Funciones elementales y tabla de sus propiedades. Funciones elementales básicas. Función de potencia con un exponente real mayor que menos uno y menor que cero

Considerando funciones de una variable compleja, Liouville definió funciones elementales de manera algo más amplia. Función elemental y variable X- función analítica, que se puede representar como una función algebraica de X y funciones , y es el logaritmo o exponente de alguna función algebraica gramo 1 de X .

Por ejemplo, pecado ( X) - función algebraica de mi iX .

Sin limitar la generalidad de la consideración, podemos considerar que las funciones son algebraicamente independientes, es decir, si la ecuación algebraica se satisface para todos X, entonces todos los coeficientes del polinomio son iguales a cero.

Diferenciación de funciones elementales.

Dónde z 1 "(z) es igual o gramo 1 " / gramo 1 o z 1 gramo 1" dependiendo si es un logaritmo z 1 o exponencial, etc. En la práctica, es conveniente utilizar una tabla de derivadas.

Integración de funciones elementales

El teorema de Liouville es la base para la creación de algoritmos para la integración simbólica de funciones elementales, implementados, por ejemplo, en

Cálculo de límites

La teoría de Liouville no se aplica al cálculo de límites. No se sabe si existe un algoritmo que, dada una secuencia dada por una fórmula elemental, dé una respuesta tenga límite o no. Por ejemplo, queda abierta la cuestión de si la secuencia converge.

Literatura

J. Liouville. Memoria sobre la integración de una clase de funciones trascendentes// J. Reina Angew. Matemáticas. Bd. 13, pág. 93-118. (1835)
J.F. Ritt. Integración en términos finitos. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
A. G. Khovansky. Teoría topológica de Galois: solubilidad e insolubilidad de ecuaciones en forma finita Cap. 1.M, 2007

Notas

Fundación Wikimedia. 2010.

Excitación elemental
Resultado elemental

Vea qué es “Función elemental” en otros diccionarios:

función elemental- Una función que, si se divide en funciones más pequeñas, no puede definirse de forma única en la jerarquía de transmisión digital. Por tanto, desde el punto de vista de la red es indivisible (ITU T G.806). Temas: telecomunicaciones, conceptos básicos EN función de adaptaciónA... Guía del traductor técnico

función de interacción entre niveles de red- Una función elemental que proporciona interacción de información característica entre dos capas de red. (UIT T G.806). Temas: telecomunicaciones, conceptos básicos de la capa EN... ... Guía del traductor técnico

Las funciones elementales básicas, sus propiedades inherentes y sus gráficas correspondientes son uno de los conceptos básicos del conocimiento matemático, similar en importancia a la tabla de multiplicar. Las funciones elementales son la base, el soporte para el estudio de todas las cuestiones teóricas.

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El siguiente artículo proporciona material clave sobre el tema de las funciones elementales básicas. Introduciremos términos, les daremos definiciones; Estudiemos en detalle cada tipo de funciones elementales y analicemos sus propiedades.

Se distinguen los siguientes tipos de funciones elementales básicas:

Definición 1

función constante (constante);
enésima raíz;
función de potencia;
funcion exponencial;
función logarítmica;
funciones trigonométricas;
funciones trigonométricas fraternas.

Una función constante se define mediante la fórmula: y = C (C es un número real determinado) y también tiene un nombre: constante. Esta función determina la correspondencia de cualquier valor real de la variable independiente x con el mismo valor de la variable y: el valor de C.

La gráfica de una constante es una línea recta paralela al eje de abscisas y pasa por un punto que tiene coordenadas (0, C). Para mayor claridad, presentamos gráficas de funciones constantes y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (indicadas en el dibujo en negro, rojo y azul, respectivamente).

Definición 2

Esta función elemental está definida por la fórmula y = x n (n es un número natural mayor que uno).

Consideremos dos variaciones de la función.

raíz enésima, n – número par

Para mayor claridad, indicamos un dibujo que muestra gráficas de tales funciones: y = x, y = x 4 y y = x8. Estas características están codificadas por colores: negro, rojo y azul respectivamente.

Las gráficas de una función de grado par tienen una apariencia similar para otros valores del exponente.

Definición 3

Propiedades de la función raíz enésima, n es un número par

dominio de definición – el conjunto de todos los números reales no negativos [ 0 , + ∞);
cuando x = 0, función y = x n tiene un valor igual a cero;
dado función-función forma general (no es ni par ni impar);
rango: [ 0 , + ∞);
esta función y = x n con exponentes de raíz par aumenta en todo el dominio de definición;
la función tiene una convexidad con dirección hacia arriba en todo el dominio de definición;
no hay puntos de inflexión;
no hay asíntotas;
la gráfica de la función para n par pasa por los puntos (0; 0) y (1; 1).

raíz enésima, n – número impar

Esta función está definida para todo el conjunto de números reales. Para mayor claridad, considere las gráficas de las funciones. y = x 3 , y = x 5 y x9. En el dibujo están indicados por colores: negro, rojo y azul son los colores de las curvas, respectivamente.

Otros valores impares del exponente raíz de la función y = x n darán una gráfica de tipo similar.

Definición 4

Propiedades de la función raíz enésima, n es un número impar

dominio de definición – el conjunto de todos los números reales;
esta función es impar;
rango de valores – el conjunto de todos los números reales;
la función y = x n para exponentes de raíz impar aumenta en todo el dominio de definición;
la función tiene concavidad en el intervalo (- ∞ ; 0 ] y convexidad en el intervalo [ 0 , + ∞);
el punto de inflexión tiene coordenadas (0; 0);
no hay asíntotas;
La gráfica de la función para n impar pasa por los puntos (- 1 ; - 1), (0 ; 0) y (1 ; 1).

Función de potencia

Definición 5

La función de potencia está definida por la fórmula y = x a.

La apariencia de las gráficas y las propiedades de la función dependen del valor del exponente.

cuando una función de potencia tiene un exponente entero a, entonces el tipo de gráfica de la función de potencia y sus propiedades dependen de si el exponente es par o impar, así como del signo que tiene el exponente. Consideremos todos estos casos especiales con más detalle a continuación;
el exponente puede ser fraccionario o irracional; dependiendo de esto, el tipo de gráficas y las propiedades de la función también varían. Analizaremos casos especiales estableciendo varias condiciones: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
una función de potencia puede tener exponente cero; también analizaremos este caso con más detalle a continuación.

Analicemos la función de potencia. y = x a, cuando a es un número positivo impar, por ejemplo, a = 1, 3, 5...

Para mayor claridad, indicamos las gráficas de tales funciones de potencia: y = x (color gráfico negro), y = x 3 (color azul del gráfico), y = x 5 (color rojo del gráfico), y = x 7 (color gráfico verde). Cuando a = 1, obtenemos la función lineal y = x.

Definición 6

Propiedades de una función de potencia cuando el exponente es positivo impar

la función es creciente para x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
la función tiene convexidad para x ∈ (- ∞ ; 0 ] y concavidad para x ∈ [ 0 ; + ∞) (excluyendo la función lineal);
el punto de inflexión tiene coordenadas (0; 0) (excluyendo la función lineal);
no hay asíntotas;
puntos de paso de la función: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analicemos la función de potencia. y = x a, cuando a es un número par positivo, por ejemplo, a = 2, 4, 6...

Para mayor claridad, indicamos las gráficas de tales funciones de potencia: y = x 2 (color gráfico negro), y = x 4 (color azul del gráfico), y = x 8 (color rojo del gráfico). Cuando a = 2, obtenemos una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola cuadrática.

Definición 7

Propiedades de una función potencia cuando el exponente es par positivo:

dominio de definición: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
decreciente para x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
la función tiene concavidad para x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
no hay puntos de inflexión;
no hay asíntotas;
puntos de paso de la función: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La siguiente figura muestra ejemplos de gráficos de funciones de potencia. y = x a cuando a es un número negativo impar: y = x - 9 (color gráfico negro); y = x - 5 (color azul del gráfico); y = x - 3 (color rojo del gráfico); y = x - 1 (color gráfico verde). Cuando a = - 1, obtenemos una proporcionalidad inversa, cuya gráfica es una hipérbola.

Definición 8

Propiedades de una función potencia cuando el exponente es negativo impar:

Cuando x = 0, obtenemos una discontinuidad del segundo tipo, ya que lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ para a = - 1, - 3, - 5,…. Así, la recta x = 0 es una asíntota vertical;

rango: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
la función es impar porque y (- x) = - y (x);
la función es decreciente para x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
la función tiene convexidad para x ∈ (- ∞ ; 0) y concavidad para x ∈ (0 ; + ∞) ;
no hay puntos de inflexión;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, cuando a = - 1, - 3, - 5, . . . .

puntos de paso de la función: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La siguiente figura muestra ejemplos de gráficas de la función de potencia y = x a cuando a es un número par negativo: y = x - 8 (color gráfico negro); y = x - 4 (color azul del gráfico); y = x - 2 (color rojo del gráfico).

Definición 9

Propiedades de una función potencia cuando el exponente es par negativo:

dominio de definición: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Cuando x = 0, obtenemos una discontinuidad del segundo tipo, ya que lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ para a = - 2, - 4, - 6,…. Así, la recta x = 0 es una asíntota vertical;

la función es par porque y(-x) = y(x);
la función es creciente para x ∈ (- ∞ ; 0) y decreciente para x ∈ 0; + ∞ ;
la función tiene concavidad en x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
no hay puntos de inflexión;
asíntota horizontal – recta y = 0, porque:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 cuando a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

puntos de paso de la función: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Desde el principio, preste atención al siguiente aspecto: en el caso de que a sea una fracción positiva con denominador impar, algunos autores toman el intervalo - ∞ como dominio de definición de esta función de potencia; + ∞ , estipulando que el exponente a es una fracción irreducible. Por el momento, los autores de muchas publicaciones educativas sobre álgebra y principios de análisis NO DEFINEN funciones de potencia, donde el exponente es una fracción con denominador impar para valores negativos del argumento. A continuación nos adheriremos exactamente a esta posición: tomaremos el conjunto [ 0 ; + ∞) . Recomendación para los estudiantes: conocer la opinión del profesor sobre este punto para evitar desacuerdos.

Entonces, veamos la función de potencia. y = x a , cuando el exponente es un número racional o irracional, siempre que 0< a < 1 .

Ilustremos las funciones de potencia con gráficas. y = x a cuando a = 11 12 (color gráfico negro); a = 5 7 (color rojo de la gráfica); a = 1 3 (color azul del gráfico); a = 2 5 (color verde del gráfico).

Otros valores del exponente a (siempre que 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definición 10

Propiedades de la función de potencia en 0< a < 1:

rango: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la función es creciente para x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la función es convexa para x ∈ (0 ; + ∞);
no hay puntos de inflexión;
no hay asíntotas;

Analicemos la función de potencia. y = x a, cuando el exponente es un número racional o irracional no entero, siempre que a > 1.

Ilustremos con gráficas la función de potencia. y = x a bajo condiciones dadas usando las siguientes funciones como ejemplo: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (color negro, rojo, azul, verde de los gráficos, respectivamente).

Otros valores del exponente a, siempre que a > 1, darán una gráfica similar.

Definición 11

Propiedades de la función de potencia para a > 1:

dominio de definición: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
rango: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
la función es creciente para x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la función tiene concavidad para x ∈ (0 ; + ∞) (cuando 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
no hay puntos de inflexión;
no hay asíntotas;
puntos de paso de la función: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Por favor nota Cuando a es una fracción negativa con un denominador impar, en los trabajos de algunos autores existe la opinión de que el dominio de definición en este caso es el intervalo - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) con la salvedad de que el exponente a es una fracción irreducible. Actualmente los autores materiales educativos en álgebra y principios de análisis NO DETERMINAR funciones potencia con exponente en forma de fracción con denominador impar para valores negativos del argumento. Además, nos adherimos exactamente a este punto de vista: tomamos el conjunto (0 ; + ∞) como el dominio de definición de funciones de potencia con exponentes fraccionarios negativos. Recomendación para los estudiantes: Aclare la visión de su maestro en este punto para evitar desacuerdos.

Sigamos con el tema y analicemos la función de potencia. y = x a proporcionado: - 1< a < 0 .

Presentemos un dibujo de gráficas de las siguientes funciones: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (color negro, rojo, azul, verde de las líneas, respectivamente).

Definición 12

Propiedades de la función de potencia en - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ cuando - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rango: y ∈ 0 ; + ∞ ;
esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
no hay puntos de inflexión;

El siguiente dibujo muestra gráficas de funciones de potencia y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (negro, rojo, azul, colores verdes curvas respectivamente).

Definición 13

Propiedades de la función de potencia para un< - 1:

dominio de definición: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ cuando a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rango: y ∈ (0 ; + ∞) ;
esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
la función es decreciente para x ∈ 0; + ∞ ;
la función tiene concavidad para x ∈ 0; + ∞ ;
no hay puntos de inflexión;
asíntota horizontal – línea recta y = 0;
punto de paso de la función: (1; 1) .

Cuando a = 0 y x ≠ 0, obtenemos la función y = x 0 = 1, que define la recta de la que se excluye el punto (0; 1) (se acordó que no se le dará ningún significado a la expresión 0 0 ).

La función exponencial tiene la forma y = a x, donde a > 0 y a ≠ 1, y la gráfica de esta función se ve diferente según el valor de la base a. Consideremos casos especiales.

Primero, veamos la situación en la que la base de la función exponencial tiene un valor de cero a uno (0< a < 1) . Un buen ejemplo son las gráficas de funciones para a = 1 2 (color azul de la curva) y a = 5 6 (color rojo de la curva).

Las gráficas de la función exponencial tendrán una apariencia similar para otros valores de la base bajo la condición 0< a < 1 .

Definición 14

Propiedades de la función exponencial cuando la base es menor que uno:

rango: y ∈ (0 ; + ∞) ;
esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
una función exponencial cuya base es menor que uno es decreciente en todo el dominio de definición;
no hay puntos de inflexión;
asíntota horizontal – recta y = 0 con variable x tendiendo a + ∞;

Consideremos ahora el caso en el que la base de la función exponencial es mayor que uno (a > 1).

Ilustremos este caso especial con una gráfica de funciones exponenciales y = 3 2 x (color azul de la curva) e y = e x (color rojo de la gráfica).

Otros valores de la base, unidades mayores, darán una apariencia similar a la gráfica de la función exponencial.

Definición 15

Propiedades de la función exponencial cuando la base es mayor que uno:

dominio de definición – el conjunto completo de números reales;
rango: y ∈ (0 ; + ∞) ;
esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
una función exponencial cuya base es mayor que uno es creciente cuando x ∈ - ∞; + ∞ ;
la función tiene una concavidad en x ∈ - ∞; + ∞ ;
no hay puntos de inflexión;
asíntota horizontal – recta y = 0 con variable x tendiendo a - ∞;
punto de paso de la función: (0; 1) .

La función logarítmica tiene la forma y = log a (x), donde a > 0, a ≠ 1.

Dicha función se define solo para valores positivos del argumento: para x ∈ 0; + ∞ .

La gráfica de una función logarítmica tiene diferente tipo, basado en el valor de la base a.

Consideremos primero la situación cuando 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Otros valores de la base, no unidades mayores, darán un tipo de gráfico similar.

Definición 16

Propiedades de una función logarítmica cuando la base es menor que uno:

dominio de definición: x ∈ 0 ; + ∞ . Como x tiende a cero desde la derecha, los valores de la función tienden a +∞;
rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
logarítmico
la función tiene concavidad para x ∈ 0; + ∞ ;
no hay puntos de inflexión;
no hay asíntotas;

Ahora veamos el caso especial cuando la base de la función logarítmica es mayor que uno: a > 1 . El siguiente dibujo muestra gráficas de funciones logarítmicas y = log 3 2 x e y = ln x (colores azul y rojo de las gráficas, respectivamente).

Otros valores de la base mayores que uno darán un tipo de gráfico similar.

Definición 17

Propiedades de una función logarítmica cuando la base es mayor que uno:

dominio de definición: x ∈ 0 ; + ∞ . Como x tiende a cero desde la derecha, los valores de la función tienden a - ∞;
rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ (el conjunto completo de números reales);
esta función es una función de forma general (no es par ni impar);
la función logarítmica es creciente para x ∈ 0; + ∞ ;
la función es convexa para x ∈ 0; + ∞ ;
no hay puntos de inflexión;
no hay asíntotas;
punto de paso de la función: (1; 0) .

Las funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente y cotangente. Veamos las propiedades de cada uno de ellos y los gráficos correspondientes.

En general, todas las funciones trigonométricas se caracterizan por la propiedad de periodicidad, es decir cuando los valores de la función se repiten en diferentes significados argumentos que difieren entre sí por el período f (x + T) = f (x) (T – período). Por lo tanto, el elemento "período positivo más pequeño" se agrega a la lista de propiedades de las funciones trigonométricas. Además, indicaremos los valores del argumento en el que la función correspondiente se vuelve cero.

Función seno: y = sin(x)

La gráfica de esta función se llama onda sinusoidal.

Definición 18

Propiedades de la función seno:

dominio de definición: el conjunto completo de números reales x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
la función desaparece cuando x = π · k, donde k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
la función es creciente para x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z y decreciente para x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
la función seno tiene máximos locales en los puntos π 2 + 2 π · k; 1 y mínimos locales en los puntos - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
la función seno es cóncava cuando x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z y convexo cuando x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
no hay asíntotas.

Función coseno: y = cos(x)

La gráfica de esta función se llama onda coseno.

Definición 19

Propiedades de la función coseno:

dominio de definición: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
período positivo más pequeño: T = 2 π;
rango de valores: y ∈ - 1 ; 1;
esta función es par, ya que y (- x) = y (x);
la función es creciente para x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z y decreciente para x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
la función coseno tiene máximos locales en los puntos 2 π · k ; 1, k ∈ Z y mínimos locales en los puntos π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
la función coseno es cóncava cuando x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z y convexo cuando x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
los puntos de inflexión tienen coordenadas π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
no hay asíntotas.

Función tangente: y = t g (x)

La gráfica de esta función se llama tangente.

Definición 20

Propiedades de la función tangente:

dominio de definición: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, donde k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
Comportamiento de la función tangente en la frontera del dominio de definición lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Así, las rectas x = π 2 + π · k k ∈ Z son asíntotas verticales;
la función desaparece cuando x = π · k para k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
la función aumenta como - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
la función tangente es cóncava para x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z y convexo para x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
los puntos de inflexión tienen coordenadas π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Función cotangente: y = c t g (x)

La gráfica de esta función se llama cotangentoide. .

Definición 21

Propiedades de la función cotangente:

dominio de definición: x ∈ (π · k ; π + π · k), donde k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);

Comportamiento de la función cotangente en la frontera del dominio de definición lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Así, las rectas x = π · k k ∈ Z son asíntotas verticales;

período positivo más pequeño: T = π;
la función desaparece cuando x = π 2 + π · k para k ∈ Z (Z es el conjunto de los números enteros);
rango de valores: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
la función es decreciente para x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
la función cotangente es cóncava para x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z y convexa para x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
los puntos de inflexión tienen coordenadas π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
No hay asíntotas oblicuas ni horizontales.

Las funciones trigonométricas inversas son arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. A menudo, debido a la presencia del prefijo "arco" en el nombre, las funciones trigonométricas inversas se denominan funciones de arco. .

Función arco seno: y = a r c sin (x)

Definición 22

Propiedades de la función arcoseno:

esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
la función arcoseno tiene una concavidad para x ∈ 0; 1 y convexidad para x ∈ - 1 ; 0;
los puntos de inflexión tienen coordenadas (0; 0), que también es el cero de la función;
no hay asíntotas.

Función arcocoseno: y = a r c cos (x)

Definición 23

Propiedades de la función arcocoseno:

dominio de definición: x ∈ - 1 ; 1;
rango: y ∈ 0 ; π;
esta función es de forma general (ni par ni impar);
la función es decreciente en todo el dominio de definición;
la función arcocoseno tiene una concavidad en x ∈ - 1; 0 y convexidad para x ∈ 0; 1;
los puntos de inflexión tienen coordenadas 0; π2;
no hay asíntotas.

Función arco tangente: y = a r c t g (x)

Definición 24

Propiedades de la función arcotangente:

dominio de definición: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
rango de valores: y ∈ - π 2 ; π2;
esta función es impar, ya que y (- x) = - y (x) ;
la función es creciente en todo el dominio de definición;
la función arcotangente tiene concavidad para x ∈ (- ∞ ; 0 ] y convexidad para x ∈ [ 0 ; + ∞);
el punto de inflexión tiene coordenadas (0; 0), que también es el cero de la función;
las asíntotas horizontales son líneas rectas y = - π 2 como x → - ∞ e y = π 2 como x → + ∞ (en la figura, las asíntotas son líneas verdes).

Función arco tangente: y = a r c c t g (x)

Definición 25

Propiedades de la función arcocotangente:

dominio de definición: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
rango: y ∈ (0; π);
esta función es de forma general;
la función es decreciente en todo el dominio de definición;
la función arco cotangente tiene una concavidad para x ∈ [ 0 ; + ∞) y convexidad para x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
el punto de inflexión tiene coordenadas 0; π2;
Las asíntotas horizontales son rectas y = π en x → - ∞ (línea verde en el dibujo) e y = 0 en x → + ∞.

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Conocimiento Funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas. no menos importante que conocer las tablas de multiplicar. Son como los cimientos, todo se basa en ellos, todo se construye a partir de ellos y todo se reduce a ellos.

En este artículo enumeraremos todas las funciones elementales principales, proporcionaremos sus gráficas y las daremos sin conclusión ni prueba. propiedades de funciones elementales básicas según el esquema:

comportamiento de una función en los límites del dominio de definición, asíntotas verticales (si es necesario, consulte el artículo clasificación de puntos de discontinuidad de una función);
par e impar;
intervalos de convexidad (convexidad hacia arriba) y concavidad (convexidad hacia abajo), puntos de inflexión (si es necesario, consulte el artículo convexidad de una función, dirección de convexidad, puntos de inflexión, condiciones de convexidad e inflexión);
asíntotas oblicuas y horizontales;
puntos singulares de funciones;
Propiedades especiales de algunas funciones (por ejemplo, el período positivo más pequeño de funciones trigonométricas).

Si estás interesado en o, puedes ir a estas secciones de la teoría.

Funciones elementales básicas son: función constante (constante), raíz enésima, función potencia, exponencial, función logarítmica, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

Navegación de páginas.

Función permanente.

Una función constante se define en el conjunto de todos los números reales mediante la fórmula , donde C es algún número real. Una función constante asocia cada valor real de la variable independiente x con el mismo valor de la variable dependiente y: el valor C. Una función constante también se llama constante.

La gráfica de una función constante es una línea recta paralela al eje x y que pasa por el punto de coordenadas (0,C). Como ejemplo, mostraremos gráficas de funciones constantes y=5, y=-2 y, que en la siguiente figura corresponden a las líneas negra, roja y azul, respectivamente.

Propiedades de una función constante.

Dominio: el conjunto completo de números reales.
La función constante es par.
Rango de valores: conjunto compuesto por singular CON .
Una función constante no es creciente ni decreciente (por eso es constante).
No tiene sentido hablar de convexidad y concavidad de una constante.
No hay asíntotas.
La función pasa por el punto (0,C) del plano coordenado.

Raíz de enésimo grado.

Consideremos la función elemental básica, que viene dada por la fórmula , donde n es un número natural mayor que uno.

Raíz de enésimo grado, n es un número par.

Comencemos con la función raíz enésima para valores pares del exponente raíz n.

Como ejemplo, aquí hay una imagen con imágenes de gráficas de funciones. y , corresponden a líneas negras, rojas y azules.

Las gráficas de funciones raíz de grado par tienen una apariencia similar para otros valores del exponente.

Propiedades de la función raíz enésima para n par.

La raíz enésima, n es un número impar.

La función raíz enésima con un exponente de raíz impar n se define en todo el conjunto de números reales. Por ejemplo, aquí están las gráficas de funciones. y , corresponden a curvas negras, rojas y azules.

Para otros valores impares del exponente raíz, las gráficas de funciones tendrán una apariencia similar.

Propiedades de la función raíz enésima para n impar.

Función de potencia.

La función de potencia viene dada por una fórmula de la forma .

Consideremos la forma de las gráficas de una función de potencia y las propiedades de una función de potencia dependiendo del valor del exponente.

Comencemos con una función potencia con un exponente entero a. En este caso, la apariencia de las gráficas de funciones de potencia y las propiedades de las funciones dependen de la uniformidad o imparidad del exponente, así como de su signo. Por lo tanto, primero consideraremos funciones de potencia para valores positivos impares del exponente a, luego para exponentes positivos pares, luego para exponentes negativos impares y, finalmente, para a negativo par.

Las propiedades de las funciones de potencia con exponentes fraccionarios e irracionales (así como el tipo de gráficas de dichas funciones de potencia) dependen del valor del exponente a. Los consideraremos, en primer lugar, para a de cero a uno, en segundo lugar, para mayor que uno, en tercer lugar, para a de menos uno a cero, en cuarto lugar, para menor que menos uno.

Al final de esta sección, para completar, describiremos una función de potencia con exponente cero.

Función de potencia con exponente positivo impar.

Consideremos una función potencia con exponente positivo impar, es decir, con a = 1,3,5,....

La siguiente figura muestra gráficos de funciones de potencia: línea negra, línea azul, línea roja, línea verde. Para a=1 tenemos función lineal y=x.

Propiedades de una función potencia con exponente positivo impar.

Función de potencia con exponente par positivo.

Consideremos una función potencia con exponente positivo par, es decir, para a = 2,4,6,....

Como ejemplo, damos gráficas de funciones de potencia: línea negra, línea azul, línea roja. Para a=2 tenemos una función cuadrática, cuya gráfica es parábola cuadrática.

Propiedades de una función potencia con exponente par positivo.

Función de potencia con exponente negativo impar.

Mire las gráficas de la función de potencia para valores negativos impares del exponente, es decir, para a = -1, -3, -5,....

La figura muestra gráficas de funciones de potencia como ejemplos: línea negra, línea azul, línea roja, línea verde. Para a=-1 tenemos proporcionalidad inversa, cuya gráfica es hipérbola.

Propiedades de una función potencia con exponente negativo impar.

Función de potencia con exponente incluso negativo.

Pasemos a la función de potencia para a=-2,-4,-6,….

La figura muestra gráficas de funciones de potencia: línea negra, línea azul, línea roja.

Propiedades de una función potencia con exponente par negativo.

Una función de potencia con un exponente racional o irracional cuyo valor es mayor que cero y menor que uno.

¡Nota! Si a es una fracción positiva con un denominador impar, entonces algunos autores consideran que el dominio de definición de la función de potencia es el intervalo. Se estipula que el exponente a es una fracción irreducible. Ahora, los autores de muchos libros de texto sobre álgebra y principios de análisis NO DEFINEN funciones de potencia con un exponente en forma de fracción con un denominador impar para valores negativos del argumento. Nos adheriremos precisamente a este punto de vista, es decir, consideraremos que el conjunto son los dominios de definición de funciones de potencia con exponentes fraccionarios positivos. Recomendamos que los estudiantes conozcan la opinión de su profesor sobre este sutil punto para evitar desacuerdos.

Consideremos una función de potencia con exponente racional o irracional a, y .

Presentemos gráficas de funciones de potencia para a=11/12 (línea negra), a=5/7 (línea roja), (línea azul), a=2/5 (línea verde).

Una función de potencia con un exponente racional o irracional no entero mayor que uno.

Consideremos una función de potencia con un exponente racional o irracional no entero a, y .

Presentemos gráficas de funciones de potencia dadas por las fórmulas. (líneas negra, roja, azul y verde respectivamente).

Para otros valores del exponente a, las gráficas de la función tendrán una apariencia similar.

Propiedades de la función de potencia en .

Una función potencia con un exponente real mayor que menos uno y menor que cero.

¡Nota! Si a es una fracción negativa con un denominador impar, entonces algunos autores consideran que el dominio de definición de una función de potencia es el intervalo . Se estipula que el exponente a es una fracción irreducible. Ahora, los autores de muchos libros de texto sobre álgebra y principios de análisis NO DEFINEN funciones de potencia con un exponente en forma de fracción con un denominador impar para valores negativos del argumento. Nos adheriremos precisamente a este punto de vista, es decir, consideraremos los dominios de definición de funciones de potencia con exponentes fraccionarios negativos como un conjunto, respectivamente. Recomendamos que los estudiantes conozcan la opinión de su profesor sobre este sutil punto para evitar desacuerdos.

Pasemos a la función de potencia, kgod.

Para tener una buena idea de la forma de las gráficas de funciones de potencia, damos ejemplos de gráficas de funciones. (curvas negra, roja, azul y verde, respectivamente).

Propiedades de una función potencia con exponente a, .

Una función potencia con un exponente real no entero menor que menos uno.

Demos ejemplos de gráficas de funciones de potencia para , están representados por líneas negras, rojas, azules y verdes, respectivamente.

Propiedades de una función potencia con exponente negativo no entero menor que menos uno.

Cuando a = 0, tenemos una función: es una línea recta de la que se excluye el punto (0;1) (se acordó no dar ningún significado a la expresión 0 0).

Funcion exponencial.

Una de las principales funciones elementales es la función exponencial.

La gráfica de la función exponencial, donde y toma diferentes formas dependiendo del valor de la base a. Resolvamos esto.

Primero, considere el caso en el que la base de la función exponencial toma un valor de cero a uno, es decir, .

Como ejemplo, presentamos gráficas de la función exponencial para a = 1/2 – línea azul, a = 5/6 – línea roja. Las gráficas de la función exponencial tienen una apariencia similar para otros valores de la base del intervalo.

Propiedades de una función exponencial con base menor que uno.

Pasemos al caso en el que la base de la función exponencial es mayor que uno, es decir, .

A modo de ilustración, presentamos gráficas de funciones exponenciales: línea azul y línea roja. Para otros valores de la base mayores que uno, las gráficas de la función exponencial tendrán una apariencia similar.

Propiedades de una función exponencial con base mayor que uno.

Función logarítmica.

La siguiente función elemental básica es la función logarítmica, donde , . La función logarítmica se define sólo para valores positivos del argumento, es decir, para .

La gráfica de una función logarítmica toma diferentes formas dependiendo del valor de la base a.

La sección contiene material de referencia sobre las principales funciones elementales y sus propiedades. Se da una clasificación de funciones elementales. A continuación hay enlaces a subsecciones que analizan las propiedades de funciones específicas: gráficas, fórmulas, derivadas, antiderivadas (integrales), expansiones de series, expresiones a través de variables complejas.

Contenido

Páginas de referencia para funciones básicas

Clasificación de funciones elementales.

función algebraica es una función que satisface la ecuación:
,
donde es un polinomio en la variable dependiente y y la variable independiente x. Se puede escribir como:
,
¿Dónde están los polinomios?

Las funciones algebraicas se dividen en polinomios (funciones racionales enteras), funciones racionales y funciones irracionales.

Función racional completa, que también se llama polinomio o polinomio, se obtiene a partir de la variable x y un número finito de números mediante las operaciones aritméticas de suma (resta) y multiplicación. Después de abrir los paréntesis, el polinomio se reduce a la forma canónica:
.

Función racional fraccionaria, o simplemente función racional, se obtiene a partir de la variable x y un número finito de números mediante las operaciones aritméticas de suma (resta), multiplicación y división. La función racional se puede reducir a la forma
,
donde y son polinomios.

función irracional es una función algebraica que no es racional. Por regla general, se entiende por función irracional las raíces y sus composiciones con funciones racionales. Una raíz de grado n se define como la solución de la ecuación
.
Se designa de la siguiente manera:
.

Funciones trascendentales se llaman funciones no algebraicas. Estas son funciones exponenciales, trigonométricas, hiperbólicas y sus inversas.

Descripción general de las funciones elementales básicas

Todas las funciones elementales se pueden representar como un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación y división realizadas en una expresión de la forma:
zt.
Las funciones inversas también se pueden expresar en términos de logaritmos. Las funciones elementales básicas se enumeran a continuación.

Función de potencia:
y(x) = xp,
donde p es el exponente. Depende de la base del grado x.
La inversa de la función de potencia es también la función de potencia:
.
Para un valor entero no negativo del exponente p, es un polinomio. Para un valor entero p - una función racional. Con un significado racional: una función irracional.

Funciones trascendentales

Funcion exponencial :
y(x) = ax,
donde a es la base del grado. Depende del exponente x.
La función inversa es el logaritmo en base a:
x = iniciar sesión y.

Exponente, e elevado a x:
y(x) = e x ,
Esta es una función exponencial cuya derivada es igual a la función misma:
.
La base del exponente es el número e:
≈ 2,718281828459045... .
La función inversa es el logaritmo natural, el logaritmo en la base del número e:
x = ln y ≡ log e y.

Funciones trigonométricas:
Seno: ;
Coseno: ;
Tangente: ;
Cotangente: ;
Aquí i es la unidad imaginaria, i 2 = -1.

Funciones trigonométricas inversas:
Arcoseno: x = arcoseno y, ;
Arco coseno: x = arccos y, ;
Arctangente: x = arctan y, ;
Arco tangente: x = arcctg y, .

1) Dominio de función y rango de función.

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores válidos de los argumentos válidos. X(variable X), para lo cual la función y = f(x) determinado. El rango de una función es el conjunto de todos los valores reales. y, que la función acepta.

En matemáticas elementales, las funciones se estudian únicamente en el conjunto de los números reales.

2) Función ceros.

La función cero es el valor del argumento en el que el valor de la función es igual a cero.

3) Intervalos de signo constante de una función.

Los intervalos de signo constante de una función son conjuntos de valores de argumentos en los que los valores de la función son solo positivos o solo negativos.

4) Monotonicidad de la función..

Una función creciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.

Una función decreciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función.

5) Función par (impar).

Una función par es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X desde el dominio de la definición la igualdad f(-x) = f(x). La gráfica de una función par es simétrica con respecto a la ordenada.

Una función impar es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X desde el dominio de la definición la igualdad es verdadera f(-x) = -f(x)). La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

6) Funciones limitadas e ilimitadas.

Una función se llama acotada si existe un número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos los valores de x. Si tal número no existe, entonces la función es ilimitada.

7) Periodicidad de la función.

Una función f(x) es periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x del dominio de definición de la función se cumple lo siguiente: f(x+T) = f(x). Este número más pequeño se llama período de la función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

19. Funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas. Aplicación de funciones en economía.

Funciones elementales básicas. Sus propiedades y gráficas.

1. Función lineal.

Función lineal se llama función de la forma , donde x es una variable, a y b son números reales.

Número A llamada pendiente de la recta, es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta recta a la dirección positiva del eje x. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Está definido por dos puntos.

Propiedades de una función lineal

1. Dominio de definición: el conjunto de todos los números reales: D(y)=R

2. El conjunto de valores es el conjunto de todos los números reales: E(y)=R

3. La función toma un valor cero cuando o.

4. La función aumenta (disminuye) en todo el dominio de definición.

5. Una función lineal es continua en todo el dominio de definición, diferenciable y .

2. Función cuadrática.

Una función de la forma, donde x es una variable y los coeficientes a, b, c son números reales, se llama cuadrático