Cómo encontrar la ecuación de un círculo. Ecuación de un círculo. Explicación del nuevo material.

Circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto dado llamado centro.

Si el punto C es el centro del círculo, R es su radio y M es un punto arbitrario en el círculo, entonces, según la definición de círculo

La igualdad (1) es ecuación de un círculo radio R con centro en el punto C.

Sea un sistema de coordenadas cartesiano rectangular (Fig. 104) y un punto C( A; b) es el centro de un círculo de radio R. Sea M( X; en) es un punto arbitrario de este círculo.

Desde |SM| = $\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) $, entonces la ecuación (1) se puede escribir de la siguiente manera:

$\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) $ = R

(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 (2)

La ecuación (2) se llama ecuación general de un círculo o la ecuación de un círculo de radio R con centro en el punto ( A; b). Por ejemplo, la ecuación

(X - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

es la ecuación de una circunferencia de radio R = 5 con centro en el punto (1; -3).

Si el centro del círculo coincide con el origen de coordenadas, entonces la ecuación (2) toma la forma

X 2 + en 2 = R 2 . (3)

La ecuación (3) se llama ecuación canónica de un círculo .

Tarea 1. Escribe la ecuación de un círculo de radio R = 7 con centro en el origen.

Sustituyendo directamente el valor del radio en la ecuación (3) obtenemos

X 2 + en 2 = 49.

Tarea 2. Escribe la ecuación de un círculo de radio R = 9 con centro en el punto C(3; -6).

Sustituyendo el valor de las coordenadas del punto C y el valor del radio en la fórmula (2), obtenemos

(X - 3) 2 + (en- (-6)) 2 = 81 o ( X - 3) 2 + (en + 6) 2 = 81.

Tarea 3. Encuentra el centro y el radio de un círculo.

(X + 3) 2 + (en-5) 2 =100.

Comparando esta ecuación con la ecuación general de un círculo (2), vemos que A = -3, b= 5, R = 10. Por lo tanto, C(-3; 5), R = 10.

Tarea 4. Demuestre que la ecuación

X 2 + en 2 + 4X - 2y - 4 = 0

es la ecuación de un círculo. Encuentra su centro y radio.

Transformemos el lado izquierdo de esta ecuación:

X 2 + 4X + 4- 4 + en 2 - 2en +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (en - 1) 2 = 9.

Esta ecuación es la ecuación de un círculo centrado en (-2; 1); El radio del círculo es 3.

Tarea 5. Escribe la ecuación de un círculo con centro en el punto C(-1; -1) tangente a la recta AB, si A (2; -1), B(- 1; 3).

Escribamos la ecuación de la recta AB:

o 4 X + 3y-5 = 0.

Dado que un círculo toca una línea dada, el radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a esta línea. Para encontrar el radio, necesitas encontrar la distancia desde el punto C(-1; -1), el centro del círculo, hasta la línea recta 4. X + 3y-5 = 0:

Escribamos la ecuación del círculo deseado.

(X +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Sea un círculo dado en un sistema de coordenadas rectangular. X 2 + en 2 = R 2 . Considere su punto arbitrario M( X; en) (Figura 105).

Sea el vector de radio om> el punto M forma un ángulo de magnitud t con dirección positiva del eje O X, entonces la abscisa y la ordenada del punto M cambian dependiendo de t

(0 t x e y a través t, encontramos

X= R cos t ; y= R pecado t , 0 t

Las ecuaciones (4) se llaman ecuaciones paramétricas de una circunferencia con centro en el origen.

Tarea 6. El círculo está dado por las ecuaciones.

X= $\sqrt(3)$cos t, y= $\sqrt(3)$pecado t, 0 t

Escribe la ecuación canónica de este círculo.

Se sigue de la condición X 2 = 3 porque 2 t, en 2 = 3 pecado 2 t. Sumando estas igualdades término por término, obtenemos

X 2 + en 2 = 3(cos 2 t+ pecado 2 t)

o X 2 + en 2 = 3

Clase: 8

El propósito de la lección: presente la ecuación de un círculo, enseñe a los estudiantes a componer una ecuación de un círculo usando un dibujo ya hecho y construya un círculo usando una ecuación dada.

Equipo: tablero interactivo.

Plan de estudios:

Momento organizacional – 3 min.
Repetición. Organización de la actividad mental – 7 min.
Explicación de material nuevo. Derivación de la ecuación de un círculo – 10 min.
Consolidación del material estudiado – 20 min.
Resumen de la lección – 5 min.

durante las clases

2. Repetición:

− (Anexo 1 Diapositiva 2) escriba la fórmula para encontrar las coordenadas de la mitad de un segmento;

− (Diapositiva 3) Z Escribe la fórmula para la distancia entre puntos (la longitud del segmento).

3. Explicación de material nuevo.

(Diapositivas 4 – 6) Defina la ecuación de un círculo. Deducir las ecuaciones de una circunferencia con centro en el punto ( A;b) y centrado en el origen.

(X – A ) 2 + (en – b ) 2 = R 2 – ecuación de un círculo con centro CON (A;b) , radio R , X Y en – coordenadas de un punto arbitrario en el círculo .

X 2 + y 2 = R 2 – ecuación de una circunferencia con centro en el origen.

(Diapositiva 7)

Para crear la ecuación de un círculo, necesitas:

conocer las coordenadas del centro;
conocer la longitud del radio;
Sustituye las coordenadas del centro y la longitud del radio en la ecuación del círculo.

4. Resolución de problemas.

En las tareas No. 1 – No. 6, componga ecuaciones de un círculo usando dibujos ya hechos.

(Diapositiva 14)

№ 7. Completa la tabla.

(Diapositiva 15)

№ 8. Construye círculos en tu cuaderno dados por las ecuaciones:

A) ( X – 5) 2 + (en + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (en– 7) 2 = 7 2 .

(Diapositiva 16)

№ 9. Encuentre las coordenadas del centro y la longitud del radio si AB– diámetro del círculo.

Dado:		Solución:
Dado:		R	Coordenadas centrales
1	A(0 ; -6) EN(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	A(0; -6) EN(0 ; 2) CON(0 ; – 2) – centro
2	A(-2 ; 0) EN(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	A (-2;0) EN (4 ;0) CON(1 ; 0) – centro

(Diapositiva 17)

№ 10. Escribe una ecuación para una circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto A(-12;5).

Solución.

R 2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Ecuación de un círculo: x 2 + y 2 = 169 .

(Diapositiva 18)

№ 11. Escribe una ecuación para un círculo que pasa por el origen y tiene centro en CON(3; - 1).

Solución.

R2= SO 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Ecuación de un círculo: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Diapositiva 19)

№ 12. Escribe una ecuación para un círculo con su centro. A(3;2), pasando por EN(7;5).

Solución.

1. Centro del círculo – A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Ecuación de un círculo ( X – 3) 2 + (en − 2) 2 = 25.

(Diapositiva 20)

№ 13. Comprueba si los puntos mienten A(1; -1), EN(0;8), CON(-3; -1) en el círculo definido por la ecuación ( X + 3) 2 + (en − 4) 2 = 25.

Solución.

I. Sustituyamos las coordenadas del punto. A(1; -1) en la ecuación de un círculo:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – la igualdad es falsa, lo que significa A(1; -1) no miente en el círculo dado por la ecuación ( X + 3) 2 + (en − 4) 2 = 25.

II. Sustituyamos las coordenadas del punto. EN(0;8) en la ecuación de un círculo:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
EN(0;8)mentiras X + 3) 2 + (en − 4) 2 = 25.

III. Sustituyamos las coordenadas del punto. CON(-3; -1) en la ecuación de un círculo:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – la igualdad es verdadera, lo que significa CON(-3; -1) mentiras en el círculo dado por la ecuación ( X + 3) 2 + (en − 4) 2 = 25.

Resumen de la lección.

Repetir: ecuación de un círculo, ecuación de un círculo con centro en el origen.
(Diapositiva 21) Tarea.

Tema de la lección: Ecuación de un círculo

Objetivos de la lección:

Educativo: Deducir la ecuación de un círculo, considerando la solución de este problema como una de las posibilidades de utilizar el método de coordenadas.

Ser capaz de:

– Reconozca la ecuación de un círculo usando la ecuación propuesta, enseñe a los estudiantes a componer una ecuación de un círculo usando un dibujo ya hecho y construya un círculo usando una ecuación dada.

Educativo : Formación del pensamiento crítico.

De desarrollo : Desarrollo de la capacidad de elaborar instrucciones algorítmicas y la capacidad de actuar de acuerdo con el algoritmo propuesto.

Ser capaz de:

– Vea el problema y describa formas de resolverlo.

– Exprese brevemente sus pensamientos de forma oral y escrita.

Tipo de lección: dominar nuevos conocimientos.

Equipo : PC, proyector multimedia, pantalla.

Plan de estudios:

1. Discurso de apertura – 3 min.

2. Actualización de conocimientos – 2 min.

3. Planteamiento del problema y su solución – 10 min.

4. Fijación frontal de material nuevo – 7 min.

5. Trabajo independiente en grupos – 15 min.

6. Presentación del trabajo: discusión – 5 min.

7. Resumen de la lección. Tarea – 3 min.

durante las clases

El propósito de esta etapa: Estado de ánimo psicológico de los estudiantes; Involucrar a todos los estudiantes en proceso educativo, creando una situación de éxito.

1. Organizar el tiempo.

3 minutos

¡Tipo! Conociste el círculo en los grados 5 y 8. ¿Qué sabes sobre ella?

Sabes muchas cosas y estos datos se pueden utilizar para resolver problemas geométricos. Pero para resolver problemas en los que se utiliza el método de coordenadas, esto no es suficiente.¿Por qué?

Absolutamente correcto.

Por lo tanto, el objetivo principal de la lección de hoy es derivar la ecuación de un círculo a partir de las propiedades geométricas de una recta dada y utilizarla para resolver problemas geométricos.

Déjalo irlema de la lección Serán las palabras del enciclopedista de Asia Central Al-Biruni: “El conocimiento es la más excelente de las posesiones. Todo el mundo se esfuerza por lograrlo, pero no llega por sí solo”.

Anota el tema de la lección en tu cuaderno.

Definición de círculo.

Radio.

Diámetro.

Acorde. Etc.

No lo sabemos todavía vista general ecuaciones de un círculo.

Los estudiantes enumeran todo lo que saben sobre un círculo.

Diapositiva 2

Diapositiva 3

El objetivo de esta etapa es tener una idea de la calidad de la asimilación del material por parte de los estudiantes y determinar los conocimientos básicos.

2. Actualización de conocimientos.

2 minutos

Al derivar la ecuación de un círculo. Necesitarás la definición ya conocida de círculo y una fórmula que te permita encontrar la distancia entre dos puntos usando sus coordenadas.Recordemos estos hechos. /PAGrepetición de material, previamente estudiado/:

– Escribe la fórmula para encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento.

– Escribe la fórmula para calcular la longitud de un vector.

– Escribe la fórmula para encontrar la distancia entre puntos. (longitud del segmento).

Corrigiendo entradas...

Calentamiento geométrico.

Se dan puntosUn (-1;7) YEn (7; 1).

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento AB y su longitud.

Comprueba la corrección de la ejecución, corrige cálculos...

Un estudiante está en la pizarra y el resto escribe fórmulas en cuadernos.

Un circulo se llama figura geométrica, que consta de todos los puntos ubicados a una distancia determinada de un punto determinado.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y), A(x;y)

Calcular: C (3; 4)

| AB| = 10

CON plomo 4

Diapositiva 5

3. Formación de nuevos conocimientos.

12 minutos

Objetivo: formación del concepto - ecuación de un círculo.

Resolver el problema:

En un sistema de coordenadas rectangular, se construye un círculo con centro A(x;y). M(x; y) - punto arbitrario del círculo. Encuentra el radio del circulo.

¿Las coordenadas de cualquier otro punto satisfarán esta igualdad? ¿Por qué?

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.Como resultado tenemos:

r² =(x – x)²+(y – y)²-ecuación de un círculo, donde (x;y) son las coordenadas del centro del círculo, (x;y) son las coordenadas de un punto arbitrario que se encuentra en el círculo, r es el radio del círculo.

Resolver el problema:

¿Cuál será la ecuación de un círculo con centro en el origen?

Entonces, ¿qué necesitas saber para trazar la ecuación de un círculo?

Proponer un algoritmo para componer la ecuación de un círculo.

Conclusión: ...anótalo en tu cuaderno.

El radio es el segmento que conecta el centro del círculo con un punto arbitrario que se encuentra en el círculo. Por lo tanto r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

Cualquier punto de un círculo se encuentra en este círculo.

Los estudiantes toman notas en cuadernos.

(0;0) - coordenadas del centro del círculo.

x²+y²=r², donde r es el radio del círculo.

Coordenadas del centro del círculo, radio, cualquier punto del círculo...

Proponen un algoritmo...

Anota el algoritmo en un cuaderno.

Diapositiva 6

Diapositiva 7

Diapositiva 8

El maestro anota la igualdad en la pizarra.

Diapositiva 9

4. Consolidación primaria.

23 minutos

Objetivo:Reproducción por parte de los estudiantes del material que acaban de aprender para evitar la pérdida de ideas y conceptos formados.. Consolidación de nuevos conocimientos, ideas, conceptos basados en ellos.aplicaciones.

control SOL

Apliquemos los conocimientos adquiridos para resolver los siguientes problemas.

Tarea: De las ecuaciones propuestas, nombra los números de aquellas que son ecuaciones de un círculo. Y si la ecuación es la ecuación de un círculo, entonces nombra las coordenadas del centro e indica el radio.

No todas las ecuaciones de segundo grado con dos variables definen un círculo.

4x²+y²=4-ecuación de elipse.

x²+y²=0-punto.

x²+y²=-4-esta ecuación no define ninguna figura.

¡Tipo! ¿Qué necesitas saber para escribir la ecuación de un círculo?

Resolver el problema No. 966 página 245 (libro de texto).

El profesor llama al alumno a la pizarra.

¿Son suficientes los datos proporcionados en el planteamiento del problema para crear la ecuación de un círculo?

Tarea:

Escribe la ecuación de un círculo con centro en el origen y diámetro 8.

Tarea : Dibuja un circulo.

¿El centro tiene coordenadas?

Determina el radio... y construye.

Problema en la página 243 (libro de texto) se analiza oralmente.

Utilizando el plan de solución de problemas de la página 243, resuelva el problema:

Escribe una ecuación para un círculo con centro en el punto A(3;2), si el círculo pasa por el punto B(7;5).

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - ecuación de un círculo; (5;3),r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - ecuación de un círculo; (1;0),r=7.

3) x²+y²=7 - ecuación de un círculo; (0;0),r=√7.

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - ecuación de un círculo; (-3;8),r=√2.

5) 4x²+y²=4 no es una ecuación de un círculo.

6) x²+y²=0- no es una ecuación de un círculo.

7) x²+y²=-4- no es una ecuación de un círculo.

Conoce las coordenadas del centro del círculo.

Longitud del radio.

Sustituye las coordenadas del centro y la longitud del radio en la ecuación general de un círculo.

Resolver el problema No. 966 página 245 (libro de texto).

Hay suficientes datos.

Resuelven el problema.

Como el diámetro de un círculo es el doble de su radio, entonces r=8÷2=4. Por lo tanto x²+y²=16.

Construir círculos

Trabajar según el libro de texto. Problema en la página 243.

Dado: A(3;2) es el centro del círculo; В(7;5)є(А;r)

Encontrar: ecuación de un círculo

Solución: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x –3)²+(y –2)²=25

Respuesta: (x –3)²+(y –2)²=25

Diapositiva 10-13

Resolver problemas típicos, pronunciar la solución en voz alta.

El maestro llama a un estudiante para que escriba la ecuación resultante.

Volver a la diapositiva 9

Discusión de un plan para resolver este problema.

Deslizar. 15. El maestro llama a un estudiante a la pizarra para resolver este problema.

Diapositiva 16.

Diapositiva 17.

5. Resumen de la lección.

5 minutos

Reflexión sobre las actividades de la lección.

Tarea: §3, párrafo 91, preguntas del examen No. 16,17.

Problemas nº 959(b,d,d), 967.

Tarea de evaluación adicional (tarea problemática): construir un círculo dado por la ecuación

x²+2x+y²-4y=4.

¿De qué hablamos en clase?

¿Qué querías conseguir?

¿Cuál fue el objetivo de la lección?

¿Qué problemas nos permite resolver nuestro “descubrimiento”?

¿Cuántos de ustedes piensan que han logrado la meta marcada por el maestro en la lección al 100%, 50%; ¿No llegó a la meta...?

Calificación.

Anota la tarea.

Los estudiantes responden a las preguntas planteadas por el profesor. Realizar un autoanálisis de sus propias actividades.

Los estudiantes deben expresar el resultado y los métodos para lograrlo con palabras.

Ecuación de una recta en un plano

Primero introduzcamos el concepto de ecuación de una línea en un sistema de coordenadas bidimensional. Construya una línea arbitraria $L$ en el sistema de coordenadas cartesiano (Fig. 1).

Figura 1. Línea arbitraria en el sistema de coordenadas.

Definición 1

Una ecuación con dos variables $x$ y $y$ se llama ecuación de la recta $L$ si esta ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto perteneciente a la recta $L$ y no se satisface con cualquier punto que no pertenezca a la recta $L ps

Ecuación de un círculo

Derivemos la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas cartesiano $xOy$. Sea el centro del círculo $C$ las coordenadas $(x_0,y_0)$, y el radio del círculo sea igual a $r$. Sea el punto $M$ con coordenadas $(x,y)$ un punto arbitrario de este círculo (Fig. 2).

Figura 2. Círculo en sistema de coordenadas cartesiano

La distancia desde el centro del círculo hasta el punto $M$ se calcula de la siguiente manera

Pero, dado que $M$ se encuentra en el círculo, obtenemos $CM=r$. Entonces obtenemos lo siguiente

La ecuación (1) es la ecuación de un círculo con centro en el punto $(x_0,y_0)$ y radio $r$.

En particular, si el centro del círculo coincide con el origen. Esa ecuación de un círculo tiene la forma.

Ecuación de una recta.

Derivemos la ecuación de la recta $l$ en el sistema de coordenadas cartesiano $xOy$. Sean los puntos $A$ y $B$ las coordenadas $\left$x_1,\ y_1\right$$ y $$x_2,\ y_2$$, respectivamente, y se eligen los puntos $A$ y $B$. de modo que la recta $l$ es la mediatriz del segmento $AB$. Elijamos un punto arbitrario $M=$x,y$$ perteneciente a la recta $l$ (Fig. 3).

Dado que la recta $l$ es la bisectriz perpendicular al segmento $AB$, entonces el punto $M$ es equidistante de los extremos de este segmento, es decir, $AM=BM$.

Encontremos las longitudes de estos lados usando la fórmula para la distancia entre puntos:

Por eso

Denotemos por $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ^2 -(y_1)^2$, encontramos que la ecuación de una recta en un sistema de coordenadas cartesiano tiene la siguiente forma:

Un ejemplo de un problema para encontrar las ecuaciones de rectas en un sistema de coordenadas cartesiano.

Ejemplo 1

Encuentra la ecuación de un círculo con centro en el punto $(2,\ 4)$. Pasando por el origen de coordenadas y una recta paralela al eje $Ox,$ que pasa por su centro.

Solución.

Primero encontremos la ecuación de este círculo. Para hacer esto, usaremos la ecuación general de un círculo (derivada arriba). Como el centro del círculo se encuentra en el punto $(2,\ 4)$, obtenemos

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Encontremos el radio del círculo como la distancia desde el punto $(2,\ 4)$ hasta el punto $(0,0)$

Encontramos que la ecuación de un círculo tiene la forma:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Encontremos ahora la ecuación de un círculo usando el caso especial 1. Obtenemos