Εκπαιδευτικός
αύξηση του ενδιαφέροντος των μαθητών για τη μελέτη της γεωμετρίας.
για την ενεργοποίηση της γνωστικής δραστηριότητας των μαθητών.
να διαμορφώσει τις ιδιότητες της σκέψης που είναι χαρακτηριστικές της μαθηματικής δραστηριότητας και απαραίτητες για μια παραγωγική ζωή στην κοινωνία.
Εκπαιδευτικός
να παρακινήσει το ενδιαφέρον των μαθητών για το θέμα, συμπεριλαμβάνοντάς τους στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
. Επανάληψη θεωρητικού υλικού με θέμα «Ομοιότητες τριγώνων».
Σε πολλά μαθήματα μελετάμε την ομοιότητα των τριγώνων. Ας επαναλάβουμε το θεωρητικό υλικό.
Για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, να αναφέρετε εάν είναι αληθής ή όχι. (ολίσθηση)
Εάν τρεις γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια.
Οποιαδήποτε δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι παρόμοια.
Αν οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ανάλογες με τις τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
Οι πλευρές του ενός τριγώνου έχουν μήκη 3, 4, 6 εκ., οι πλευρές του άλλου τριγώνου είναι 9, 14, 18 εκ. Αυτά τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
Οι περίμετροι ομοίων τριγώνων συσχετίζονται με τα τετράγωνα όμοιων πλευρών.
Αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες με 60 και 50 και δύο γωνίες ενός άλλου τριγώνου είναι ίσες με 50 και 80, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια.
Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι παρόμοια αν το καθένα έχει την ίδια οξεία γωνία.
Δύο ισοσκελή τρίγωνα είναι παρόμοια αν οι πλευρές τους είναι ανάλογες.
Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί κάθε διάμεσο σε αναλογία 1:2, μετρώντας από την κορυφή.
Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι παράλληλη σε μία από τις πλευρές του και ίση με το μισό αυτής της πλευράς.
Κλειδί για το τεστ: 1. ναι. 2. ναι? 3. ναι? 4. όχι; 5. όχι; 6. όχι; 7. ναι? 8. όχι; 9. όχι; 10. ναι.
Έντυπο επαλήθευσης δοκιμής - αμοιβαία επαλήθευση (διαφάνεια) (ελέγξτε ο ένας τον άλλον και δώστε βαθμούς)
II. Εκμάθηση νέου υλικού.
Γιατί πιστεύετε ότι μελετάμε την ομοιότητα των τριγώνων;
Το επίγραμμα στο μάθημά μας θα είναι τα λόγια του Ρώσου Σοβιετικού μαθηματικού, ναυπηγού, ακαδημαϊκού A.N. Krylov «Η θεωρία χωρίς πρακτική είναι νεκρή ή άκαρπη, η πρακτική χωρίς θεωρία είναι αδύνατη ή καταστροφική. Για τη θεωρία χρειάζεται γνώση, για την πράξη, επιπλέον, δεξιότητα. (ολίσθηση)
Σήμερα, παιδιά, πρέπει να καταλάβουμε πώς, μέσω των μαθηματικών, μπορείτε να προσδιορίσετε το ύψος ενός αντικειμένου, απλά περπατώντας στο δρόμο και χωρίς να έχετε μαζί σας κανένα όργανο μέτρησης. Έτσι, το θέμα του μαθήματός μας είναι «Μέτρηση της εργασίας στο έδαφος».
1) Προσδιορισμός του ύψους ενός αντικειμένου χρησιμοποιώντας μια περιστρεφόμενη ράβδο.(ολίσθηση)
Χρησιμοποιήστε τη διαφάνεια για να εξηγήσετε τη λύση σε αυτό το πρόβλημα.
Νο. 579 (μόνος μου)
2) Προσδιορισμός του ύψους ενός αντικειμένου με χρήση καθρέφτη(διαφάνεια) - μια δέσμη φωτός FD, που αντανακλάται από τον καθρέφτη στο σημείο D, χτυπά το ανθρώπινο μάτι (σημείο Β).
Νο. 581 (ανεξάρτητα) AB \u003d AC - BC \u003d 165 - 12 \u003d 153 cm, 
3) Προσδιορισμός του ύψους ενός αντικειμένου από το μήκος της σκιάς του.(ολίσθηση)
Ο παγκοσμίου φήμης συγγραφέας Άρθουρ Κόναν Ντόιλ ήταν γιατρός. Φαινόταν όμως να γνωρίζει πολύ καλά τη γεωμετρία. Στο «The Rite of the House of the Musgraves», περιέγραψε πώς ο Σέρλοκ Χολμς έπρεπε να καθορίσει πού θα ήταν το τέλος της σκιάς μιας φτελιάς που είχε κοπεί. Ήξερε το ύψος αυτού του δέντρου από πριν. Ο Σέρλοκ Χολμς εξήγησε τις ενέργειές του ως εξής: «... Έδεσα δύο ράβδους μεταξύ τους, που μου έδωσαν έξι πόδια, και ο πελάτης μου και εγώ πήγαμε στο μέρος όπου κάποτε φύτρωσε η φτελιά. Κόλλησα το κοντάρι μου στο έδαφος, σημείωσα την κατεύθυνση της σκιάς και τη μέτρησα. Ήταν εννέα πόδια. Οι περαιτέρω υπολογισμοί μου ήταν αρκετά απλοί. Εάν ένα ραβδί ύψους έξι ποδιών ρίχνει μια σκιά εννέα ποδιών, ένα δέντρο ύψους εξήντα τεσσάρων ποδιών ρίχνει μια σκιά ενενήντα έξι ποδιών και η κατεύθυνση των δύο θα είναι, φυσικά, η ίδια». Εξηγήστε αυτό το ζήτημα. 
Ελαττώματα:
είναι αδύνατο να μετρηθεί το ύψος ενός αντικειμένου απουσία του ήλιου και, κατά συνέπεια, της σκιάς.
4) Προσδιορισμός του ύψους ενός αντικειμένου από έναν πόλο(ολίσθηση)
Ελλείψει σκιάς σε συννεφιασμένο καιρό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο μέτρησης, η οποία παρουσιάζεται γραφικά από τον Ιούλιο Βερν στο διάσημο μυθιστόρημα «Το μυστηριώδες νησί».
Διαβάσαμε ένα απόσπασμα από το μυθιστόρημα.
":- Σήμερα πρέπει να μετρήσουμε το ύψος του βράχου Far View", είπε ο μηχανικός.
Χρειάζεστε ένα εργαλείο για αυτό; ρώτησε ο Χέρμπερτ.
- Όχι, δεν θα γίνει. Θα ενεργήσουμε λίγο διαφορετικά, στρεφόμενοι σε μια εξίσου απλή και ακριβή μέθοδο.
Ο νεαρός προσπαθώντας να μάθει, ίσως περισσότερα, ακολούθησε τον μηχανικό, που κατέβηκε από το γρανιτένιο τείχος μέχρι την άκρη της ακτής.
Παίρνοντας ένα ίσιο κοντάρι, μήκους 10 ποδιών, ο μηχανικός το μέτρησε όσο το δυνατόν ακριβέστερα, συγκρίνοντάς το με το ύψος του, που του ήταν πολύ γνωστό. Ο Χέρμπερτ κουβαλούσε πίσω του ένα βαρέλι που του έδωσε ένας μηχανικός: απλώς μια πέτρα δεμένη στην άκρη ενός σχοινιού.
Μη φτάνοντας στα 500 πόδια από τον τοίχο από γρανίτη, που υψωνόταν απότομα, ο μηχανικός κόλλησε ένα κοντάρι περίπου δύο πόδια στην άμμο και, αφού τον ενίσχυσε σταθερά, τον έβαλε κάθετα με ένα βαρέλι. Στη συνέχεια απομακρύνθηκε από το κοντάρι σε τέτοια απόσταση που, ξαπλωμένος στην άμμο, μπορούσε κανείς να δει τόσο το άκρο του στύλου όσο και την άκρη της κορυφογραμμής σε μια ευθεία γραμμή. Σημάδεψε προσεκτικά αυτό το σημείο με ένα μανταλάκι.
— Γνωρίζετε τις απαρχές της γεωμετρίας; ρώτησε τον Χέρμπερτ σηκώνοντας από το έδαφος.
Θυμάστε τις ιδιότητες παρόμοιων τριγώνων;
— Οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ανάλογες.
- Σωστά. Λοιπόν: τώρα θα φτιάξω 2 παρόμοια ορθογώνια τρίγωνα. Το μικρότερο έχει ένα πόδι, θα υπάρχει ένας καθαρός πόλος, ο άλλος - η απόσταση από το μανταλάκι στη βάση του στύλου. η υποτείνουσα είναι το οπτικό μου πεδίο. Σε ένα άλλο τρίγωνο, τα πόδια θα είναι: ένας απότομος τοίχος, το ύψος του οποίου θέλουμε να προσδιορίσουμε και η απόσταση από το μανταλάκι στη βάση αυτού του τοίχου. η υποτείνουσα είναι η οπτική μου γραμμή, που συμπίπτει με την κατεύθυνση της υποτείνουσας του πρώτου τριγώνου.
- Κατάλαβα! αναφώνησε ο νεαρός. - Η απόσταση από το μανταλάκι στο κοντάρι σχετίζεται με την απόσταση από την απόσταση από το μανταλάκι στη βάση του τοίχου, καθώς το ύψος του στύλου είναι στο ύψος του τοίχου.
- Ναι, και, επομένως, αν μετρήσουμε δύο αποστάσεις, τότε γνωρίζοντας το ύψος του πόλου, μπορούμε να υπολογίσουμε τον τέταρτο άγνωστο όρο της αναλογίας, δηλ. ύψος τοίχου. Θα απαλλάξουμε έτσι την άμεση μέτρηση αυτού του ύψους.
Έχουν μετρηθεί και οι δύο αποστάσεις. Η απόσταση από το μανταλάκι μέχρι το ραβδί ήταν 15 πόδια και από το ραβδί μέχρι τον βράχο, 485 πόδια.
Στο τέλος των μετρήσεων, ο μηχανικός έκανε την εξής καταχώρηση:
Έτσι, το ύψος του τοίχου από γρανίτη ήταν περίπου 333 πόδια».
ΠλεονεκτήματαΤρόπος Ιουλίου Βερν:
— είναι δυνατή η πραγματοποίηση μετρήσεων υπό οποιονδήποτε καιρό.
την απλότητα του τύπου.
Ελαττώματα:είναι αδύνατο να μετρήσετε το ύψος του αντικειμένου χωρίς να λερωθείτε, αφού πρέπει να ξαπλώσετε στο έδαφος.
Περίληψη του μαθήματος.
Δείγματα ερωτήσεων για μαθητές:
- Σου άρεσε το μάθημα; Τι σου άρεσε συγκεκριμένα και τι όχι;
Μάθατε κάτι νέο και χρήσιμο για τον εαυτό σας;
- Αξιολογήστε τη διάθεσή σας σχεδιάζοντας το κατάλληλο emoticon. (ολίσθηση)
Ερωτήσεις από μαθητές.
Ευχαριστούμε τους μαθητές για τη συνεργασία.
Εργασία για το σπίτι.(ολίσθηση)
σελ. 64, μελετήστε τον προσδιορισμό της απόστασης σε δυσπρόσιτο σημείο
Πηγές πληροφοριών:
1. Λ.Σ. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, E.G. Πόζνιακ, Ι.Ι. Yudin "Geometry 7-9": Μόσχα, "Διαφωτισμός", 2012
2. https://ppt4web.ru/ - φιλοξενία παρουσίασης
Καθηγήτρια μαθηματικών Sarimova Nailya Rakhimovna
Γυμνάσιο MBOU Malobugulma
Περιοχή Bugulminsky της Δημοκρατίας του Ταταρστάν
Θέμα μαθήματος: Μέτρηση της εργασίας στο έδαφος
(για τους μαθητές5-7 τάξη)
Όποιος ασχολείται από την παιδική του ηλικία με τα μαθηματικά αναπτύσσει την προσοχή, εκπαιδεύει τον εγκέφαλό του, τη θέλησή του, καλλιεργεί την επιμονή και την επιμονή στην επίτευξη του στόχου.(Α. Μαρκούσεβιτς)
Για όσους έχουν βιώσει ποτέ ένα χαρούμενο συναίσθημα από την επίλυση ενός δύσκολου προβλήματος, γνώρισαν τη χαρά μιας ανακάλυψης, έστω και μικρής, και κάθε πρόβλημα στα μαθηματικά είναι ένα πρόβλημα που η ανθρωπότητα προσπαθεί να λύσει εδώ και πολλά χρόνια, και τα παιδιά θα προσπαθεί να μαθαίνει όλο και περισσότερα και να χρησιμοποιεί εφαρμόζει τις αποκτηθείσες γνώσεις στη ζωή. Αυτό το είδος εργασίας θα βοηθήσει τον δάσκαλο να αιχμαλωτίσει τους μαθητές, να αναπτύξει τις απαρχές της μαθηματικής και λογικής σκέψης, να διευρύνει τους ορίζοντες του μαθητή, δημιουργική εργασία, ξυπνούν την επιθυμία να σπουδάσουν μια από τις πιο ενδιαφέρουσες επιστήμες. Αυτή η επιθυμία εξαρτάται όχι μόνο από την εργασία στο μάθημα, αλλά και από πρακτικές ασκήσεις.
Ο σκοπός του μαθήματος: Εισαγάγετε τους μαθητές στις μεθόδους μέτρησης της εργασίας στο έδαφος, μυήστε τους μαθητές σε εργαλεία όπως: μεζούρα, κοντάρι, βαρέλι, πυξίδα, πυξίδα, πείτε πώς να τα χρησιμοποιήσετε.
Καθήκοντα:
- εκπαιδευτικός: να διδάξει πώς να χρησιμοποιεί και να εφαρμόζει αυτά τα εργαλεία στην επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο μέτρησης της εργασίας, να βελτιώσει τις δεξιότητες της ανεξάρτητης εργασίας
- ανάπτυξη: ανάπτυξη λογικής σκέψης, μνήμης, προσοχής, ικανότητας κατάρτισης σχεδίου λύσης και εξαγωγής συμπερασμάτων, ανάπτυξης γνωστικών ενδιαφερόντων, δεξιοτήτων αυτοελέγχου.
- εκπαιδευτικός: να καλλιεργήσει την ακρίβεια, την επιμέλεια, την επιμονή, την επιθυμία να φέρει το έργο που ξεκίνησε στο τέλος, μια αίσθηση αμοιβαίας βοήθειας, αμοιβαίας υποστήριξης.
Τύπος μαθήματος: νέο υλικό μάθησης
Μορφές εργασίας των μαθητών: εργασία σε ομάδες, σε ζευγάρια
Κατά την επιλογή του περιεχομένου κάθε μαθήματος για ένα δεδομένο θέμα και τις μορφές δραστηριότητας των μαθητών, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες αρχές: η σχέση μεταξύ θεωρίας και πράξης, επιστημονικός χαρακτήρας και ορατότητα.
λαμβάνοντας υπόψη την ηλικία και τα ατομικά χαρακτηριστικά των μαθητών·
συνδυασμοί συλλογικών και ατομικών δραστηριοτήτων των συμμετεχόντων·
διαφοροποιημένη προσέγγιση·
Κριτήρια για την αξιολόγηση της επίτευξης των αναμενόμενων αποτελεσμάτων:
μαθητική δραστηριότητα?
ανεξαρτησία των μαθητών στην εκτέλεση των καθηκόντων ·
πρακτικές εφαρμογές της μαθηματικής γνώσης.
το επίπεδο δημιουργικότητας των συμμετεχόντων.
Η προετοιμασία και η διεξαγωγή τέτοιων μαθημάτων θα έχει ως αποτέλεσμα:
συνδέουν, αφυπνίζουν και αναπτύσσουν τις πιθανές ικανότητες των μαθητών.
να εντοπίσει τους πιο ενεργούς και ικανούς συμμετέχοντες·
να εκπαιδεύσει τις ηθικές ιδιότητες ενός ατόμου: επιμέλεια, επιμονή στην επίτευξη στόχων, υπευθυνότητα και ανεξαρτησία.
να διδάξει πώς να εφαρμόζει τις μαθηματικές γνώσεις στην καθημερινή πρακτική ζωή.
Δομή μαθήματος
Πριν πραγματοποιήσετε εργασίες μέτρησης στο έδαφος, εξοικειώστε τους μαθητές με τα ακόλουθα εργαλεία:
Ρουλέτα- ένα εργαλείο για τη μέτρηση του μήκους. Είναι μια μεταλλική ή πλαστική ταινία με τυπωμένα τμήματα, η οποία τυλίγεται σε καρούλι που περικλείεται σε περίβλημα εξοπλισμένο με ειδικό μηχανισμό για το τύλιγμα της ταινίας. Ο μηχανισμός περιέλιξης μπορεί να είναι ένας από τους δύο τύπους: με ελατήριο επιστροφής - στη συνέχεια η ταινία τυλίγεται όταν απελευθερώνεται και χαράσσεται από το σώμα της ρουλέτας με λίγη προσπάθεια. με μια περιστρεφόμενη λαβή που προεξέχει προς τα έξω, συνδεδεμένη με το καρούλι της ταινίας - τότε η ταινία ξετυλίγεται όταν περιστρέφεται η λαβή.
ΠόλοςΕίναι ένας ίσιος ξύλινος στύλος ή ένας ελαφρύς μεταλλικός σωλήνας μήκους 1,5 - 3 m με μυτερό άκρο για να προεξέχει στο έδαφος. Οι πόλοι χρησιμοποιούνται για την ανάρτηση γραμμών, τον καθορισμό σημείων και την εγκατάσταση διαφόρων συσκευών κατά την εκτέλεση γεωδαιτικών εργασιών. Οι απλούστεροι στύλοι για ανάρτηση γραμμών και προσδιορισμό σημείων. Είναι προσωρινές και μόνιμες. Ορόσημα (πόλοι) - πασσάλους που οδηγούνται στο έδαφος.
διαβήτης(πυξίδα πεδίου - sazhen) - ένα εργαλείο με τη μορφή του γράμματος Α, ύψους 1,37 μ. και πλάτους 2 μ. Για να μετρήσετε την απόσταση στο έδαφος, είναι πιο βολικό για τους μαθητές να πάρουν την απόσταση μεταξύ των ποδιών 1 μέτρο.
Έκεραποτελείται από δύο ράβδους που βρίσκονται σε ορθή γωνία και τοποθετούνται σε τρίποδο. Στα άκρα των ράβδων, τα καρφιά μπαίνουν μέσα έτσι ώστε οι ευθείες που διέρχονται από αυτές να είναι αμοιβαία κάθετες.
πετονιά(κορδόνι βαρέλι) - μια συσκευή που αποτελείται από ένα λεπτό νήμα και ένα βάρος στο άκρο του, το οποίο σας επιτρέπει να κρίνετε τη σωστή κατακόρυφη θέση, η οποία χρησιμεύει για την κατακόρυφη ευθυγράμμιση επιφανειών (τοίχοι, τοίχοι, τοιχοποιία κ.λπ.) και ράφια (κολώνες κ.λπ.).) Υπό την επίδραση της βαρύτητας, το νήμα παίρνει σταθερή κατεύθυνση (γραμμή βαρύτητας).
Η άκρη του βάρους πρέπει να βρίσκεται ακριβώς στη συνέχεια του τεντωμένου νήματος· για το σκοπό αυτό, δίνεται στο βάρος η όψη ενός αναποδογυρισμένου κώνου τοποθετημένου στον κύλινδρο. ένας μικρός κύλινδρος βιδώνεται στη βάση του κυλίνδρου έτσι ώστε τα κέντρα τους να συμπίπτουν. μια κλωστή με κόμπο στην άκρη περνάει στην κεντρική τρύπα της τελευταίας.
Ένα βαρέλι χρησιμοποιείται για την τοποθέτηση σιδηροτροχιών σε κάθετη θέση για κατακόρυφη ευθυγράμμιση όταν ισοπεδώνει μια ανώμαλη θέση, στην κατασκευή μιας κλίμακας, αλφάδι και σε γωνιομετρικά όργανα για τη ρύθμιση του κέντρου του άκρου πάνω από ένα σημείο του εδάφους.
Επαναλάβετε με τους μαθητές έννοιες όπως ευθεία γραμμή, τμήμα, ορθογώνιο, μήκος, πλάτος, ύψος, όγκος, κάτοψη, κλίμακα, εμβαδόν τετραγώνου και ορθογωνίου, μέσο μήκος βήματος, περίμετρος, κανόνες στρογγυλοποίησης αριθμών.
Στη συνέχεια ανατίθενται στους μαθητές οι ακόλουθες εργασίες:
Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο έδαφος. Μετρήστε το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος.
Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο εμβαδόν στο έδαφος και υπολογίστε το εμβαδόν και την περίμετρό του, στρογγυλοποιώντας την απάντηση σε ακέραιους αριθμούς.
Προσδιορίστε την περιοχή του σχολικού χώρου. Κάντε τις απαραίτητες μετρήσεις και υπολογισμούς. Δείξτε αυτήν την περιοχή στο σχέδιο, η κλίμακα του σχεδίου είναι 1: 50000. Δώστε την απάντησή σας σε εκτάρια.
Προσδιορίστε το μέσο μήκος διασκελισμού σας και χρησιμοποιήστε το για να βρείτε την απόσταση από το σχολείο στο πλησιέστερο κατάστημα. Στρογγυλοποιήστε την απάντησή σας στο πλησιέστερο μέτρο.
Η τάξη χωρίζεται σε 4 ομάδες, η καθεμία λαμβάνει ένα σύνολο απαραίτητων εργαλείων. Κάθε ομάδα μπορεί να εργαστεί από οποιονδήποτε αριθμό. Οι ομάδες συντάσσουν μια έκθεση που περιγράφει την πρόοδο των εργασιών, την παραδίδουν για επαλήθευση. Ο δάσκαλος αξιολογεί την ορθότητα της πορείας της εργασίας, την πιστότητα των υπολογισμών και την αισθητική του σχεδιασμού, βάζει μια συνολική βαθμολογία σε ολόκληρη την ομάδα.
Επίλυση προβλημάτων μέτρησης στο έδαφος
(δείγμα περιγραφής)
№1. ΔΓια να δημιουργήσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο έδαφος, πρέπει να δημιουργήσετε τρία ορόσημα στο προβλεπόμενο εύρος.
Για να ελέγξετε την ορθότητα της κατασκευής μιας ευθείας γραμμής, πρέπει να σταθείτε απέναντι από το τελευταίο ραβδί και να το κοιτάξετε έτσι ώστε όλα τα μπαστούνια να συγχωνευθούν σε ένα. Εάν τουλάχιστον ένα ορόσημο κρυφοκοιτάζει, πρέπει να το μετακινήσετε ώστε να μην είναι ορατό.
Οι μετρήσεις του μήκους ενός τμήματος στο έδαφος πραγματοποιούνται χρησιμοποιώντας μια μεζούρα ή μια χωμάτινη πυξίδα ή μια μεζούρα, μπορείτε να το μετρήσετε περίπου με το βήμα σας εάν είναι γνωστό το μέσο μήκος του βήματος.
Η πυξίδα χρησιμοποιείται για να βρει το μήκος και το πλάτος του πεδίου, η απόσταση μεταξύ των άκρων του ΑΒ μπορεί να είναι διαφορετική, συνήθως περίπου 1,5 m ή 2 m.
Για να μετρήσετε το μήκος ενός τμήματος στο έδαφος με τη βοήθειά του, είναι απαραίτητο να περπατήσετε κατά μήκος του τμήματος μαζί του, αναποδογυρίζοντάς το συνεχώς στο σημείο Γ. Πόσες φορές ταιριάζει το μήκος του ΑΒ, αυτός ο αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 1,5 m ή 2 m. Λάβετε το μήκος του επιθυμητού τμήματος.
Για παράδειγμα: l= 1,5*10=15(m) ή l=2*10=20(m). (Στη συνέχεια, μπορείτε να ελέγξετε το μήκος με μια μεζούρα).
№2. Για να χτίσετε μια ορθή γωνία στο έδαφος, χρησιμοποιήστε-eker. Πρόκειται για δύο κάθετες μεταξύ τους σανίδες, στα άκρα των οποίων τα γαρίφαλα οδηγούνται κάθετα. Όλα αυτά είναι τοποθετημένα σε ένα ειδικό τρίποδο (τρίποδο) και στο κέντρο υπάρχει μια ράβδος έτσι ώστε η συσκευή να είναι αυστηρά κάθετη στο έδαφος. Χρειάζεστε δύο ακόμη καρφίτσες.
Στο σημείο Ο θέτουμε ένα eker, και στο σημείο Α και Β θέτουμε πόλους. Πρέπει να σταθείτε στο σημείο Ο και να κοιτάξετε τις σανίδες του eker έτσι ώστε δύο αντίθετα καρφιά σε μια σανίδα να ενωθούν με τον πόλο στο σημείο. Α και Β. Εάν και τα δύο ραβδιά έχουν συγχωνευθεί, τότε η γωνία BOA \u003d 90 μοίρες, δηλ. ευθεία γωνία. Εάν όχι, τότε πρέπει να μετακινήσετε τα ορόσημα μέχρι να συγχωνευτούν πλήρως.
Έτσι μπορείτε να φτιάξετε ένα ορθογώνιο, ένα τετράγωνο στο έδαφος. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε τα μήκη των πλευρών τους. Υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν. Η απάντηση στρογγυλοποιείται σε έναν ακέραιο αριθμό.
Για παράδειγμα: a=12m6dm, v=34m8dm; 1) P \u003d 2 (126dm + 348dm) \u003d 2 * 474dm \u003d 948dm \u003d 94m 8dm. R=95m. 2). S \u003d AB * BC, S \u003d 126 * 348 (dm) = 3848 (dm τετράγωνο) \u003d 385 τετραγωνικά μέτρα. 
Ο υπολογισμός για ένα τετράγωνο είναι παρόμοιος, μόνο όλες οι πλευρές είναι ίσες.
№3 . Ας πραγματοποιήσουμε μέτρηση του χώρου του σχολείου με μεζούρα ή πυξίδες.
Για παράδειγμα:Παίρνουμε το μήκος 450m, το πλάτος 100m. Εάν η κλίμακα είναι 1:5000, τότε μεταφράζουμε αυτές τις διαστάσεις για να φτιάξουμε ένα σχέδιο.
450m= 45000cm;
45000:5000=9(cm) - στο σχέδιο.
100m=10000cm-στο έδαφος?
10000:5000-2 (cm) - στο σχέδιο. Παίρνουμε το ορθογώνιο ABCD. S= 450*100m=45000sq m=450a=45ga.
№4 Προσδιορίστε το μέσο μήκος διασκελισμού σας. Για να γίνει αυτό, χτίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο έδαφος. Ο μαθητής κάνει 10 βήματα και μετρά το μήκος του τμήματος που προκύπτει. Στη συνέχεια, διαιρεί αυτό το μήκος με το 10, αφού το κάνει αρκετές φορές, αθροίζει τα αποτελέσματα που προκύπτουν και διαιρεί με τον αριθμό των προσπαθειών.
Για παράδειγμα:
| Αριθμός προσπαθειών | Αριθμός βημάτων | Συνολικό μήκος | Μήκος 1 βήμα |
| Μέσο μήκος διασκελισμού | |||
Κάθε μέλος της ομάδας καθορίζει την απόσταση από το σχολείο μέχρι το πλησιέστερο κατάστημα χρησιμοποιώντας το μήκος του βήματος του. Στη συνέχεια, βρείτε το μέσο μήκος της απόστασης.
Για παράδειγμα:
| Μέλη | μήκος διασκελισμού | Σύνολο βημάτων | Αποστάσεις |
L= (310+293+292):3=895:3=298,3(m)=298m.
Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα
Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είναι πολύ ευγνώμονες.
Δεν υπάρχει ακόμα έκδοση HTML της εργασίας.
Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο της εργασίας κάνοντας κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο.
Παρόμοια Έγγραφα
Η έννοια και η ταξινόμηση των γωνιών, θετικών και αρνητικών γωνιών. Μέτρηση γωνιών με κυκλικά τόξα. Μονάδες μέτρησής τους όταν χρησιμοποιούνται μέτρα βαθμών και ακτίνων. Χαρακτηριστικά γωνιών: μεταξύ κεκλιμένου και επιπέδου, δύο επίπεδα, δίεδρο.
περίληψη, προστέθηκε 18/08/2011
διατριβή, προστέθηκε 01.12.2007
Μια εξαιρετική φιγούρα του Μεσαίωνα, ένας παγκόσμιος επιστήμονας-εγκυκλοπαιδιστής Abu Rayhan Muhammad ibn Ahmad al-Beruni, στο έργο του "Gnomonika" αναφέρεται λεπτομερώς στη μέτρηση της απόστασης στη Γη και του ύψους των βουνών και δίνει τρόπους επίλυσής τους.
περίληψη, προστέθηκε 25/03/2008
Γωνίες και η μέτρησή τους, τριγωνομετρικές συναρτήσεις οξείας γωνίας. Ιδιότητες και σημάδια τριγωνομετρικών συναρτήσεων. άρτιες και περιττές συναρτήσεις. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Λύση της πιο απλής τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι ανισότητες με χρήση τύπων.
φροντιστήριο, προστέθηκε 30/12/2009
Χρησιμοποιώντας μια ποικιλία τρόπων μέτρησης της απόστασης σε χώρες σε όλο τον κόσμο. Χαρακτηριστικά του συστήματος μέτρων της Αρχαίας Ρωσίας: vershok, span, pood, arshin, sazhen και verst. Ανάπτυξη του μετρικού συστήματος. Μετρήσεις εμβαδού και μήκους στην Αίγυπτο, το Ισραήλ, το Ηνωμένο Βασίλειο και τις ΗΠΑ.
παρουσίαση, προστέθηκε 17/11/2011
Γεωμετρικές έννοιες σημείου, ακτίνας και γωνίας. Είδη γωνιών: ανεπτυγμένες, οξείες, ευθείες, αμβλείες, παρακείμενες και κάθετες. Μέθοδοι κατασκευής γειτονικών και κάθετων γωνιών. Ισότητα κάθετων γωνιών. Έλεγχος γνώσεων σε μάθημα γεωμετρίας: προσδιορισμός του είδους των γωνιών.
παρουσίαση, προστέθηκε 13/03/2010
Η έννοια της αριθμητικής γραμμής. Τύποι αριθμητικών διαστημάτων. Προσδιορισμός των συντεταγμένων της θέσης ενός σημείου σε ευθεία γραμμή, σε επίπεδο, σε χώρο, σύστημα συντεταγμένων. Μονάδες για άξονες. Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο και στο διάστημα.
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Δημοκρατίας της Χακασιάς
Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα
Γυμνάσιο Ustino-Kopyovskaya.
Τμήμα μαθηματικών.
ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ
VILLAGE Ustinkino
Επόπτης:Ρομάνοβα
Έλενα Αλεξάντροβνα,
καθηγητής μαθηματικών
Ustinkino, 2010
Εισαγωγή…………………………………………………………………………………… 3
1. Η εμφάνιση των μετρήσεων στην αρχαιότητα
1.1 Μονάδες μέτρησης διαφορετικούς λαούς…………………………………..4
5
1.3 Η γεωμετρία στα αρχαία πρακτικά προβλήματα…………………………..7
1.4 Όργανα μέτρησης στο έδαφος………………………………………………………………7
2. Εργασίες μέτρησης στο έδαφος
2.1 Κατασκευή ευθείας γραμμής στο έδαφος (ανάρτηση
ευθεία)………………………………………………………………8
2.2 Μέτρηση μέσου μήκους διασκελισμού…………………………………………..9
2.3 Κατασκευή ορθών γωνιών στο έδαφος…………………………………………9
2.4 Κατασκευή και μέτρηση γωνιών με χρήση αστρολάβου…………………10
2.5 Κατασκευή κύκλου στο έδαφος……………………………………10
2.6 Μέτρηση του ύψους των δέντρων……………………………………………………………………………………………………………………………………
3. Αποτελέσματα μετρήσεων στο έδαφος……………………………………………..
3.1 Σχεδιασμός τοποθεσίας
3.2 Τα δέντρα αποτελούν απειλή για τη ζωή
3.3 Παραπομπή - πρόταση στο Δημοτικό Συμβούλιο Σελ. Ουστίνκινο
Συμπέρασμα………………………………………………………………………………… 21
Λογοτεχνία…………………………………………………………………………….22
Εισαγωγή
Για να φτιάξω ένα μοντέλο φιγούρων, έπρεπε να κάνω περισσότερες από 20 διαφορετικές επεμβάσεις. Και σχεδόν τα μισά από αυτά σχετίζονται με μετρήσεις. Αναρωτιέμαι αν υπάρχουν επαγγέλματα στα οποία τίποτα δεν χρειάζεται να μετρηθεί καθόλου με όργανα. Δεν έχω βρει κανένα. Δεν κατάφερα να βρω σχολικό μάθημα, στη μελέτη του οποίου δεν θα χρειάζονταν μετρήσεις.
«Η επιστήμη ξεκινά όταν
Πώς να ξεκινήσετε τη μέτρηση
Η ακριβής επιστήμη είναι αδιανόητη
χωρίς μέτρηση.
Πράγματι, ο ρόλος των μετρήσεων στη ζωή του σύγχρονου ανθρώπου είναι πολύ μεγάλος.
Το δημοφιλές εγκυκλοπαιδικό λεξικό ορίζει μια διάσταση. Οι μετρήσεις είναι ενέργειες που εκτελούνται με σκοπό την εύρεση αριθμητικών τιμών, ποσοτικών μεγεθών σε αποδεκτές μονάδες μέτρησης. ¹
Μπορείτε να μετρήσετε την τιμή με τη βοήθεια οργάνων. Στην καθημερινή ζωή δεν μπορούμε πλέον χωρίς ρολόι, χάρακα, μεζούρα, μεζούρα, θερμόμετρο, ηλεκτρικό μετρητή. Μπορούμε να πούμε ότι συναντάμε συσκευές σε κάθε βήμα.
Σκοπός: μελέτη γεωμετρικών μετρήσεων στο έδαφος με. Ουστίνκινο.
μελέτη της ιστορίας της εμφάνισης των μετρήσεων.
εξοικειωθείτε και φτιάξτε συσκευές για μέτρηση στο έδαφος.
κάντε μετρήσεις στο έδαφος.
εξάγουν συμπεράσματα και διατυπώνουν τις προτάσεις τους.
Υπόθεση: επί του παρόντος, η μέτρηση της εργασίας στο έδαφος παίζει σημαντικό ρόλο, αφού χωρίς να κάνετε μετρήσεις μπορείτε να πληρώσετε με τη ζωή σας.
Αντικείμενο μελέτης: μετρήσεις στο έδαφος.
Αντικείμενο μελέτης: μέθοδοι μετρήσεων στο έδαφος.
___________________________________
21 . Δημοφιλής εγκυκλοπαιδικό λεξικό. Επιστημονικός εκδοτικός οίκος «Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια». Εκδοτικός οίκος «ΟΝΙΞ 21ος αιώνας», 2002, σελ. 485
1. Η εμφάνιση των μετρήσεων στην αρχαιότητα
Στην αρχαιότητα, ένα άτομο έπρεπε να κατανοήσει σταδιακά όχι μόνο την τέχνη της μέτρησης, αλλά και τις μετρήσεις. Όταν ένας αρχαίος άνθρωπος, ήδη σκεφτόμενος, προσπάθησε να βρει μια σπηλιά για τον εαυτό του, αναγκάστηκε να μετρήσει το μήκος, το πλάτος και το ύψος της μελλοντικής κατοικίας του με το δικό του ύψος. Και αυτό είναι η μέτρηση. Κατασκευάζοντας τα πιο απλά εργαλεία, χτίζοντας σπίτια, παίρνοντας τροφή, καθίσταται απαραίτητο να μετρηθούν οι αποστάσεις και μετά οι περιοχές, οι χωρητικότητες, η μάζα, ο χρόνος. Ο πρόγονός μας είχε μόνο το δικό του ύψος, το μήκος των χεριών και των ποδιών. Αν κάποιος χρησιμοποιούσε τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών όταν μετρούσε, τότε τα χέρια και τα πόδια χρησιμοποιήθηκαν για τη μέτρηση των αποστάσεων. Δεν υπήρχαν άνθρωποι που δεν θα είχαν εφεύρει τις δικές τους μονάδες μέτρησης.
1.1 Μονάδες μέτρησης διαφορετικών λαών
Οι κατασκευαστές των αιγυπτιακών πυραμίδων θεωρούσαν τον πήχη (την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι το τέλος του μεσαίου δακτύλου) ως πρότυπο μήκους, οι αρχαίοι Άραβες - τρίχες από το ρύγχος ενός γαϊδάρου, οι Βρετανοί εξακολουθούν να χρησιμοποιούν το βασιλικό πόδι (μετάφραση από τα αγγλικά "πόδι" σημαίνει "πόδι"), ίσο με το μήκος του ποδιού του βασιλιά. Το μήκος του ποδιού έχει βελτιωθεί με την εισαγωγή της μονάδας στοκ. Αυτό είναι «το μήκος των ποδιών 16 ατόμων που βγαίνουν από την εκκλησία από το πρωί της Κυριακής». Χωρίζοντας το μήκος του στελέχους σε 16 ίσα μέρη, πήραμε το μέσο μήκος του ποδιού, γιατί από την εκκλησία έβγαιναν άνθρωποι διαφορετικού ύψους. Το μήκος του ποδιού άρχισε να ισούται με 30,48 εκ. Η αγγλική αυλή συνδέεται επίσης με το μέγεθος του ανθρώπινου σώματος. Αυτό το μέτρο μήκους εισήχθη από τον βασιλιά Έντγκαρ και ήταν ίσο με την απόσταση από την άκρη της μύτης της Αυτού Μεγαλειότητας μέχρι την άκρη του μεσαίου δακτύλου του τεντωμένου χεριού. Μόλις άλλαξε ο βασιλιάς, η αυλή επιμήκυνε, καθώς ο νέος μονάρχης ήταν μεγαλύτερος. Τέτοιες αλλαγές στο μήκος προκάλεσαν μεγάλη σύγχυση, έτσι ο βασιλιάς Ερρίκος Α' νομιμοποίησε μια μόνιμη αυλή και διέταξε να κατασκευαστεί ένα πρότυπο από φτελιά. Αυτή η αυλή χρησιμοποιείται ακόμα στην Αγγλία (το μήκος της είναι 0,9144 m). Για τη μέτρηση μικρών αποστάσεων, χρησιμοποιήθηκε το μήκος της άρθρωσης του αντίχειρα (στα ολλανδικά, "ίντσα" σημαίνει "αντίχειρας"). Το μήκος μιας ίντσας στην Αγγλία εξευγενίστηκε και έγινε ίσο με το μήκος τριών κόκκων κριθαριού, αφαιρέθηκαν από το μεσαίο τμήμα του στάχυ και τοποθετήθηκαν μεταξύ τους με τις άκρες τους. Είναι γνωστό από τα αγγλικά μυθιστορήματα και ιστορίες ότι οι χωρικοί συχνά καθόριζαν το ύψος των αλόγων με τις παλάμες τους.
Για τη μέτρηση μεγάλων αποστάσεων στην αρχαιότητα εισήχθη ένα μέτρο που ονομαζόταν πεδίο και στη συνέχεια αντί για αυτό εμφανίζεται ένας βερστ. Αυτό το όνομα προέρχεται από τη λέξη "στροβιλισμός", που αρχικά σήμαινε τη στροφή του αλέτρι, και στη συνέχεια - μια σειρά, την απόσταση από τη μία στην άλλη στροφή του αλέτρι κατά το όργωμα. Το μήκος ενός βερστ σε διαφορετικές χρονικές στιγμές ήταν διαφορετικό - από 500 έως 750 φθορές. Ναι, και υπήρχαν δύο βερστ: μια πίστα - μέτρησε την απόσταση του μονοπατιού και ένα όριο - για οικόπεδα.
Η απόσταση μετρήθηκε σε βήματα από όλους σχεδόν τους λαούς, αλλά για τη μέτρηση των χωραφιών και άλλων μεγάλων αποστάσεων, το βήμα ήταν πολύ μικρό μέτρο, έτσι εισήχθη ένα μπαστούνι, ή διπλό βήμα, και στη συνέχεια ένα διπλό μπαστούνι, ή persha. Στις ναυτιλιακές υποθέσεις, το καλάμι ονομαζόταν κοντάκι. Στην Αγγλία υπήρχε ένα τέτοιο μέτρο όπως ένα καλό ραβδί του οργωτή, το μήκος του οποίου ήταν 12 - 16 πόδια. Στη Ρώμη, εισάγεται ένα μέτρο ίσο με χίλια διπλά βήματα, που ονομάζεται μίλι (από τη λέξη "mille", "milia" - "χιλιάδες").
Οι Σλάβοι είχαν ένα τέτοιο μέτρο μήκους όπως "ρίχνοντας μια πέτρα" - ρίχνοντας μια πέτρα, "πυροβολείτε" - την απόσταση που πέταξε ένα βέλος από ένα τόξο. Οι αποστάσεις μετρήθηκαν ως εξής: «Η Πετσενέγια απείχε πέντε ημέρες από τους Χαζάρους, έξι ημέρες από τους Αλανούς, μία ημέρα από τη Ρωσία, τέσσερις ημέρες από τους Μαγυάρους και μισή μέρα ταξίδι από τους Βούλγαρους του Δούναβη». Στις αρχαίες επιστολές παραχώρησης γης, μπορείτε να διαβάσετε: «Από την αυλή της εκκλησίας προς όλες τις κατευθύνσεις μέχρι το βρυχηθμό ενός ταύρου». Αυτό σήμαινε - σε απόσταση από την οποία ακούγεται ακόμα ο βρυχηθμός ενός ταύρου. Άλλοι λαοί είχαν παρόμοια μέτρα - "κλάμα αγελάδας", "κλάμα κόκορα". Ο χρόνος χρησίμευε επίσης ως μέτρο - «μέχρι να βράσει ο λέβητας του νερού». Οι Εσθονοί ναυτικοί είπαν ότι υπήρχαν ακόμη «τρεις πίπες» στην ακτή (ο χρόνος που ξοδεύτηκε για το κάπνισμα). Η «βολή κανονιού» είναι και μέτρο απόστασης. Όταν τα πέταλα για τα άλογα δεν ήταν ακόμη γνωστά στην Ιαπωνία και ήταν καλυμμένα με ψάθινες σόλες, εμφανίστηκε το μέτρο «ψάθινο πέταλο» - η απόσταση στην οποία φθείρονταν αυτό το παπούτσι. Στην Ισπανία, το μέτρο απόστασης «πούρο» είναι γνωστό - η απόσταση που μπορεί να περπατήσει κάποιος ενώ καπνίζει ένα πούρο. Στη Σιβηρία, στην αρχαιότητα, χρησιμοποιήθηκε το μέτρο απόστασης "οξιά" - αυτή είναι η απόσταση στην οποία ένα άτομο παύει να βλέπει ξεχωριστά τα κέρατα ενός ταύρου.
3.3 Παραπομπή - πρόταση στο Δημοτικό Συμβούλιο Σελ. Ουστίνκινο
Πρόεδρος των SS Ουστίνκινο
μαθητές της 10ης τάξης
Σολενίκ Αλένα
Προσφορά βοήθειας
Μέτρησα το ύψος ηλεκτρικών στύλων, το ύψος των οποίων είναι πάντα ακριβώς 17 μ. Με τη μέτρηση του ύψους των δέντρων, προέκυψαν απροσδόκητα αποτελέσματα. Το ύψος των δέντρων κυμαίνεται από 19 m έως 56 m.
Νομίζω ότι είναι απαραίτητο να προσέχουμε το ύψος των δέντρων και την άνοιξη να κόβουμε τα δέντρα σε ύψος 19 μ.
___________________ __________________
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Αυτό το δοκίμιο πραγματεύεται τις πιο επείγουσες εργασίες που σχετίζονται με γεωμετρικές κατασκευές στο έδαφος - ανάρτηση ευθειών, διαίρεση τμημάτων και γωνιών, μέτρηση του ύψους ενός δέντρου. Δίνεται μεγάλος αριθμός προβλημάτων και δίνονται οι λύσεις τους. Οι παραπάνω εργασίες παρουσιάζουν σημαντικό πρακτικό ενδιαφέρον, ενοποιούν τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στη γεωμετρία και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πρακτική εργασία.
Έτσι, ο σκοπός του δοκιμίου, νομίζω, έχει επιτευχθεί, οι εργασίες που τέθηκαν έχουν ολοκληρωθεί. Ελπίζω στη βοήθειά μου - η πρόταση θα ληφθεί υπόψη και θα εκτελεστεί σύμφωνα με τις απαιτήσεις.
Βιβλιογραφία
1. Μπαμπανική μαθησιακή διαδικασία: Γενική διδακτική
άποψη. - Μ., 1977.
2., Balk after school, M., Διαφωτισμός, 1977.
3. , Μαζική προαιρετική χθες, σήμερα, αύριο
// Μαθηματικά στο σχολείο - 1987 - Νο. 5.
4. Benbyaminov and agriculture, M., 1968.
5. Πίσω από τις σελίδες του σχολικού βιβλίου
Μαθηματικά: Αριθμητική. Αλγεβρα. Γεωμετρία. – Μ.: Διαφωτισμός:
JSC «Μελέτη. συναντήθηκε», 1996.
6. Μετρήσεις Ganshin στο έδαφος, M., 1973 - 126 p.
7. Πώς να μην σκοτώσεις ταλέντο; // Λαϊκό
εκπαίδευση. - 1991. - Νο. 4.
8. Γεωμετρία. Φροντιστήριογια την 9η και 10η τάξη του λυκείου. Μ., 1979.
9., Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών. - Μ. -:
Διαφωτισμός, 1989.
10. Διασκεδαστική άλγεβρα. Ενδιαφέρουσα γεωμετρία. / . -
Rostov n / a: , 2005.
11. Ivankov geodesy, topography and cartography.-M., 1972
12. Μετρήσεις Ivanov, Μόσχα, 1964
13. Αρχές Kalmykov για την ανάπτυξη της μάθησης.-
Μόσχα: Γνώση, 1979.
14. Μέθοδοι διδασκαλίας των μαθηματικών στο λύκειο. Ιδιωτική τεχνική:
Proc. επίδομα μαθητών πεντ. Ινστιτούτο Φυσικής και Μαθηματικών ειδικός./,
, και τα λοιπά.; Comp. . - Μ .: Διαφωτισμός -
nie, 1987.
15. Μέθοδοι διδασκαλίας των μαθηματικών στο λύκειο. Γενική τεχνική:
Proc. επίδομα για φοιτητές φυσικής και μαθηματικών. ψεύτικο. πεδ. ινστιτούτα / -
nesyan, . - 2η έκδ., ne -
δούλος. και επιπλέον – Μ.: Διαφωτισμός, 1980.
16. Morozov για το γνωστικό ενδιαφέρον. Μόσχα: Γνώση, σειρά
«Παιδαγωγική και ψυχολογία», 1979.
17. Παιδαγωγική εγκυκλοπαίδεια: σε 2 τόμους / Εκδ. , -
χαντάκι. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 1964. - Τ.1.
18. Παιδαγωγική εγκυκλοπαίδεια: σε 2 τόμους / Εκδ. , -σειρά. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 1964. - V.2.
19. Πετρόφ των μαθηματικών σε αγροτικό σχολείο: Βιβλίο. για διδασκαλία -
λα. - Μ..6 Διαφωτισμός, 1986.
20. Πογκορέλοφ. Μ., 1990.
21. Λαϊκό εγκυκλοπαιδικό λεξικό. Επιστημονικός εκδοτικός οίκος «Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια». Εκδοτικός οίκος «ΟΝΙΞ 21ος αιώνας», 2002, σελ. 485
22., μαθηματικά Gashkov. - Μ.,
Επιστήμη, 1989.
23. Chichigin Διδασκαλία Γεωμετρίας: Planimetry. - Μ.:
Uchpedgiz, 1959.
24. Chetverukhin των γεωμετρικών κατασκευών, Μόσχα, Uchpedgiz, 1952.
