Definícia:Kinetická energia telesa je energiou jeho translačného pohybu.
Ak na telo v pokoji pôsobí vonkajšia sila, telo nadobudne určitú rýchlosť a je schopné samo vykonávať prácu. Táto zásoba práce je tzv Kinetická energia telá. Zapíšme si pohybovú rovnicu hmotného bodu:
Kde 
- výsledná sila. Vynásobme pohybovú rovnicu skalárne o 
, Potom
Na pravej strane rovnice sme dostali elementárnu prácu, naľavo - výraz, ktorý možno previesť do formy totálneho diferenciálu:
V dôsledku toho máme 
, t.j. elementárna práca vykonaná silou ,rovná sa prírastku hodnoty 
, určená do ľubovoľnej konštanty. Ukazuje sa, že sila vykonáva určitú prácu a kinetická energia tela sa zvyšuje o rovnakú hodnotu (zvyčajné označenie T alebo W príbuzný. ).
Pri negatívnej práci vykonanej silou sa kinetická energia tela znižuje: energia sa vynakladá na prekonanie pôsobiacej sily. Zvyčajne sa verí, že telo v pokoji nemá kinetickú energiu, takže sa predpokladá, že ľubovoľná konštanta sa rovná nule: 
.
§ 17. Potenciálna energia.
Definícia:Potenciálna energia je časť energie mechanického systému, ktorá závisí len od jeho konfigurácie, t.j. na relatívnej polohe všetkých častíc systému a na umiestnení vo vonkajšom potenciálnom poli.
Strata potenciálnej energie pri pohybe systému z ľubovoľnej polohy „1“ do inej polohy „2“ sa meria prácou A 12 vykonanou všetkými potenciálmi: vnútornými a vonkajšími silami pôsobiacimi na systém:
U(1) U(2) = A 12 alebo U = A 12 ,
Kde U = U(2) U(1) - zmeny potenciálnej energie mechanického systému,
U(1), U(2) hodnoty potenciálnej energie mechanického systému v polohách „1“ a „2“.
V súlade s tým je práca potenciálnych síl s malou zmenou v konfigurácii systému A = dU.
Tieto vzťahy platia pre prípad stacionárneho (časovo nezávislého) vonkajšieho potenciálneho poľa. V najjednoduchšom prípade, keď je hmotný bod vo vonkajšom potenciálnom poli, sila, ktorou toto pole pôsobí na bod, sa vypočíta podľa vzorca:
Kde 
sa nazýva gradient skalárnej funkcie (v tomto prípade potenciálna energia). Gradient je vektorová veličina smerujúca k rastúcim funkčným hodnotám U. Vyššie uvedený vzorec obsahuje znamienko „“, čo znamená, že sila smeruje k zníženiu hodnôt funkcie U.
Inverzný vzťah, ktorý nám umožňuje vypočítať hodnotu potenciálnej energie zo známeho vyjadrenia potenciálnej sily, je evidentný
.
Daný vzorec umožňuje určiť explicitné vyjadrenia potenciálnej energie pre špeciálne prípady. Pri výpočte tohto integrálu sa snažia vybrať jednu z limitov tak, aby potenciálna energia v posudzovanom bode bola rovná nule.
Príklad č.1.
Sila gravitačnej interakcie medzi dvoma telesami je rovná 
,
S pojmom práca úzko súvisí ďalší základný fyzikálny pojem – pojem energia. Keďže mechanika študuje po prvé pohyb telies a po druhé vzájomnú interakciu telies, je obvyklé rozlišovať medzi dvoma typmi mechanickej energie: Kinetická energia, spôsobené pohybom tela, a potenciálna energia, spôsobené interakciou telesa s inými telesami.
Kinetická energia mechanický systém nazývaná energiav závislosti od rýchlosti pohybu bodov tohto systému.
Výraz pre kinetickú energiu možno nájsť určením práce výslednej sily pôsobiacej na hmotný bod. Na základe (2.24) napíšeme vzorec pre elementárnu prácu výslednej sily:
Pretože 
, potom dA = mυdυ. (2,25)
Aby sme našli prácu, ktorú vykoná výsledná sila, keď sa rýchlosť telesa zmení z υ 1 na υ 2, integrujeme výraz (2.29):
(2.26)
Keďže práca je mierou prenosu energie z jedného tela do druhého
Na základe (2.30) píšeme, že množstvo 
existuje kinetická energia
telo: 
odkiaľ namiesto (1.44) dostaneme
(2.27)
Obvykle sa nazýva teoréma vyjadrená vzorcom (2.30). teorém o kinetickej energii . V súlade s ním sa práca síl pôsobiacich na teleso (alebo sústavu telies) rovná zmene kinetickej energie tohto telesa (alebo sústavy telies).
Z vety o kinetickej energii to vyplýva fyzikálny význam kinetickej energie : Kinetická energia telesa sa rovná práci, ktorú je schopné vykonať v procese zníženia rýchlosti na nulu.Čím väčšiu „rezervu“ kinetickej energie má teleso, tým viac práce môže vykonať.
Kinetická energia systému sa rovná súčtu kinetických energií hmotných bodov, z ktorých tento systém pozostáva:
(2.28)
Ak je práca všetkých síl pôsobiacich na teleso kladná, kinetická energia telesa sa zvyšuje, ak je práca záporná, kinetická energia klesá.
Je zrejmé, že elementárna práca výslednice všetkých síl pôsobiacich na teleso sa bude rovnať elementárnej zmene kinetickej energie telesa:
dA = dE k. (2,29)
Na záver poznamenávame, že kinetická energia, rovnako ako rýchlosť pohybu, je relatívna. Napríklad kinetická energia cestujúceho sediaceho vo vlaku bude iná, ak vezmeme do úvahy pohyb vzhľadom na povrch vozovky alebo vzhľadom na vozeň.
§2.7 Potenciálna energia
Druhým typom mechanickej energie je potenciálna energia – energia v dôsledku interakcie telies.
Potenciálna energia necharakterizuje žiadnu interakciu telies, ale len tú, ktorá je popísaná silami, ktoré nezávisia od rýchlosti. Väčšina síl (gravitácia, elasticita, gravitačné sily atď.) sú práve také; jedinou výnimkou sú trecie sily. Práca uvažovaných síl nezávisí od tvaru trajektórie, ale je určená iba jej počiatočnou a konečnou polohou. Práca vykonaná takýmito silami na uzavretej trajektórii je nulová.
Sily, ktorých práca nezávisí od tvaru trajektórie, ale závisí len od počiatočnej a konečnej polohy hmotného bodu (telesa), sa nazývajú potenciálne alebo konzervatívne sily .
Ak teleso interaguje so svojím prostredím prostredníctvom potenciálnych síl, potom možno na charakterizáciu tejto interakcie zaviesť koncept potenciálnej energie.
Potenciál je energia spôsobená interakciou telies a v závislosti od ich vzájomnej polohy.
Nájdite potenciálnu energiu telesa zdvihnutého nad zemou. Nech sa teleso s hmotnosťou m rovnomerne pohybuje v gravitačnom poli z polohy 1 do polohy 2 po ploche, ktorej prierez rovinou výkresu je znázornený na obr. 2.8. Tento úsek je trajektóriou hmotného bodu (telesa). Ak nedôjde k treniu, potom na bod pôsobia tri sily:
1) sila N z povrchu je kolmá na povrch, práca tejto sily je nulová;
2) gravitácia mg, práca tejto sily A 12;
3) ťažná sila F od nejakého hnacieho telesa (spaľovací motor, elektromotor, osoba atď.); Označme prácu tejto sily A T.
Uvažujme prácu gravitácie pri pohybe telesa po naklonenej rovine dĺžky ℓ (obr. 2.9). Ako vidno z tohto obrázku, práca sa rovná
A" = mgℓ cosα = mgℓ cos(90° + α) = - mgℓ sinα
Z trojuholníka ВСD máme ℓ sinα = h, takže z posledného vzorca to vyplýva:
Dráhu telesa (pozri obr. 2.8) možno schematicky znázorniť malými rezmi naklonenej roviny, preto pre prácu gravitácie na celej dráhe 1 - 2 platí nasledujúci výraz:
A12 = mg (h1-h2) =-(mgh2 - mg h1) (2,30)
takže, gravitačná práca nezávisí od dráhy telesa, ale závisí od rozdielu výšok začiatočného a koncového bodu dráhy.
Veľkosť
e n = mg h (2,31)
volal potenciálna energia hmotný bod (telo) s hmotnosťou m vyvýšený nad zemou do výšky h. Preto je možné vzorec (2.30) prepísať takto:
A 12 = =-(En 2 - En 1) alebo A 12 = =-ΔEn (2,32)
Gravitačná práca sa rovná zmene potenciálnej energie telies odobratej s opačným znamienkom, t.j. rozdielu medzi jej konečnou a počiatočnouhodnoty (teorém o potenciálnej energii ).
Podobné úvahy možno uviesť pre elasticky deformované teleso.
(2.33)
Poznač si to fyzický význam má potenciálny energetický rozdiel ako veličinu, ktorá určuje prácu konzervatívnych síl. V tomto ohľade nezáleží na tom, ktorej polohe, konfigurácii by sa mala pripísať nulová potenciálna energia.
Z vety o potenciálnej energii možno získať jeden veľmi dôležitý dôsledok: Konzervatívne sily sú vždy zamerané na znižovanie potenciálnej energie. Zavedený vzorec sa prejavuje v tom, že každý systém ponechaný sám na seba má vždy tendenciu prejsť do stavu, v ktorom má jeho potenciálna energia najmenšiu hodnotu. Toto je princíp minimálnej potenciálnej energie .
Ak systém v danom stave nemá minimálnu potenciálnu energiu, potom sa tento stav nazýva energeticky nevýhodné.
Ak je guľa na dne konkávnej misky (obr. 2.10, a), kde je jej potenciálna energia minimálna (v porovnaní s hodnotami v susedných polohách), potom je jej stav priaznivejší. Rovnováha lopty v tomto prípade je udržateľný: Ak posuniete loptičku do strany a uvoľníte ju, vráti sa do pôvodnej polohy.
Napríklad poloha gule na vrchu konvexného povrchu je energeticky nepriaznivá (obr. 2.10, b). Súčet síl pôsobiacich na loptičku je nulový, a preto bude táto guľa v rovnováhe. Táto rovnováha však je nestabilné: stačí najmenší náraz na to, aby sa skotúľala a tým prešla do stavu energeticky priaznivejšieho, t.j. mať menej
P 
potenciálna energia.
O ľahostajný V rovnováhe (obr. 2.10, c) sa potenciálna energia telesa rovná potenciálnej energii všetkých jeho možných najbližších stavov.
Na obrázku 2.11 môžete označiť určitú obmedzenú oblasť priestoru (napríklad cd), v ktorej je potenciálna energia menšia ako mimo nej. Táto oblasť bola pomenovaná potenciálnu studňu .
Kinetická energia translačne sa pohybujúceho pevného telesa sa určuje veľmi jednoducho. Pretože všetky body tela počas takéhoto pohybu majú rovnakú rýchlosť, kinetická energia sa jednoducho rovná (4)
kde je rýchlosť telesa a M je jeho plná hmotnosť. Tento výraz je rovnaký, ako keby sa rýchlosťou pohyboval jeden hmotný bod hmotnosti M. Je zrejmé, že translačný pohyb tuhého telesa sa nijako výrazne nelíši od pohybu hmotného bodu.
Poďme teraz určiť kinetickú energiu rotujúceho telesa. Aby sme to urobili, rozdeľme ho v duchu na samostatné elementárne časti, také malé, že ich možno považovať za pohybujúce sa ako hmotné body. Ak m i je hmotnosť i-tého prvku a r i je jeho vzdialenosť od osi rotácie, potom sa jeho rýchlosť rovná , kde je uhlová rýchlosť rotácie telesa. Kinetická energia tohto prvku je rovnaká a sčítaním týchto energií dostaneme celkovú kinetickú energiu telesa (5)
Množstvo v zátvorkách závisí od toho, s akým pevným telesom máme do činenia (jeho tvar, veľkosť a rozloženie hmôt v ňom), ako aj od toho, ako je v ňom umiestnená os rotácie. Táto veličina, charakterizujúca tuhé teleso a zvolenú os rotácie, sa nazýva moment zotrvačnosti telesá vzhľadom na danú os.
Označme to písmenom I: 
(6)
Ak je pevné teleso pevné, potom musí byť rozdelené na nekonečne veľké množstvo nekonečne malých častí; súčet v napísanom vzorci je potom nahradený integráciou. Uveďme napríklad, že moment zotrvačnosti tuhej gule (s hmotnosťou M a polomerom R) voči osi prechádzajúcej jej stredom je rovný ; moment zotrvačnosti tenkej tyče (dĺžka l) vzhľadom na os na ňu kolmú, prechádzajúcej jej stredom, sa rovná .
Takže kinetickú energiu rotujúceho telesa možno zapísať ako (7)
Tento výraz je formálne podobný výrazu pre energiu translačného pohybu, líši sa od neho tým, že namiesto rýchlosti V je uhlová rýchlosť a namiesto hmotnosti je moment zotrvačnosti. Tu máme prvý príklad, že pri rotácii zohráva moment zotrvačnosti podobnú úlohu ako hmotnosť pri translačnom pohybe.
Kinetická energia ľubovoľne sa pohybujúceho tuhého telesa môže byť vyjadrená ako súčet translačných a rotačných energií, ak pri metóde oddelenia dvoch pohybov zvolíme hlavný bod O v strede zotrvačnosti telesa. Potom bude rotačný pohyb reprezentovať pohyb bodov telesa vzhľadom na jeho stred zotrvačnosti, t.j. hrá úlohu „vnútorného“ pohybu. Preto pre kinetickú energiu ľubovoľne sa pohybujúceho telesa máme 
(8)
Index „0“ pre moment zotrvačnosti znamená, že sa berie vo vzťahu k osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti.
Uvažujme tuhé teleso rotujúce okolo určitej osi Z, ktoré neprechádza stredom zotrvačnosti. Kinetická energia tohto pohybu je 
, kde I je moment zotrvačnosti vzhľadom na os Z. Na druhej strane môžeme tento istý pohyb považovať za kombináciu translačného pohybu s rýchlosťou V stredu zotrvačnosti a rotácie (s rovnakou uhlovou rýchlosťou) okolo os prechádzajúca stredom zotrvačnosti rovnobežná s osou Z. Ak A je vzdialenosť stredu zotrvačnosti od osi Z, potom jej rýchlosť V= a. Preto môže byť kinetická energia telesa vyjadrená aj vo forme
Porovnaním oboch výrazov zistíme
Tento vzorec spája moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na ľubovoľnú os s momentom zotrvačnosti vzhľadom na inú os rovnobežnú s prvou a prechádzajúcu stredom zotrvačnosti (Huygens-Steinerova veta). Je zrejmé, že I je vždy väčšie ako I 0 . Inými slovami, pre daný smer osi sa dosiahne minimálna hodnota momentu zotrvačnosti pre os prechádzajúcu stredom zotrvačnosti.
Kinetická energia-skalárnu funkciu, ktorá je mierou pohybu hmotného bodu a závisí len od hmotnosti a modulu rýchlosti hmotných bodov tvoriacich uvažovaný fyzikálny systém, energie mechanického systému v závislosti od rýchlosti pohybu jeho body vo vybranom referenčnom systéme. Často sa uvoľňuje kinetická energia translačného a rotačného pohybu.
Presnejšie povedané, kinetická energia je rozdiel medzi celkovou energiou systému a jeho pokojovou energiou; teda kinetická energia je časťou celkovej energie spôsobenej pohybom.
Jednoducho povedané, kinetická energia je energia, ktorú má teleso iba vtedy, keď sa pohybuje. Keď sa teleso pohybuje, kinetická energia je nulová.
Fyzický význam
Uvažujme systém pozostávajúci z jednej častice a napíšme druhý Newtonov zákon:
Je výslednica všetkých síl pôsobiacich na teleso.Rovnicu skalárne vynásobme posunom častice. Vzhľadom na to dostaneme:
Ak je systém uzavretý, to znamená, že v ňom nie sú žiadne vonkajšie sily, alebo je výslednica všetkých síl nulová, potom 
a hodnotu
zostáva konštantná. Toto množstvo sa nazýva Kinetická energiačastice. Ak je systém izolovaný, potom kinetická energia je integrálom pohybu.
Pre absolútne tuhé teleso možno celkovú kinetickú energiu zapísať ako súčet kinetickej energie translačného a rotačného pohybu:
Telesná hmotnosť
Rýchlosť stredu tela
Moment zotrvačnosti telakg m² 
Uhlová rýchlosť tela. rad/s
Nájdite kinetickú energiu pre rôzne prípady pohybu:
1. Pohyb vpred
Rýchlosti všetkých bodov sústavy sa rovnajú rýchlosti ťažiska. Potom
Kinetická energia systému počas translačného pohybu sa rovná polovici súčinu hmotnosti systému a druhej mocniny rýchlosti ťažiska.
2. Rotačný pohyb(Obr. 77)
Rýchlosť ktoréhokoľvek bodu na tele: . Potom
alebo pomocou vzorca (15.3.1):
Kinetická energia telesa počas rotácie sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti telesa vzhľadom na os rotácie a druhej mocniny jeho uhlovej rýchlosti.
3. Rovinno-paralelný pohyb
Pre daný pohyb sa kinetická energia skladá z energie translačných a rotačných pohybov
Všeobecný prípad pohybu dáva vzorec na výpočet kinetickej energie podobný tomu poslednému.
Definíciu práce a výkonu sme urobili v odseku 3 kapitoly 14. Tu sa pozrieme na príklady výpočtu práce a výkonu síl pôsobiacich na mechanický systém.
Fyzický význam práce
Práca všetkých síl pôsobiacich na časticu počas jej pohybu vedie k zvýšeniu kinetickej energie častice:
Vlastnosti kinetickej energie
Aditívnosť. Táto vlastnosť znamená, že kinetická energia mechanického systému pozostávajúceho z hmotných bodov sa rovná súčtu kinetických energií všetkých hmotných bodov zahrnutých v systéme.
Invariantnosť vzhľadom na rotáciu referenčného systému. Kinetická energia nezávisí od polohy bodu, smeru jeho rýchlosti a závisí len od veľkosti rýchlosti alebo, čo je rovnaké, od druhej mocniny jeho rýchlosti.
Zachovanie. Kinetická energia sa nemení pri interakciách, ktoré menia iba mechanické charakteristiky systému.Táto vlastnosť je invariantná vzhľadom na Galileove transformácie.Vlastnosti zachovania kinetickej energie a druhý Newtonov zákon postačujú na odvodenie matematického vzorca pre kinetickú energiu.
relativizmus
Pri rýchlostiach blízkych rýchlosti svetla sa kinetická energia akéhokoľvek objektu rovná
Hmotnosť objektu;
Rýchlosť pohybu objektu vo vybranom inerciálnom referenčnom systéme;
Rýchlosť svetla vo vákuu (- pokojová energia).
Tento vzorec je možné prepísať takto:
Pri nízkych rýchlostiach () sa posledný vzťah stáva obvyklým vzorcom.
Vzťah medzi kinetickou a vnútornou energiou
Kinetická energia závisí od polohy, z ktorej sa na systém pozeráme. Ak makroskopický objekt (napríklad pevné teleso viditeľných rozmerov) považujeme za jeden celok, môžeme hovoriť o takej forme energie, ako je vnútorná energia. Kinetická energia sa v tomto prípade objaví iba vtedy, keď sa telo pohybuje ako celok.
To isté teleso, uvažované z mikroskopického hľadiska, pozostáva z atómov a molekúl a vnútorná energia je spôsobená pohybom atómov a molekúl a považuje sa za dôsledok tepelného pohybu týchto častíc a absolútnej teploty telesa je priamo úmerná priemernej kinetickej energii takéhoto pohybu atómov a molekúl. Koeficient proporcionality - Boltzmannova konštanta.
