Správny trojuholník. Podrobná teória s príkladmi Výška pravouhlého trojuholníka od vrcholu pravého uhla

V skutočnosti nie je všetko také strašidelné. Samozrejme, v článku by ste sa mali pozrieť na „skutočnú“ definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Ale to naozaj nechcem, však? Môžeme sa tešiť: na vyriešenie problémov s pravouhlým trojuholníkom stačí vyplniť nasledujúce jednoduché veci:

A čo uhol? Existuje noha, ktorá je oproti rohu, teda opačná (pre uhol) noha? Samozrejme, že mám! Toto je noha!

A čo uhol? Pozrite sa pozorne. Ktorá noha susedí s rohom? Samozrejme, noha. To znamená, že pre uhol je noha priľahlá, a

Teraz dávajte pozor! Pozrite sa, čo sme dostali:

Pozrite sa, aké je to cool:

Teraz prejdime na tangens a kotangens.

Ako to teraz môžem napísať slovami? Aká je noha vo vzťahu k uhlu? Naproti, samozrejme - „leží“ oproti rohu. A čo noha? Susedí s rohom. Tak čo máme?

Vidíte, ako si čitateľ a menovateľ vymenili miesta?

A teraz opäť rohy a výmena:

Zhrnutie

Stručne si zapíšme všetko, čo sme sa naučili.

Pytagorova veta:

Hlavná veta o správny trojuholník- Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie veľmi dobrý, pozrite sa na obrázok - osviežte si svoje vedomosti

Je dosť možné, že Pytagorovu vetu ste už mnohokrát použili, no napadlo vás niekedy, prečo je takáto veta pravdivá? Ako to môžem dokázať? Urobme to ako starí Gréci. Nakreslíme štvorec so stranou.

Pozrite sa, ako šikovne sme rozdelili jeho strany na dĺžky a!

Teraz spojme označené bodky

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozriete na kresbu a pomyslíte si, prečo je to tak.

Aká je plocha väčšieho námestia?

Správny, .

A čo menšia plocha?

Určite,.

Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich vzali po dvoch a opreli ich o seba preponami.

Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. To znamená, že plocha „rezov“ je rovnaká.

Poďme si to teraz dať dokopy.

Poďme previesť:

Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej strany k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlej strany k susednej strane.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej strany k protiľahlej strane.

A ešte raz to všetko vo forme tabletu:

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Na dvoch stranách

II. Nohou a preponou

III. Podľa prepony a ostrého uhla

IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy boli „vhodné“. Napríklad, ak to dopadne takto:

POTOM NIE SÚ TROJUHOLNÍKY ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Potrebovať v oboch trojuholníkoch noha susedila, alebo v oboch bola opačná.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov?

Pozrite si tému „a venujte pozornosť tomu, že pre rovnosť „obyčajných“ trojuholníkov musia byť tri ich prvky rovnaké: dve strany a uhol medzi nimi, dva uhly a strana medzi nimi alebo tri strany.

Ale na rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Skvelé, však?

Situácia je približne rovnaká so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Pozdĺž ostrého uhla

II. Na dvoch stranách

III. Nohou a preponou

Medián v pravouhlom trojuholníku

prečo je to tak?

Namiesto pravouhlého trojuholníka zvážte celý obdĺžnik.

Nakreslíme uhlopriečku a uvažujme bod - priesečník uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?

A čo z toho vyplýva?

Tak sa to ukázalo

- medián:

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľa pomáha!

O to prekvapujúcejšie je, že platí aj opak.

Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián prepony sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok

Pozrite sa pozorne. Máme: , to znamená, že vzdialenosti od bodu k všetkým trom vrcholom trojuholníka sa ukázali byť rovnaké. Ale v trojuholníku je len jeden bod, ktorého vzdialenosti od všetkých troch vrcholov trojuholníka sú rovnaké, a to je STRED KRUHU. Takže, čo sa stalo?

Začnime teda týmto „okrem...“.

Pozrime sa na a.

Ale podobné trojuholníky majú všetky rovnaké uhly!

To isté možno povedať o a

Teraz to nakreslíme spolu:

Aký úžitok možno získať z tejto „trojitej“ podobnosti?

No napríklad - dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Zapíšme si vzťahy príslušných strán:

Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme prvý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

No a teraz, aplikovaním a kombinovaním týchto vedomostí s ostatnými, vyriešite akýkoľvek problém s pravouhlým trojuholníkom!

Aplikujme teda podobnosť: .

Čo sa teraz stane?

Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec:

Oba tieto vzorce si musíte veľmi dobre zapamätať a použiť ten, ktorý je pohodlnejší.

Zapíšme si ich ešte raz

Pytagorova veta:

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh: .

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

na dvoch stranách:
nohou a preponou: alebo
pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla: alebo
pozdĺž nohy a opačný ostrý uhol: alebo
podľa prepony a ostrého uhla: príp.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov:

jeden akútny roh: alebo
z proporcionality dvoch nôh:
z proporcionality nohy a prepony: príp.

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku

Sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer opačnej strany k prepone:
Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone:
Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej strany k susednej strane:
Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane: .

Výška pravouhlého trojuholníka: alebo.

V pravouhlom trojuholníku sa medián vytiahnutý z vrcholu pravého uhla rovná polovici prepony: .

Plocha pravouhlého trojuholníka:

cez nohy:

Trojuholníky.

Základné pojmy.

Trojuholník je obrazec pozostávajúci z troch segmentov a troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke.

Segmenty sú tzv strany, a body sú vrcholov.

Súčet uhlov trojuholník je 180º.

Výška trojuholníka.

Výška trojuholníka- je to kolmica vedená z vrcholu na opačnú stranu.

V ostrom trojuholníku je výška obsiahnutá v trojuholníku (obr. 1).

V pravouhlom trojuholníku sú nohy nadmorské výšky trojuholníka (obr. 2).

V tupom trojuholníku nadmorská výška siaha mimo trojuholníka (obr. 3).

Vlastnosti nadmorskej výšky trojuholníka:

Sektor trojuholníka.

Sektor trojuholníka- ide o segment, ktorý rozdeľuje roh vrcholu na polovicu a spája vrchol s bodom na opačnej strane (obr. 5).

Vlastnosti osi:

Stredná hodnota trojuholníka.

Stred trojuholníka- ide o segment spájajúci vrchol so stredom protiľahlej strany (obr. 9a).

Dĺžku mediánu možno vypočítať pomocou vzorca:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

Kde m a- medián ťahaný do strany A.

V pravouhlom trojuholníku sa medián k prepone rovná polovici prepony:

c
m c = —
2

Kde m c- medián ťahaný do prepony c(Obr. 9c)

Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode (v ťažisku trojuholníka) a delia sa týmto bodom v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. To znamená, že úsek od vrcholu k stredu je dvakrát väčší ako úsek od stredu k strane trojuholníka (obr. 9c).

Tri stredy trojuholníka ho rozdeľujú na šesť rovnakých trojuholníkov.

Stredná čiara trojuholníka.

Stredná čiara trojuholníka- ide o segment spájajúci stredy jeho dvoch strán (obr. 10).

Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s treťou stranou a rovná sa jej polovici

Vonkajší uhol trojuholníka.

Vonkajší roh trojuholníka sa rovná súčtu dvoch nesusediacich vnútorných uhlov (obr. 11).

Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako akýkoľvek nesusediaci uhol.

Správny trojuholník.

Správny trojuholník je trojuholník, ktorý má pravý uhol (obr. 12).

Strana pravouhlého trojuholníka oproti pravému uhlu sa nazýva hypotenzia.

Ďalšie dve strany sú tzv nohy.

Proporcionálne segmenty v pravouhlom trojuholníku.

1) V pravouhlom trojuholníku tvorí nadmorská výška nakreslená z pravého uhla tri podobné trojuholníky: ABC, ACH a HCB (obr. 14a). Podľa toho sa uhly, ktoré tvorí výška, rovnajú uhlom A a B.

Obr.14a

Rovnoramenný trojuholník.

Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké (obr. 13).

Tieto rovnaké strany sa nazývajú strany a tretí - základ trojuholník.

V rovnoramennom trojuholníku sú základné uhly rovnaké. (V našom trojuholníku sa uhol A rovná uhlu C).

V rovnoramennom trojuholníku je stred prikreslený k základni osou aj nadmorskou výškou trojuholníka.

Rovnostranný trojuholník.

Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké (obr. 14).

Vlastnosti rovnostranného trojuholníka:

Pozoruhodné vlastnosti trojuholníkov.

Trojuholníky majú jedinečné vlastnosti, ktoré vám pomôžu úspešne vyriešiť problémy s týmito tvarmi. Niektoré z týchto vlastností sú uvedené vyššie. Ale opakujeme ich znova a pridávame k nim niekoľko ďalších úžasných funkcií:

1) V pravouhlom trojuholníku s uhlami nôh 90º, 30º a 60º b, ležiaci oproti uhlu 30º, sa rovná polovica prepony. Nohaa viac nohyb√3 krát (obr. 15 A). Napríklad, ak noha b je 5, potom prepona c sa nevyhnutne rovná 10 a noha A rovná sa 5√3.

2) V pravouhlom rovnoramennom trojuholníku s uhlami 90º, 45º a 45º je prepona √2-krát väčšia ako noha (obr. 15 b). Napríklad, ak sú nohy 5, potom prepona je 5√2.

3) Stredná čiara trojuholníka sa rovná polovici rovnobežnej strany (obr. 15 s). Napríklad, ak je strana trojuholníka 10, potom stredná čiara rovnobežná s ňou je 5.

4) V pravouhlom trojuholníku sa medián k prepone rovná polovici prepony (obr. 9c): m c= s/2.

5) Strednice trojuholníka, pretínajúceho sa v jednom bode, sú delené týmto bodom v pomere 2:1. To znamená, že úsečka od vrcholu k priesečníku mediánov je dvakrát väčšia ako úsečka od priesečníka stredníc po stranu trojuholníka (obr. 9c)

6) V pravouhlom trojuholníku je stred prepony stredom kružnice opísanej (obr. 15 d).

Znaky rovnosti trojuholníkov.

Prvý znak rovnosti: ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovnajú dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

Druhý znak rovnosti: ak sa strana a jej priľahlé uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a jej priľahlým uhlom iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

Tretí znak rovnosti: Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

Trojuholníková nerovnosť.

V každom trojuholníku je každá strana menšia ako súčet ostatných dvoch strán.

Pytagorova veta.

V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh:

c 2 = a 2 + b 2 .

Oblasť trojuholníka.

1) Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho strany a nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu:

ach
S = ——
2

2) Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu akýchkoľvek dvoch jeho strán a sínusu uhla medzi nimi:

1
S = — AB · A.C. · hriech A
2

Trojuholník opísaný okolo kruhu.

Kruh sa nazýva vpísaný do trojuholníka, ak sa dotýka všetkými jeho stranami (obr. 16 A).

Trojuholník vpísaný do kruhu.

O trojuholníku sa hovorí, že je vpísaný do kruhu, ak sa ho dotýka všetkými svojimi vrcholmi (obr. 17 a).

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka (obr. 18).

Sinus ostrý uhol X opak nohy do prepony.
Označuje sa takto: hriechX.

Kosínus ostrý uhol X pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlé nohy do prepony.
Označuje sa takto: cos X.

Tangenta ostrý uhol X- to je pomer protiľahlej strany k susednej strane.
Označuje sa takto: tgX.

Kotangens ostrý uhol X- toto je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
Označuje sa takto: ctgX.

pravidlá:

Noha oproti rohu X, sa rovná súčinu prepony a hriechu X:

b = c hriech X

Noha susediaca s rohom X, sa rovná súčinu prepony a cos X:

a = c cos X

Noha oproti rohu X, sa rovná súčinu druhej vetvy tg X:

b = a tg X

Noha susediaca s rohom X, sa rovná súčinu druhej vetvy ctg X:

a = b· ctg X.

Pre akýkoľvek ostrý uhol X:

hriech (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = hriech X

Správny trojuholník- je to trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov rovný, to znamená 90 stupňov.

Strana oproti pravému uhlu sa nazýva prepona (na obrázku označená ako c alebo AB)
Strana susediaca s pravým uhlom sa nazýva noha. Každý pravouhlý trojuholník má dve nohy (na obrázku sú označené ako a a b alebo AC a BC)

Vzorce a vlastnosti pravouhlého trojuholníka

Označenie receptúry:

(pozri obrázok vyššie)

a, b- nohy pravouhlého trojuholníka

c- prepona

α, β - ostré uhly trojuholníka

S- námestie

h- výška znížená od vrcholu pravého uhla k prepone

m a a z opačného rohu ( α )

m b- medián ťahaný do strany b z opačného rohu ( β )

m c- medián ťahaný do strany c z opačného rohu ( γ )

IN správny trojuholník ktorákoľvek z nôh je menšia ako prepona(Formula 1 a 2). Táto nehnuteľnosť je dôsledkom Pytagorovej vety.

Kosínus ktoréhokoľvek z ostrých uhlov menej ako jeden (vzorec 3 a 4). Táto vlastnosť vyplýva z predchádzajúcej. Pretože ktorákoľvek z nôh je menšia ako prepona, pomer nohy k prepone je vždy menší ako jedna.

Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh (Pytagorova veta). (Formula 5). Táto vlastnosť sa neustále využíva pri riešení problémov.

Oblasť pravouhlého trojuholníka rovná polovici súčinu nôh (vzorec 6)

Súčet štvorcových mediánov k nohám sa rovná piatim štvorcom mediánu prepony a piatim štvorcom prepony deleným štyrmi (vzorec 7). Okrem vyššie uvedeného existuje 5 ďalších vzorcov, preto sa odporúča prečítať si aj lekciu „Medián pravého trojuholníka“, ktorá podrobnejšie popisuje vlastnosti mediánu.

Výška pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu nôh delených preponou (vzorec 8)

Štvorce nôh sú nepriamo úmerné štvorcu výšky zníženej k prepone (vzorec 9). Táto identita je tiež jedným z dôsledkov Pytagorovej vety.

Dĺžka hypotenze rovný priemeru (dvom polomerom) opísanej kružnice (vzorec 10). Prepona pravouhlého trojuholníka je priemer kružnice opísanej. Táto vlastnosť sa často používa pri riešení problémov.

Zapísaný polomer V správny trojuholník kruh možno nájsť ako polovicu výrazu vrátane súčtu ramien tohto trojuholníka mínus dĺžka prepony. Alebo ako súčin nôh delený súčtom všetkých strán (obvodu) daného trojuholníka. (Formula 11)
Sínus uhla vzťah k opaku tento uhol nohy do prepony(podľa definície sínusu). (Formula 12). Táto vlastnosť sa používa pri riešení problémov. Keď poznáte veľkosti strán, môžete nájsť uhol, ktorý zvierajú.

Kosínus uhla A (α, alfa) v pravouhlom trojuholníku sa bude rovnať postoj priľahlé tento uhol nohy do prepony(podľa definície sínusu). (Formula 13)

(ABC) a jeho vlastnosti, ktoré sú znázornené na obrázku. Pravý trojuholník má preponu - stranu, ktorá leží oproti pravému uhlu.

Tip 1: Ako zistiť výšku pravouhlého trojuholníka

Strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Na obrázku sú boky AD, DC a BD, DC- nohy a boky AC A NE- prepona.

Veta 1. V pravouhlom trojuholníku s uhlom 30° prelomí rameno oproti tomuto uhlu polovicu prepony.

AB- prepona;

AD A DВ

Trojuholník
Existuje veta:
komentárový systém CACKLE

Riešenie: 1) Uhlopriečky ľubovoľného obdĺžnika sú rovnaké, pravda 2) Ak je jeden ostrý roh, potom je tento trojuholník ostrý. Nepravda. Druhy trojuholníkov. Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky jeho tri uhly ostré, teda menšie ako 90° 3) Ak bod leží na.

Alebo v inom zázname,

Podľa Pytagorovej vety

Aký je vzorec pre výšku pravouhlého trojuholníka?

Výška pravouhlého trojuholníka

Výšku pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu možno nájsť tak či onak v závislosti od údajov v probléme.

Alebo v inom zázname,

Kde BK a KC sú projekcie nôh na preponu (segmenty, na ktoré výška rozdeľuje preponu).

Nadmorskú výšku k prepone možno nájsť cez oblasť pravouhlého trojuholníka. Ak použijeme vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka

(polovica súčinu strany a výšky nakreslenej na túto stranu) k prepone a výšky nakreslenej k prepone, dostaneme:

Odtiaľ môžeme nájsť výšku ako pomer dvojnásobku plochy trojuholníka k dĺžke prepony:

Pretože plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu nôh:

To znamená, že dĺžka výšky k prepone sa rovná pomeru súčinu nôh k prepone. Ak označíme dĺžky nôh a a b, dĺžku prepony c, vzorec môžeme prepísať ako

Pretože polomer kružnice opísanej pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici prepony, dĺžku nadmorskej výšky možno vyjadriť pomocou nôh a polomeru kružnice opísanej:

Keďže výška nakreslená k prepone tvorí ďalšie dva pravouhlé trojuholníky, jej dĺžku možno zistiť zo vzťahov v pravouhlom trojuholníku.

Z pravouhlého trojuholníka ABK

Z pravouhlého trojuholníka ACK

Dĺžka nadmorskej výšky pravouhlého trojuholníka môže byť vyjadrená pomocou dĺžok nôh. Pretože

Podľa Pytagorovej vety

Ak odmocníme obe strany rovnice:

Môžete získať ďalší vzorec na spojenie výšky pravouhlého trojuholníka s jeho nohami:

Aký je vzorec pre výšku pravouhlého trojuholníka?

Správny trojuholník. Priemerná úroveň.

Chcete si otestovať svoje sily a zistiť, aký je výsledok vašej pripravenosti na Jednotnú štátnu skúšku alebo Jednotnú štátnu skúšku?

Hlavnou vetou o pravouhlých trojuholníkoch je Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie veľmi dobrý, pozrite sa na obrázok - osviežte si svoje vedomosti

Pozrite sa, ako šikovne sme rozdelili jeho strany na dĺžky a!

Teraz spojme označené bodky

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozriete na kresbu a pomyslíte si, prečo je to tak.

Aká je plocha väčšieho námestia? Správny, . A čo menšia plocha? Určite,. Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich vzali po dvoch a opreli ich o seba preponami. Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. To znamená, že plocha „rezov“ je rovnaká.

Poďme si to teraz dať dokopy.

Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej strany k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlej strany k susednej strane.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej strany k protiľahlej strane.

A ešte raz to všetko vo forme tabletu:

Všimli ste si jednu veľmi pohodlnú vec? Pozorne si prezrite znamenie.

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

II. Nohou a preponou

III. Podľa prepony a ostrého uhla

IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy boli „vhodné“. Napríklad, ak to dopadne takto:

POTOM NIE SÚ TROJUHOLNÍKY ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Potrebovať V oboch trojuholníkoch noha susedila, alebo v oboch bola opačná.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov? Pozrite si tému „Trojuholník“ a venujte pozornosť skutočnosti, že pre zhodnosť „obyčajných“ trojuholníkov musia byť tri ich prvky rovnaké: dve strany a uhol medzi nimi, dva uhly a strana medzi nimi alebo tri strany. Ale na rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Skvelé, však?

Situácia je približne rovnaká so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

III. Nohou a preponou

Medián v pravouhlom trojuholníku

Namiesto pravouhlého trojuholníka zvážte celý obdĺžnik.

Nakreslíme uhlopriečku a uvažujme bod, v ktorom sa uhlopriečky pretínajú. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?

Priesečník uhlopriečok je rozdelený na polovicu, pričom uhlopriečky sú rovnaké.

A čo z toho vyplýva?

Tak sa to ukázalo

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľa pomáha!

O to prekvapujúcejšie je, že platí aj opak.

Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián prepony sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok

Začnime týmto „okrem toho“. "

Ale podobné trojuholníky majú všetky rovnaké uhly!

To isté možno povedať o a

Teraz to nakreslíme spolu:

Majú rovnaké ostré uhly!

Aký úžitok možno získať z tejto „trojitej“ podobnosti?

No napríklad - Dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Zapíšme si vzťahy príslušných strán:

Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme Prvý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

Ako získať druhú?

Teraz aplikujme podobnosť trojuholníkov a.

Aplikujme teda podobnosť: .

Čo sa teraz stane?

Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

Oba tieto vzorce si musíte veľmi dobre zapamätať a použiť ten, ktorý je pohodlnejší. Zapíšme si ich ešte raz

No a teraz, aplikovaním a kombinovaním týchto vedomostí s ostatnými, vyriešite akýkoľvek problém s pravouhlým trojuholníkom!

Komentáre

Distribúcia materiálov bez schválenia je povolená, ak existuje odkaz dofollow na zdrojovú stránku.

Zásady ochrany osobných údajov

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Vlastnosť výšky pravouhlého trojuholníka klesajúceho k prepone

Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu. V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Ďakujem za správu!

Váš komentár bol prijatý a po moderovaní bude zverejnený na tejto stránke.

Chcete zistiť, čo sa skrýva pod strihom a získať exkluzívne materiály o príprave na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku? Nechajte svoj email

Vlastnosti pravouhlého trojuholníka

Predstavte si pravouhlý trojuholník (ABC) a jeho vlastnosti, ktoré sú znázornené na obrázku. Pravý trojuholník má preponu - stranu, ktorá leží oproti pravému uhlu. Strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Na obrázku sú bočné strany AD, DC a BD, DC- nohy a boky AC A NE- prepona.

Znaky rovnosti pravouhlého trojuholníka:

Veta 1. Ak sú prepona a rameno pravouhlého trojuholníka podobné prepone a ramenu iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta 2. Ak sa dve ramená pravouhlého trojuholníka rovnajú dvom ramenám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta 3. Ak sú prepona a ostrý uhol pravouhlého trojuholníka podobné prepone a ostrému uhlu iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Veta 4. Ak sa rameno a priľahlý (opačný) ostrý uhol pravouhlého trojuholníka rovnajú ramenu a susednému (opačnému) ostrému uhlu iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Vlastnosti nohy oproti uhlu 30°:

Veta 1.

Výška v pravouhlom trojuholníku

V pravouhlom trojuholníku s uhlom 30° prelomí noha oproti tomuto uhlu polovicu prepony.

Veta 2. Ak sa noha v pravouhlom trojuholníku rovná polovici prepony, potom uhol oproti nej je 30°.

Ak je nadmorská výška nakreslená od vrcholu pravého uhla k prepone, potom sa takýto trojuholník rozdelí na dva menšie, podobné vychádzajúcemu a navzájom podobné. Z toho vyplývajú tieto závery:

Výška je geometrický priemer (proporcionálny priemer) dvoch segmentov prepony.
Každá vetva trojuholníka je priemer úmerný prepone a priľahlým segmentom.

V pravouhlom trojuholníku nohy fungujú ako nadmorská výška. Ortocentrum je bod, v ktorom sa vyskytuje priesečník výšok trojuholníka. Zhoduje sa s vrcholom pravého uhla postavy.

hC- výška vychádzajúca z pravého uhla trojuholníka;

AB- prepona;

AD A DВ- segmenty, ktoré vznikajú pri delení prepony výškou.

Späť na zobrazenie informácií o disciplíne "Geometria"

Trojuholník- Toto geometrický obrazec, pozostávajúce z troch bodov (vrcholov), ktoré nie sú na rovnakej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body. Pravý trojuholník je trojuholník, ktorý má jeden zo svojich uhlov 90° (pravý uhol).
Existuje veta: súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je 90°.
komentárový systém CACKLE

Kľúčové slová: trojuholník, pravý uhol, noha, prepona, Pytagorova veta, kruh

Trojuholník sa nazýva pravouhlý ak má pravý uhol.
Pravouhlý trojuholník má dve na seba kolmé strany tzv nohy; jeho tretia strana je tzv hypotenzia.

Podľa vlastností kolmice a šikminy je prepona dlhšia ako každá z nôh (ale menšia ako ich súčet).
Súčet dvoch ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka sa rovná pravému uhlu.
Dve výšky pravouhlého trojuholníka sa zhodujú s jeho nohami. Preto jeden zo štyroch pozoruhodných bodov padá na vrcholy pravého uhla trojuholníka.
Stred kružnice pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony.
Medián pravouhlého trojuholníka vedeného od vrcholu pravého uhla k prepone je polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku.

Uvažujme ľubovoľný pravouhlý trojuholník ABC a nakreslite výšku CD = hc z vrcholu C jeho pravého uhla.

Rozdelí daný trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky ACD a BCD; každý z týchto trojuholníkov má spoločný ostrý uhol s trojuholníkom ABC, a preto je podobný trojuholníku ABC.

Všetky tri trojuholníky ABC, ACD a BCD sú si navzájom podobné.

Z podobnosti trojuholníkov sú určené nasledujúce vzťahy:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pytagorova veta jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka.

Geometrické zloženie. V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách.

Algebraická formulácia. V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh.
To znamená, že dĺžku prepony trojuholníka označíme c a dĺžky nôh a a b:
a2 + b2 = c2

Obrátiť Pytagorovu vetu.

Výška pravouhlého trojuholníka

Pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c také, že
a2 + b2 = c2,
Existuje pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponou c.

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

pozdĺž nohy a hypotenzie;
na dvoch nohách;
pozdĺž nohy a ostrého uhla;
pozdĺž prepony a ostrého uhla.

Pozri tiež:
Plocha trojuholníka, rovnoramenný trojuholník, rovnostranný trojuholník

Geometria. 8 Trieda. Test 4. Možnosť 1 .

AD : CD = CD : B.D. Preto CD2 = AD ∙ B.D. Hovoria:

AD : AC = AC : AB. Preto AC2 = AB ∙ A.D. Hovoria:

BD : BC = BC : AB. Preto BC2 = AB ∙ B.D.

Riešiť problémy:

A) 70 cm; B) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Výška pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu rozdeľuje preponu na segmenty 9 a 36.

Určte dĺžku tejto výšky.

A) 22,5; B) 19; c) 9; D) 12; E) 18.

A) 30,25; B) 24,5; c) 18,45; D) 32; E) 32,25.

A) 25; B) 24; c) 27; D) 26; E) 21.

A) 8; B) 7; c) 6; D) 5; E) 4.

8. Noha pravouhlého trojuholníka je 30.

Ako zistiť výšku v pravouhlom trojuholníku?

Nájdite vzdialenosť od vrcholu pravého uhla k prepone, ak polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku je 17.

A) 17; B) 16; c) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; c) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; c) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; c) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Skontrolujte odpovede!

G8.04.1. Proporcionálne segmenty v pravouhlom trojuholníku

Geometria. 8 Trieda. Test 4. Možnosť 1 .

V Δ ABC ∠ACV = 90°. AC a BC nohy, AB prepona.

CD je nadmorská výška trojuholníka prikresleného k prepone.

AD projekcia AC nohy na preponu,

BD projekcia nohy BC na preponu.

Nadmorská výška CD rozdeľuje trojuholník ABC na dva trojuholníky jemu podobné (a navzájom): Δ ADC a Δ CDB.

Z proporcionality strán podobných Δ ADC a Δ CDB vyplýva:

AD : CD = CD : B.D.

Vlastnosť výšky pravouhlého trojuholníka klesajúceho k prepone.

Preto CD2 = AD ∙ B.D. Hovoria: výška pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu,je priemerná proporcionálna hodnota medzi projekciami nôh na preponu.

Z podobnosti Δ ADC a Δ ACB vyplýva:

AD : AC = AC : AB. Preto AC2 = AB ∙ A.D. Hovoria: každé rameno je priemerná proporcionálna hodnota medzi celou preponou a projekciou tohto ramena na preponu.

Podobne z podobnosti Δ CDB a Δ ACB vyplýva:

BD : BC = BC : AB. Preto BC2 = AB ∙ B.D.

Riešiť problémy:

1. Nájdite výšku pravouhlého trojuholníka nakresleného k prepone, ak delí preponu na segmenty 25 cm a 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Výška pravouhlého trojuholníka vedeného k prepone rozdeľuje preponu na segmenty 9 a 36. Určte dĺžku tejto nadmorskej výšky.

A) 22,5; B) 19; c) 9; D) 12; E) 18.

4. Nadmorská výška pravouhlého trojuholníka k prepone je 22, priemet jednej nohy je 16. Nájdite priemet druhej nohy.

A) 30,25; B) 24,5; c) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Úsek pravouhlého trojuholníka je 18 a jeho priemet do prepony je 12. Nájdite preponu.

A) 25; B) 24; c) 27; D) 26; E) 21.

6. Prepona sa rovná 32. Nájdite stranu, ktorej priemet na preponu sa rovná 2.

A) 8; B) 7; c) 6; D) 5; E) 4.

7. Prepona pravouhlého trojuholníka je 45. Nájdite stranu, ktorej priemet na preponu je 9.

8. Rameno pravouhlého trojuholníka je 30. Nájdite vzdialenosť od vrcholu pravého uhla k prepone, ak polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku je 17.

A) 17; B) 16; c) 15; D) 14; E) 12.

10. Prepona pravouhlého trojuholníka je 41 a priemet jednej z ramien je 16. Nájdite dĺžku nadmorskej výšky nakreslenej od vrcholu pravého uhla k prepone.

A) 15; B) 18; c) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; c) 64; D) 81; E) 75.

12. Rozdiel v priemete nôh na preponu je 15 a vzdialenosť od vrcholu pravého uhla k prepone je 4. Nájdite polomer kružnice opísanej.

A) 7,5; B) 8; c) 6,25; D) 8,5; E) 7.