουμε αυτόν τον τύπο, λαμβάνουμε ως βάση τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Χρησιμοποιούμε x 0 = x, όπου Χπαίρνει την τιμή οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ή, με άλλα λόγια, Χείναι οποιοσδήποτε αριθμός από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) = C . Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος ως Δ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Σημειώστε ότι η παράσταση 0 ∆ x εμπίπτει στο οριακό πρόσημο. Δεν είναι η αβεβαιότητα του «μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν», αφού ο αριθμητής δεν περιέχει μια απειροελάχιστη τιμή, αλλά το μηδέν. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας σταθερής συνάρτησης είναι πάντα μηδέν.

Άρα, η παράγωγος της σταθεράς συνάρτησης f (x) = C είναι ίση με μηδέν σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Παράδειγμα 1

Δίνονται σταθερές συναρτήσεις:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Λύση

Ας περιγράψουμε τις δεδομένες συνθήκες. Στην πρώτη συνάρτηση βλέπουμε την παράγωγο του φυσικού αριθμού 3 . Στο παρακάτω παράδειγμα, πρέπει να πάρετε την παράγωγο του ΕΝΑ, Οπου ΕΝΑ- οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό. Το τρίτο παράδειγμα μας δίνει την παράγωγο του παράλογου αριθμού 4 . 13 7 22 , το τέταρτο - η παράγωγος του μηδενός (το μηδέν είναι ακέραιος). Τέλος, στην πέμπτη περίπτωση, έχουμε την παράγωγο του ρητού κλάσματος - 8 7 .

Απάντηση:οι παράγωγοι των δεδομένων συναρτήσεων είναι μηδέν για κάθε πραγματικό Χ(σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος

Ανατρέχουμε στη συνάρτηση ισχύος και στον τύπο για την παράγωγό της, που έχει τη μορφή: (x p) " = p x p - 1, όπου ο εκθέτης Πείναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Απόδειξη 2

Εδώ είναι η απόδειξη του τύπου όταν ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός: p = 1 , 2 , 3 , …

Και πάλι, βασιζόμαστε στον ορισμό του παραγώγου. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης ισχύος προς την αύξηση του ορίσματος:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Για να απλοποιήσουμε την έκφραση στον αριθμητή, χρησιμοποιούμε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Ετσι:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Έτσι, αποδείξαμε τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός.

Απόδειξη 3

Για να δώσει αποδείξεις για την περίπτωση όταν Π-οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό εκτός από το μηδέν, χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική παράγωγο (εδώ θα πρέπει να κατανοήσουμε τη διαφορά από την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης). Για να έχουμε μια πληρέστερη κατανόηση, είναι επιθυμητό να μελετήσουμε την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης και επιπλέον να ασχοληθούμε με την παράγωγο μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης και την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Εξετάστε δύο περιπτώσεις: πότε Χθετικό και πότε Χείναι αρνητικές.

Άρα x > 0 . Τότε: x p > 0 . Παίρνουμε τον λογάριθμο της ισότητας y \u003d x p στη βάση e και εφαρμόζουμε την ιδιότητα του λογάριθμου:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Σε αυτό το στάδιο, έχει ληφθεί μια σιωπηρά καθορισμένη συνάρτηση. Ας ορίσουμε την παράγωγό του:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Τώρα εξετάζουμε την περίπτωση όταν Χ-αρνητικός αριθμός.

Εάν ο δείκτης Πείναι ένας ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για το x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Μετά xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Αν Πείναι ένας περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για το x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Η τελευταία μετάβαση είναι δυνατή γιατί αν Πείναι μονός αριθμός, λοιπόν σ - 1είτε ζυγός αριθμός είτε μηδέν (για p = 1), επομένως, για αρνητικό Χη ισότητα (- x) p - 1 = x p - 1 είναι αληθής.

Έτσι, αποδείξαμε τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος για κάθε πραγματικό p.

Παράδειγμα 2

Δεδομένες λειτουργίες:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Προσδιορίστε τα παράγωγά τους.

Λύση

Μετατρέπουμε μέρος των δεδομένων συναρτήσεων σε μορφή πίνακα y = x p , με βάση τις ιδιότητες του βαθμού, και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Απόδειξη 4

Εξάγουμε τον τύπο για την παράγωγο, με βάση τον ορισμό:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Έχουμε αβεβαιότητα. Για να το επεκτείνουμε, γράφουμε μια νέα μεταβλητή z = a ∆ x - 1 (z → 0 ως ∆ x → 0). Στην περίπτωση αυτή a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Για την τελευταία μετάβαση, χρησιμοποιείται ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στο αρχικό όριο:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Θυμηθείτε το δεύτερο υπέροχο όριο και μετά παίρνουμε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Παράδειγμα 3

Δίνονται οι εκθετικές συναρτήσεις:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Πρέπει να βρούμε τα παράγωγά τους.

Λύση

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης και τις ιδιότητες του λογάριθμου:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Απόδειξη 5

Παρουσιάζουμε την απόδειξη του τύπου για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης για οποιαδήποτε Χστον τομέα ορισμού και τυχόν έγκυρες τιμές της βάσης α του λογαρίθμου. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, παίρνουμε:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Μπορεί να φανεί από την καθορισμένη αλυσίδα ισοτήτων ότι οι μετασχηματισμοί χτίστηκαν με βάση την ιδιότητα του λογάριθμου. Το όριο ισότητας ∆ x → 0 1 + ∆ x x ∆ x = e είναι αληθές σύµφωνα µε το δεύτερο αξιόλογο όριο.

Παράδειγμα 4

Δίνονται λογαριθμικές συναρτήσεις:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των παραγώγων τους.

Λύση

Ας εφαρμόσουμε τον παραγόμενο τύπο:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Άρα η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου διαιρείται με Χ.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Απόδειξη 6

Χρησιμοποιούμε μερικούς τριγωνομετρικούς τύπους και το πρώτο υπέροχο όριο για να βγάλουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης ημιτόνου, παίρνουμε:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Ο τύπος για τη διαφορά των ημιτόνων θα μας επιτρέψει να εκτελέσουμε τις ακόλουθες ενέργειες:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Τέλος, χρησιμοποιούμε το πρώτο υπέροχο όριο:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Άρα η παράγωγος της συνάρτησης αμαρτία xθα cos x.

Θα αποδείξουμε επίσης τον τύπο για την παράγωγο συνημιτόνου με τον ίδιο τρόπο:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Εκείνοι. η παράγωγος της συνάρτησης cos x θα είναι – αμαρτία x.

Εξάγουμε τους τύπους για τις παραγώγους της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης με βάση τους κανόνες διαφοροποίησης:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Η ενότητα για την παράγωγο των αντίστροφων συναρτήσεων παρέχει περιεκτικές πληροφορίες σχετικά με την απόδειξη των τύπων για τα παράγωγα του τόξου, της αρκοσίνης, της τοξοεφαπτομένης και της τοξοεφαπτομένης, επομένως δεν θα αντιγράψουμε το υλικό εδώ.

Παράγωγοι υπερβολικών συναρτήσεων

Απόδειξη 7

Μπορούμε να εξαγάγουμε τύπους για τις παραγώγους του υπερβολικού ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης και τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Κατά την εξαγωγή του πρώτου τύπου του πίνακα, θα προχωρήσουμε από τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Ας πάρουμε πού Χ- οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, δηλαδή, Χ– οποιοσδήποτε αριθμός από την περιοχή ορισμού συνάρτησης . Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς το όρισμα αύξησης στο:

Πρέπει να σημειωθεί ότι κάτω από το πρόσημο του ορίου προκύπτει μια έκφραση, η οποία δεν είναι η αβεβαιότητα του μηδενός διαιρούμενο με το μηδέν, αφού ο αριθμητής δεν περιέχει μια απειροελάχιστη τιμή, αλλά ακριβώς το μηδέν. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας σταθερής συνάρτησης είναι πάντα μηδέν.

Ετσι, παράγωγο σταθερής συνάρτησηςισούται με μηδέν σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος.

Ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος έχει τη μορφή , όπου ο εκθέτης Πείναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ας αποδείξουμε πρώτα τον τύπο για τον φυσικό εκθέτη, δηλαδή για p = 1, 2, 3, ...

Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης ισχύος προς την αύξηση του ορίσματος:

Για να απλοποιήσουμε την έκφραση στον αριθμητή, στραφούμε στον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

Ως εκ τούτου,

Αυτό αποδεικνύει τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος για έναν φυσικό εκθέτη.

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης.

Εξάγουμε τον τύπο της παραγώγου με βάση τον ορισμό:

Έφτασε στην αβεβαιότητα. Για να το επεκτείνουμε, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή και για . Επειτα . Στην τελευταία μετάβαση, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στο αρχικό όριο:

Αν θυμηθούμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο, τότε φτάνουμε στον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης.

Ας αποδείξουμε τον τύπο για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης για όλους Χαπό το εύρος και όλες τις έγκυρες βασικές τιμές έναλογάριθμος. Εξ ορισμού της παραγώγου, έχουμε:

Όπως παρατηρήσατε, στην απόδειξη, οι μετασχηματισμοί πραγματοποιήθηκαν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογαρίθμου. Ισότητα ισχύει λόγω του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Για να εξάγουμε τύπους για παραγώγους τριγωνομετρικών συναρτήσεων, θα πρέπει να θυμηθούμε ορισμένους τύπους τριγωνομετρίας, καθώς και το πρώτο αξιοσημείωτο όριο.

Εξ ορισμού της παραγώγου για την ημιτονοειδή συνάρτηση, έχουμε .

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη διαφορά των ημιτόνων:

Μένει να στραφούμε στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

Άρα η παράγωγος της συνάρτησης αμαρτία xΥπάρχει cos x.

Ο τύπος για το συνημιτονικό παράγωγο αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Επομένως, η παράγωγος της συνάρτησης cos xΥπάρχει – αμαρτία x.

Η παραγωγή τύπων για τον πίνακα παραγώγων για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη θα πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τους αποδεδειγμένους κανόνες διαφοροποίησης (παράγωγο κλάσματος).

Παράγωγοι υπερβολικών συναρτήσεων.

Οι κανόνες διαφοροποίησης και ο τύπος για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης από τον πίνακα των παραγώγων μας επιτρέπουν να εξαγάγουμε τύπους για τις παραγώγους του υπερβολικού ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης.

Για να μην υπάρχει σύγχυση στην παρουσίαση, ας υποδηλώσουμε στον κάτω δείκτη το όρισμα της συνάρτησης με την οποία εκτελείται η διαφοροποίηση, δηλαδή είναι η παράγωγος της συνάρτησης f(x)Με Χ.

Τώρα διατυπώνουμε κανόνας για την εύρεση της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης.

Αφήστε τις συναρτήσεις y = f(x)Και x = g(y)αμοιβαία αντίστροφα, που ορίζονται στα διαστήματα και αντίστοιχα. Αν σε ένα σημείο υπάρχει πεπερασμένη μη μηδενική παράγωγος της συνάρτησης f(x), τότε στο σημείο υπάρχει μια πεπερασμένη παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης g(y), και . Σε άλλη καταχώρηση .

Αυτός ο κανόνας μπορεί να αναδιατυπωθεί για οποιονδήποτε Χαπό το διάστημα , τότε παίρνουμε .

Ας ελέγξουμε την εγκυρότητα αυτών των τύπων.

Ας βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση για τον φυσικό λογάριθμο (Εδώ yείναι μια συνάρτηση, και Χ- διαφωνία). Επίλυση αυτής της εξίσωσης για Χ, παίρνουμε (εδώ Χείναι μια συνάρτηση, και yτο επιχείρημά της). Αυτό είναι, και αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις.

Από τον πίνακα των παραγώγων, βλέπουμε ότι Και .

Ας βεβαιωθούμε ότι οι τύποι για την εύρεση παραγώγων της αντίστροφης συνάρτησης μας οδηγούν στα ίδια αποτελέσματα:

Πολλοί αριθμοί απέκτησαν το μέγεθος και τη δεισιδαιμονική τους σημασία στην αρχαιότητα. Στις μέρες μας προστίθενται νέοι μύθοι. Υπάρχουν πολλοί θρύλοι για τον αριθμό pi, οι διάσημοι αριθμοί Fibonacci είναι λίγο λιγότερο διάσημοι. Αλλά ίσως το πιο εκπληκτικό είναι ο αριθμός e, που δεν γίνεται χωρίς σύγχρονα μαθηματικά, φυσική και ακόμη και οικονομικά.

Η αριθμητική τιμή του e είναι περίπου 2,718. Γιατί όχι ακριβώς, αλλά κατά προσέγγιση; Επειδή αυτός ο αριθμός είναι παράλογος και υπερβατικός, δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα με φυσικούς ακέραιους ή ως πολυώνυμο με λογικούς συντελεστές. Για τους περισσότερους υπολογισμούς της καθορισμένης ακρίβειας, αρκεί μια τιμή 2,718, αν και το τρέχον επίπεδο τεχνολογίας υπολογιστών σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την τιμή του με ακρίβεια μεγαλύτερη από ένα τρισεκατομμύριο δεκαδικά ψηφία.

Το κύριο χαρακτηριστικό του αριθμού e είναι ότι η παράγωγος της εκθετικής του συνάρτησης f (x) \u003d e x είναι ίση με την τιμή της ίδιας της συνάρτησης e x. Καμία άλλη μαθηματική σχέση δεν έχει τόσο ασυνήθιστη ιδιότητα. Ας μιλήσουμε για αυτό με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες.

Τι είναι όριο

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την έννοια του ορίου. Εξετάστε κάποια μαθηματική έκφραση, για παράδειγμα, i = 1/n. Μπορούν να δουν, ότι με αύξηση του «ν", η τιμή του "i" θα μειωθεί και καθώς το "n" τείνει στο άπειρο (το οποίο υποδεικνύεται με το σύμβολο ∞), το "i" θα τείνει στην οριακή τιμή (συχνά αποκαλούμενη απλώς το όριο) ίση με το μηδέν. Η οριακή έκφραση (που συμβολίζεται ως lim) για την υπό εξέταση περίπτωση μπορεί να γραφεί ως lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Υπάρχουν διαφορετικά όρια για διαφορετικές εκφράσεις. Ένα από αυτά τα όρια, που περιλαμβάνεται στα σοβιετικά και ρωσικά εγχειρίδια ως το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο, είναι η έκφραση lim n →∞ (1+1/ n) n . Ήδη από τον Μεσαίωνα, διαπιστώθηκε ότι το όριο αυτής της έκφρασης είναι ο αριθμός e.

Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο περιλαμβάνει την έκφραση lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Πώς να βρείτε την παράγωγο e x - σε αυτό το βίντεο.

Τι είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης

Για να αποκαλύψουμε την έννοια της παραγώγου, θα πρέπει να θυμηθούμε τι είναι μια συνάρτηση στα μαθηματικά. Για να μην γεμίσουμε το κείμενο με πολύπλοκους ορισμούς, ας σταθούμε στη διαισθητική μαθηματική έννοια μιας συνάρτησης, η οποία συνίσταται στο γεγονός ότι μία ή περισσότερες ποσότητες σε αυτήν καθορίζουν πλήρως την τιμή μιας άλλης ποσότητας, εάν είναι αλληλένδετες. Για παράδειγμα, στον τύπο S = π ∙ r 2 της περιοχής ενός κύκλου, η τιμή της ακτίνας r καθορίζει πλήρως και μοναδικά την περιοχή του κύκλου S.

Ανάλογα με τον τύπο, οι συναρτήσεις μπορεί να είναι αλγεβρικές, τριγωνομετρικές, λογαριθμικές κ.λπ. Δύο, τρία ή περισσότερα ορίσματα μπορούν να διασυνδεθούν σε αυτές. Για παράδειγμα, η απόσταση S που διανύθηκε, την οποία το αντικείμενο έχει ξεπεράσει με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ταχύτητα, περιγράφεται από τη συνάρτηση S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, όπου "t" είναι ο χρόνος κίνησης, το όρισμα "a ” είναι η επιτάχυνση (μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική τιμή) και το "V" είναι η αρχική ταχύτητα κίνησης. Έτσι, η ποσότητα της διανυθείσας απόστασης εξαρτάται από τις τιμές τριών ορισμάτων, δύο από τα οποία ("a" και "V") είναι σταθερά.

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτό το παράδειγμα για να δείξουμε τη στοιχειώδη έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης. Χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Στο παράδειγμά μας, αυτή θα είναι η ταχύτητα του αντικειμένου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Με σταθερά "a" και "V" εξαρτάται μόνο από τον χρόνο "t", δηλαδή, με επιστημονικούς όρους, πρέπει να πάρετε την παράγωγο της συνάρτησης S σε σχέση με το χρόνο "t".

Αυτή η διαδικασία ονομάζεται διαφοροποίηση, που πραγματοποιείται με τον υπολογισμό του ορίου του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματός της κατά ένα αμελητέο ποσό. Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων για μεμονωμένες λειτουργίες δεν είναι συχνά εύκολη υπόθεση και δεν εξετάζεται εδώ. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι ορισμένες λειτουργίες σε ορισμένα σημεία δεν έχουν καθόλου τέτοια όρια.

Στο παράδειγμά μας, το παράγωγο Sστο χρόνο "t" θα πάρει τη μορφή S" = ds / dt = a ∙ t + V, από την οποία φαίνεται ότι η ταχύτητα S" αλλάζει γραμμικά ανάλογα με το "t".

Παράγωγος του εκθέτη

Μια εκθετική συνάρτηση ονομάζεται εκθετική συνάρτηση, η βάση της οποίας είναι ο αριθμός e. Συνήθως εμφανίζεται ως F (x) \u003d e x, όπου ο εκθέτης x είναι μια μεταβλητή. Αυτή η συνάρτηση έχει πλήρη διαφοροποίηση σε όλο το εύρος των πραγματικών αριθμών. Καθώς το x αυξάνεται, αυξάνεται συνεχώς και είναι πάντα μεγαλύτερο από το μηδέν. Η αντίστροφη συνάρτησή του είναι ο λογάριθμος.

Ο διάσημος μαθηματικός Taylor κατάφερε να επεκτείνει αυτή τη συνάρτηση σε μια σειρά που πήρε το όνομά του e x = 1 + x/1! + x2/2! + x 3/3! + … στην περιοχή x από - ∞ έως + ∞.

Νόμος που βασίζεται σε αυτή τη λειτουργία, ονομάζεται εκθετική. Περιγράφει:

• αύξηση των σύνθετων τραπεζικών τόκων·
• αύξηση του πληθυσμού των ζώων και του πληθυσμού του πλανήτη.
• rigor mortis time και πολλά άλλα.

Ας επαναλάβουμε για άλλη μια φορά την αξιοσημείωτη ιδιότητα αυτής της εξάρτησης - η τιμή της παραγώγου της σε οποιοδήποτε σημείο είναι πάντα ίση με την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, δηλαδή (e x)" = e x .

Ακολουθούν οι παράγωγοι για τις πιο γενικές περιπτώσεις του εκθέτη:

• (e ax)" = a ∙ e ax;
• (e f (x))" = f "(x) ∙ e f (x) .

Χρησιμοποιώντας αυτές τις εξαρτήσεις, είναι εύκολο να βρείτε παράγωγα για άλλους συγκεκριμένους τύπους αυτής της συνάρτησης.

Μερικά ενδιαφέροντα στοιχεία για τον αριθμό e

Τα ονόματα επιστημόνων όπως οι Napier, Otred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler και άλλοι συνδέονται με αυτόν τον αριθμό. Ο τελευταίος ουσιαστικά εισήγαγε τον προσδιορισμό e για αυτόν τον αριθμό και βρήκε επίσης τους πρώτους 18 χαρακτήρες, χρησιμοποιώντας τη σειρά e = 1 + 1/1 που ανακάλυψε για τον υπολογισμό! +2/2! + 3/3! …

Ο αριθμός e εμφανίζεται στα πιο απροσδόκητα μέρη. Για παράδειγμα, περιλαμβάνεται στην εξίσωση αλυσοειδούς, η οποία περιγράφει την πτώση ενός σχοινιού κάτω από το βάρος του όταν τα άκρα του είναι στερεωμένα σε στηρίγματα.

βίντεο

Το θέμα του μαθήματος βίντεο είναι η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Πριν εξετάσουμε την παράγωγο του εκθέτη στη δύναμη του $x$, υπενθυμίζουμε τους ορισμούς

1. λειτουργίες?
2. όριο ακολουθίας?
3. παράγωγο;
4. εκθέτες.

Αυτό είναι απαραίτητο για μια σαφή κατανόηση της παραγώγου του εκθέτη στην ισχύ του $x$.

Ορισμός 1

Μια συνάρτηση είναι μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών.

Ας πάρουμε $y=f(x)$, όπου οι $x$ και $y$ είναι μεταβλητές. Εδώ το $x$ ονομάζεται όρισμα και το $y$ ονομάζεται συνάρτηση. Το όρισμα μπορεί να λάβει αυθαίρετες τιμές. Με τη σειρά της, η μεταβλητή $y$ αλλάζει σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο νόμο ανάλογα με το όρισμα. Δηλαδή, το όρισμα $x$ είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και η συνάρτηση $y$ είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. Οποιαδήποτε τιμή $x$ αντιστοιχεί σε μια μεμονωμένη τιμή $y$.

Αν σε κάθε φυσικό αριθμό $n=1, 2, 3, ...$ εκχωρηθεί ένας αριθμός $x_n$ δυνάμει κάποιου νόμου, τότε λέμε ότι μια ακολουθία αριθμών $x_1,x_2,...,x_n$ είναι ορίζεται. Διαφορετικά, μια τέτοια ακολουθία γράφεται ως $\(x_n\)$. Όλοι οι αριθμοί $x_n$ ονομάζονται μέλη ή στοιχεία της ακολουθίας.

Ορισμός 2

Το όριο μιας ακολουθίας είναι το τελικό σημείο ή το σημείο στο άπειρο στην πραγματική ευθεία. Το όριο γράφεται ως εξής: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Αυτή η καταχώρηση σημαίνει ότι η μεταβλητή $x_n$ τείνει σε $a$ $x_n\σε a$.

Η παράγωγος της συνάρτησης $f$ στο σημείο $x_0$ ονομάζεται το ακόλουθο όριο:

$\lim\limits_(x\έως x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Συμβολίζεται με $f"(x_0)$.

Ο αριθμός $e$ είναι ίσος με το ακόλουθο όριο:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

Στο δεδομένο όριο, το $n$ είναι ένας φυσικός ή πραγματικός αριθμός.

Γνωρίζοντας τις έννοιες ορίου, παραγώγου και εκθέτη, μπορούμε να προχωρήσουμε στην απόδειξη του τύπου $(e^x)"=e^x$.

Παραγωγή της παραγώγου του εκθέτη στη δύναμη του $x$

Έχουμε $e^x$, όπου $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Με την ιδιότητα του εκθέτη $e^(a+bx)=e^a*e^b$ μπορούμε να μετατρέψουμε τον αριθμητή του ορίου:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Δηλαδή, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ έως 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Συμβολίστε $t=e^(\Delta x)-1$. Παίρνουμε $e^(\Delta x)=t+1$, και από την ιδιότητα του λογάριθμου προκύπτει ότι $\Delta x = ln(t+1)$.

Εφόσον ο εκθέτης είναι συνεχής, έχουμε $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Επομένως, εάν $\Delta x\to 0$, τότε $ t \ έως $0.

Ως αποτέλεσμα, δείχνουμε τον μετασχηματισμό:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Σημειώστε $n=\frac (1)(t)$ και μετά $t=\frac(1)(n)$. Αποδεικνύεται ότι αν $t\to 0$, τότε $n\to\infty$.

Ας μετατρέψουμε το όριό μας:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Με την ιδιότητα του λογάριθμου $b\cdot ln c=ln c^b$ έχουμε

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Το όριο μετατρέπεται ως εξής:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Σύμφωνα με την ιδιότητα συνέχειας του λογάριθμου και την ιδιότητα των ορίων για μια συνεχή συνάρτηση: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, όπου Το $f(x)$ έχει θετικό όριο $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Έτσι, λόγω του γεγονότος ότι ο λογάριθμος είναι συνεχής και υπάρχει ένα θετικό όριο $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, μπορούμε να συμπεράνουμε:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Ας χρησιμοποιήσουμε την τιμή του δεύτερου υπέροχου ορίου $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Παίρνουμε:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Έτσι, εξάγαμε τον τύπο για την παράγωγο του εκθέτη και μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η παράγωγος του εκθέτη στη δύναμη του $x$ είναι ισοδύναμη με τον εκθέτη της ισχύος του $x$:

Υπάρχουν επίσης άλλοι τρόποι εξαγωγής αυτού του τύπου χρησιμοποιώντας άλλους τύπους και κανόνες.

Παράδειγμα 1

Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης.

Κατάσταση: Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Λύση: Εφαρμόστε τον τύπο $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ στους όρους $2^x, 3^x$ και $10^x$. Σύμφωνα με τον παραγόμενο τύπο $(e^x)"= e^x$ ο τέταρτος όρος $e^x$ δεν αλλάζει.

Απάντηση: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Έτσι, αντλήσαμε τον τύπο $(e^x)"=e^x$, ενώ δίνοντας ορισμούς στις βασικές έννοιες, αναλύσαμε ένα παράδειγμα εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης με εκθέτη ως έναν από τους όρους.

Απόδειξη και παραγωγή τύπων για την παράγωγο της εκθετικής (e στη δύναμη του x) και της εκθετικής συνάρτησης (a στη δύναμη του x). Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των e^2x, e^3x και e^nx. Τύποι για παράγωγα υψηλότερων τάξεων.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Εκθετική συνάρτηση - ιδιότητες, τύποι, γράφημα
Εκθέτης, e στη δύναμη του x - ιδιότητες, τύποι, γράφημα

Βασικές φόρμουλες

Η παράγωγος του εκθέτη είναι ίση με τον ίδιο τον εκθέτη (η παράγωγος του e στη δύναμη του x είναι ίση με το e στη δύναμη του x):
(1) (e x )′ = e x.

Η παράγωγος μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση βαθμού a είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση, πολλαπλασιαζόμενη με τον φυσικό λογάριθμο του a:
(2) .

Ο εκθέτης είναι μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση εκθέτη είναι ίση με τον αριθμό e, που είναι το ακόλουθο όριο:
.
Εδώ μπορεί να είναι είτε φυσικός είτε πραγματικός αριθμός. Στη συνέχεια, εξάγουμε τον τύπο (1) για την παράγωγο του εκθέτη.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο του εκθέτη

Θεωρήστε τον εκθέτη, e στη δύναμη του x:
y = e x .
Αυτή η λειτουργία έχει οριστεί για όλους. Ας βρούμε την παράγωγό του ως προς το x . Εξ ορισμού, η παράγωγος είναι το ακόλουθο όριο:
(3) .

Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση για να την αναγάγουμε σε γνωστές μαθηματικές ιδιότητες και κανόνες. Για αυτό χρειαζόμαστε τα ακόλουθα γεγονότα:
ΕΝΑ)Ιδιότητα εκθέτη:
(4) ;
ΣΙ)Ιδιότητα λογάριθμου:
(5) ;
ΣΕ)Συνέχεια του λογάριθμου και ιδιότητα των ορίων για μια συνεχή συνάρτηση:
(6) .
Εδώ, είναι κάποια συνάρτηση που έχει ένα όριο και αυτό το όριο είναι θετικό.
ΣΟΛ)Η έννοια του δεύτερου υπέροχου ορίου:
(7) .

Εφαρμόζουμε αυτά τα δεδομένα στο όριο μας (3). Χρησιμοποιούμε την ιδιοκτησία (4):
;
.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Επειτα ; .
Λόγω της συνέχειας του εκθέτη,
.
Επομένως, στο , . Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Επειτα . Στο , . Και έχουμε:
.

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα του λογάριθμου (5):
. Επειτα
.

Ας εφαρμόσουμε την ιδιότητα (6). Εφόσον υπάρχει θετικό όριο και ο λογάριθμος είναι συνεχής, τότε:
.
Εδώ χρησιμοποιήσαμε και το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (7). Επειτα
.

Έτσι, έχουμε τον τύπο (1) για την παράγωγο του εκθέτη.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης

Τώρα εξάγουμε τον τύπο (2) για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης με βάση βαθμού α. Πιστεύουμε ότι και . Στη συνέχεια η εκθετική συνάρτηση
(8)
Καθορισμένο για όλους.

Ας μετατρέψουμε τον τύπο (8). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης και του λογάριθμου.
;
.
Έτσι, μετασχηματίσαμε τον τύπο (8) στην ακόλουθη μορφή:
.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης του e στη δύναμη του x

Τώρα ας βρούμε παράγωγα υψηλότερων τάξεων. Ας δούμε πρώτα τον εκθέτη:
(14) .
(1) .

Βλέπουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης (14) είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση (14). Διαφοροποιώντας (1), λαμβάνουμε παράγωγα δεύτερης και τρίτης τάξης:
;
.

Αυτό δείχνει ότι η παράγωγος nης τάξης είναι επίσης ίση με την αρχική συνάρτηση:
.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης της εκθετικής συνάρτησης

Τώρα θεωρήστε μια εκθετική συνάρτηση με βάση το βαθμό α:
.
Βρήκαμε την παράγωγο πρώτης τάξης του:
(15) .

Διαφοροποιώντας (15), λαμβάνουμε παράγωγα δεύτερης και τρίτης τάξης:
;
.

Βλέπουμε ότι κάθε διαφοροποίηση οδηγεί στον πολλαπλασιασμό της αρχικής συνάρτησης με . Επομένως, η nη παράγωγος έχει την ακόλουθη μορφή:
.

Δείτε επίσης: