Snímka 3
Pravidelné polygóny
Snímka 4
"Tri vlastnosti: rozsiahle vedomosti, zvyk myslenia a ušľachtilosť citov sú nevyhnutné na to, aby sa človek vzdelával v plnom zmysle slova." N.G. Chernyshevsky
Snímka 5
Snímka 6
Šimonovský kláštor
Snímka 7
Vieš?
Ktoré geometrické obrazce už sme študovali? Aké sú ich prvky? Aký tvar sa nazýva mnohouholník? Aký najmenší počet strán môže mať mnohouholník? Ktorý mnohouholník sa nazýva konvexný? Zobrazte na obrázku konvexné a nekonvexné polygóny. Vysvetlite, aké uhly sa nazývajú uhly konvexného mnohouholníka, vonkajšie uhly. Aký vzorec sa používa na výpočet súčtu uhlov konvexného mnohouholníka? Aký je obvod mnohouholníka?
Snímka 8
Krížovky: Strany, uhly a vrcholy mnohouholníka? Ako sa nazýva mnohouholník s rovnakými stranami a uhlami? 3.Ako sa volá obrazec, ktorý možno rozdeliť na konečný počet trojuholníkov? 4.Časť kruhu? 5. Hranica mnohouholníka? 6.Prvok kruhu? 7. Polygónový prvok? 8. Kruhová hranica? 9.Mnohouholník s najmenším počtom strán? 10.Uhol, ktorého vrchol je v strede kružnice? 11.Iný typ uhla kružnice? 12.Súčet dĺžok strán mnohouholníka? 13.Mnohouholník, ktorý je v jednej polrovine vzhľadom na priamku obsahujúcu niektorú z jeho strán?
Snímka 9
Snímka 10
Snímka 11
Akú hodnotu má každý z uhlov pravidelného a) desaťuholníka; b) n-uholník.
Snímka 12
Uhol pravidelného n-uholníka
Snímka 13
Snímka 14
Praktická práca. 1. Sedem kupolová veža Bieleho mesta mala v pôdoryse pravidelný šesťuholník, ktorého všetky strany sú rovné 14 m. Nakreslite pôdorys tejto veže. 2. Zmerajte uhol AOB. Aká časť jeho hodnoty je hodnotou celkového uhla O? Ako môžete vypočítať veľkosť tohto uhla, keď poznáte počet strán mnohouholníka? 3.Zmerajte uhol CAK - vonkajší uhol mnohouholníka. Vypočítajte súčet vonkajšieho uhla CAK a vnútorného uhla CAB. Prečo súčet týchto uhlov vždy tvorí 180°? Aký je súčet vonkajších uhlov pravidelného šesťuholníka v každom vrchole?
Snímka 15
Snímka 16
Priemer základne veže Dulo je 16m. Nakreslite plán základne 16-strannej veže, pričom pri konštrukcii použite uhol, pod ktorým je strana mnohouholníka viditeľná zo stredu kruhu. Vypočítajte vnútorné a vonkajšie uhly tohto 16-uholníka. Aký je súčet vonkajších uhlov pravidelného 16-uholníka v každom vrchole? Aký je súčet vonkajších uhlov pravidelného n-uholníka v každom vrchole? č. 1082, 1083.
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Mnohosten je teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov.
Pravidelné mnohosteny
Koľko pravidelných mnohostenov existuje? - Ako sa určujú, aké majú vlastnosti? -Kde sa nachádzajú, majú praktické využitie?
Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho steny rovnaké pravidelné polygóny a rovnaký počet hrán sa zbieha v každom z jeho vrcholov.
"hedra" - tvár "tetra" - štyri hexy - šesť "okta" - osem "dodeca" - dvanásť "icosas" - dvadsať Názvy týchto mnohostenov pochádzajú zo starovekého Grécka a je v nich uvedený počet tvárí.
Názov pravidelného mnohostena Typ plochy Počet vrcholov hrán plôch zbiehajúcich sa v jednom vrchole Tetrahedron Pravidelný trojuholník 4 6 4 3 Osemsten Pravidelný trojuholník 6 12 8 4 Dvanásťsten Pravidelný trojuholník 12 30 20 5 Kocka (šesťsten) Štvorec 3 12 6 Dvanásťsten Pravidelný päťuholník 20 30 12 3 Údaje o pravidelných mnohostenoch
Otázka (problém): Koľko je pravidelných mnohostenov? Ako nastaviť ich počet?
α n = (180 °(n -2)): n V každom vrchole mnohostenu sú najmenej tri rovinné uhly a ich súčet musí byť menší ako 360 °. Tvar stien Počet stien v jednom vrchole Súčet rovinných uhlov vo vrchole mnohostena Záver o existencii mnohostena α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 a = 3
L. Carroll
Veľkí matematici staroveku Archimedes Euclid Pytagoras
Staroveký grécky vedec Platón podrobne opísal vlastnosti pravidelných mnohostenov. Pravidelné mnohosteny sa preto nazývajú platónske telesá
štvorsten - ohnivá kocka - zemský osemsten - vzdušný dvadsaťsten - vodný dvanásťsten - vesmír
Mnohosteny vo vedách o vesmíre a Zemi
Johannes Kepler (1571-1630) – nemecký astronóm a matematik. Jeden zo zakladateľov modernej astronómie - objavil zákony pohybu planét (Keplerove zákony)
Kepler Cup Cosmic
"Ekosahedrón - dodekaedrická štruktúra Zeme"
Mnohosten v umení a architektúre
Albrecht Durer (1471-1528) "Melanchólia"
Salvador Dalí "Posledná večera"
Moderné architektonické štruktúry vo forme mnohostenov
Alexandrijský maják
Tehla mnohosten od švajčiarskeho architekta
Moderná budova v Anglicku
Mnohosteny v prírode FEODARIA
Pyrit (sírový pyrit) Monokryštál kamenca draselného Kryštály červenej medenej rudy PRÍRODNÉ KRYŠTÁLY
Kuchynská soľ pozostáva z kryštálov v tvare kocky.Minerál sylvit má tiež kryštálovú mriežku v tvare kocky. Molekuly vody majú tvar štvorstenu. Minerál kuprit tvorí kryštály v tvare osemstenov. Pyritové kryštály majú tvar dvanástnika
Diamant Vo forme oktaénu kryštalizuje diamant, chlorid sodný, fluorit, olivín a ďalšie látky.
Historicky prvou rezanou formou, ktorá sa objavila v 14. storočí, bol osemsten. Diamond Shah Hmotnosť diamantu 88,7 karátov
Úloha Anglická kráľovná dala pokyny na prerezanie diamantu pozdĺž okrajov zlatou niťou. Rezanie sa však neuskutočnilo, pretože klenotník nedokázal vypočítať maximálnu dĺžku zlatého vlákna a samotný diamant mu nebol ukázaný. Klenotníkovi boli oznámené tieto údaje: počet vrcholov B = 54, počet plôch D = 48, dĺžka najväčšej hrany L = 4 mm. Nájdite maximálnu dĺžku zlatej nite.
Pravidelný mnohosten Počet plôch Vrcholy Hrany Tetrahedron 4 4 6 Kocka 6 8 12 Osemsten 8 6 12 Dvadsaťsten 12 20 30 Dvojsten 20 12 30 Výskum"Eulerov vzorec"
Eulerova veta. Pre ľubovoľný konvexný mnohosten B + G - 2 = P, kde B je počet vrcholov, G je počet plôch, P je počet hrán tohto mnohostenu.
FYZICKÁ MINÚTA!
Úloha Nájdite uhol medzi dvoma hranami pravidelného osemstenu, ktoré majú spoločný vrchol, ale nepatria k tej istej ploche.
Úloha Nájdite výšku pravidelného štvorstenu s hranou 12 cm.
Kryštál má tvar osemstenu pozostávajúceho z dvoch pravidelné pyramídy so spoločnou základňou je okraj základne pyramídy 6 cm. Výška osemstenu je 8 cm. Nájdite bočnú plochu kryštálu
Povrchová plocha Tetrahedron Icosahedron Dvadsaťsten Hexahedron Osemsten
Zadanie domácej úlohy: mnogogranniki.ru Pomocou vývoja vytvorte modely 1. pravidelného mnohostenu so stranou 15 cm, 1. polopravidelného mnohostenu
Dakujem za radu!
Snímka 1
Snímka 2
Definícia pravidelného mnohouholníka. Pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky strany a všetky (vnútorné) uhly rovnaké.
Snímka 3
Snímka 4
Kruh opísaný okolo pravidelného mnohouholníka. Veta: okolo akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka môžete opísať kružnicu a iba jednu. Kruh sa nazýva opísaný okolo mnohouholníka, ak všetky jeho vrcholy ležia na tejto kružnici.
Snímka 5
Kruh vpísaný do pravidelného mnohouholníka. Kruh sa nazýva vpísaný do mnohouholníka, ak sa všetky strany mnohouholníka dotýkajú kruhu. Veta: Kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka a iba do jedného.
Snímka 6
Nech A1 A 2 ...A n je pravidelný mnohouholník, O stred kružnice opísanej. Pri dokazovaní vety 1 sme zistili, že ∆ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1, preto sú aj výšky týchto trojuholníkov nakreslených z vrcholu O rovnaké. Preto kružnica so stredom O a polomerom OH prechádza bodmi H1, H2, Hn a dotýka sa strán mnohouholníka v týchto bodoch, t.j. kružnica je vpísaná do daného mnohouholníka. Dané: ABCD…An je pravidelný mnohouholník. Dokážte: do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka môžete vpísať kruh a iba jeden.
Snímka 7
Dokážme, že existuje len jeden vpísaný kruh. Predpokladajme, že existuje ďalšia kružnica so stredom O a polomerom OA. Potom je jeho stred rovnako vzdialený od strán mnohouholníka, t.j. bod O1 leží na každej z priesečníkov rohov mnohouholníka, a preto sa zhoduje s bodom O priesečníka týchto priesečníkov.
Snímka 8
A D B C O Dané: ABCD…An je pravidelný mnohouholník. Dokážte: okolo akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka môžete nakresliť kruh a iba jeden. Dôkaz: Narysujme osi BO a СО rovnakých uhlov ABC a BCD. Budú sa pretínať, pretože rohy mnohouholníka sú konvexné a každý z nich je menší ako 180⁰. Ich priesečník nech je O. Potom nakreslením úsečiek OA a OD získame ΔBOA, ΔBOC a ΔСOD. ΔBOA = ΔBOS podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov (VO - všeobecný, AB = BC, uhol 2 = uhol 3). Podobne ako ΔBOS=ΔCOD. 1 2 3 4 Pretože uhol 2 = uhol 3 ako polovice rovnakých uhlov, potom ΔВOC je rovnoramenný. Tento trojuholník sa rovná ΔBOA a ΔCOD => sú tiež rovnoramenné, čo znamená OA=OB=OC=OD, t.j. body A, B, C a D sú rovnako vzdialené od bodu O a ležia na kružnici (O; OB). Podobne aj ostatné vrcholy mnohouholníka ležia na tej istej kružnici.
Snímka 9
Dokážme teraz, že existuje len jeden opísaný kruh. Uvažujme nejaké tri vrcholy mnohouholníka, napríklad A, B, C. Pretože. Týmito bodmi prechádza len jedna kružnica, potom sa dá opísať len jedna kružnica okolo mnohouholníka ABC...An. o A B C D
Snímka 10
Dôsledky. Dôsledok č. 1 Kruh vpísaný do pravidelného mnohouholníka sa dotýka strán mnohouholníka v ich stredoch. Dôsledok č. 2 Stred kružnice opísanej okolo pravidelného mnohouholníka sa zhoduje so stredom kružnice vpísanej do toho istého mnohouholníka.
Snímka 11
Vzorec na výpočet plochy pravidelného mnohouholníka. Nech S je plocha pravidelného n-uholníka, a1 jeho strana, P obvod a r a R polomery vpísanej a opísanej kružnice. Dokážme to
Snímka 12
Ak to chcete urobiť, spojte stred tohto mnohouholníka s jeho vrcholmi. Potom sa polygón rozdelí na n rovnakých trojuholníkov, pričom plocha každého z nich sa rovná Preto,
Snímka 13
Vzorec na výpočet strany pravidelného mnohouholníka. Odvoďme vzorce: Na odvodenie týchto vzorcov použijeme obrázok. IN správny trojuholníkА1Н1О O А1 А2 А3 Аn H2 H1 Hn H3 Preto,
Snímka 14
Ak do vzorca vložíme n = 3, 4 a 6, dostaneme výrazy pre strany pravidelného trojuholníka, štvorca a pravidelného šesťuholníka:
Snímka 15
Úloha č. 1 Daná: kružnica(O; R) Zostrojte pravidelný n-uholník. Kruh rozdelíme na n rovnakých oblúkov. Za týmto účelom nakreslite polomery OA1, OA2,..., OAn tejto kružnice tak, aby uhol A1OA2= uhol A2OA3 =...= uhol An-1OAn= uhol AnOA1= 360°/n (n=8 na obrázku ). Ak teraz nakreslíme úsečky A1A2, A2A3,..., Аn-1Аn, АnА1, dostaneme n-uholník A1A2...Аn. Trojuholníky A1OA2, A2OA3,..., AnOA1 sú si navzájom rovné, preto A1A2= A2A3=...= An-1Аn= AnA1. Z toho vyplýva, že A1A2…An je pravidelný n-uholník. Konštrukcia pravidelných polygónov.
Snímka 16
Úloha č. 2 Daná: A1, A2...Аn - pravidelný n-uholník Zostrojte pravidelné 2n-uholníkové Riešenie. Nakreslíme okolo neho kruh. Aby sme to dosiahli, zostrojíme osy uhlov A1 a A2 a označíme ich priesečník písmenom O. Potom nakreslíme kružnicu so stredom O s polomerom OA1. Oblúky A1A2, A2A3..., An A1 rozdeľte na polovicu a pripojte každý z deliacich bodov B1, B2, ..., Bn segmentmi na konce zodpovedajúceho oblúka. Na zostrojenie bodov B1, B2, ..., Bn môžete použiť kolmicu na strany daného n-uholníka. Na obrázku je týmto spôsobom skonštruovaný pravidelný dvanásťuholník A1 B1 A2 B2 ... A6 B6.
Lekcia na tému "Pravidelné polygóny"
Ciele lekcie:
vzdelávacie: oboznámiť študentov s pojmom a typmi pravidelných mnohouholníkov s niektorými ich vlastnosťami; naučiť ich používať vzorec na výpočet uhla pravidelného mnohouholníka
- vyvíja:
- vzdelávacie:
Priebeh lekcie:
1. Organizačný moment
Motto lekcie:
K poznaniu vedú tri cesty:
čínsky filozof a mudrc Konfucius.
2. Motivácia hodiny.
Vážení chlapci!
Dúfam, že táto lekcia bude zaujímavá a bude pre každého veľkým prínosom. Naozaj chcem, aby tí, ktorým je kráľovná všetkých vied stále ľahostajná, odchádzali z našej hodiny s hlbokým presvedčením, že geometria je zaujímavý a potrebný predmet.
Francúzsky spisovateľ z 19. storočia Anatole France raz poznamenal: „Učiť sa môžete len zábavou... Ak chcete stráviť vedomosti, musíte ich absorbovať s chuťou.“
Riadme sa radou spisovateľa v dnešnej lekcii: buďte aktívni, pozorní a horlivo nasávajte poznatky, ktoré sa vám budú hodiť v neskoršom veku.
3. Aktualizácia základných vedomostí.
Frontálny prieskum:
Aké sú ich prvky?
Pohľady mnohouholníka
4. Štúdium nového materiálu.
Medzi množstvom rôznych geometrických tvarov na rovine vyniká veľká rodina POLYGÓNOV.
Názvy geometrických útvarov majú veľmi špecifický význam. Pozrite sa pozorne na slovo „polygón“ a povedzte, z ktorých častí pozostáva. Slovo „polygón“ znamená, že všetky postavy v tejto rodine majú „mnoho uhlov“.
Namiesto časti „veľa“ dosaďte do slova „polygón“ konkrétne číslo, napríklad 5. Získate PENTAGÓN. Alebo 6. Potom – HEXAGON. Všimnite si, že existuje toľko uhlov, koľko je strán, takže tieto čísla by sa dali nazvať polylaterálne.
Na obrázku sú geometrické tvary. Pomocou nákresu pomenujte tieto tvary.
Definícia.Pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky uhly rovnaké a všetky strany sú rovnaké.
Niektoré pravidelné mnohouholníky už poznáte – rovnostranný trojuholník (pravidelný trojuholník), štvorec (pravidelný štvoruholník).
Zoznámime sa s niektorými vlastnosťami, ktoré majú všetky pravidelné mnohouholníky.
Súčet uhlov mnohouholníka
n – počet strán
n-2 - počet trojuholníkov
Súčet uhlov jedného trojuholníka je 180º, vynásobený počtom trojuholníkov n -2, dostaneme S= (n-2)*180. 
S=(n-2)*180
Vzorec na výpočet uhla x pravidelného mnohouholníka
.
Odvoďme vzorec na výpočet uhol x pravidelného n-uholníka.
V pravidelnom mnohouholníku sú všetky uhly rovnaké, vydelíme súčet uhlov počtom uhlov, dostaneme vzorec:
x = (n-2)*180/n
5. Konsolidácia nového materiálu.
Riešenie č. 179, 181, 183(1), 184.
Bez otáčania hlavy sa rozhliadnite po obvode steny triedy v smere hodinových ručičiek, tabuľu pozdĺž obvodu proti smeru hodinových ručičiek, trojuholník zobrazený na stojane v smere hodinových ručičiek a trojuholník, ktorý sa mu rovná proti smeru hodinových ručičiek. Otočte hlavu doľava a pozrite sa na líniu horizontu a teraz na špičku nosa. Zavri oči, napočítaj do 5, otvor oči a...
Priložíme si dlane k očiam,
Rozložíme pevné nohy.
Odbočenie doprava
Majestátne sa rozhliadneme okolo seba.
A tiež musíte ísť doľava
Pozrite sa spod dlaní.
A - doprava! A ďalej
Cez ľavé rameno!
Teraz pokračujme v práci.
7. Samostatná práca žiakov.
Rozhodnite č. 183 ods.
8. Zhrnutie lekcie. Reflexia. D/z.
Čo si z hodiny najviac pamätáš?
Čo ťa prekvapilo?
Čo sa vám najviac páčilo?
Ako chcete, aby vyzerala ďalšia lekcia?
D/z. Naučte sa krok 6. Riešenie č. 180, 182 185.
Kreatívna úloha:
internet :
Zobraziť obsah prezentácie
"pravidelné polygóny"
- - vzdelávacie: oboznámiť študentov s pojmom a typmi pravidelných mnohouholníkov a niektorými ich vlastnosťami; naučiť, ako používať vzorec na výpočet uhla pravidelného mnohouholníka
- - vyvíja: rozvoj kognitívnej činnosti, priestorovej predstavivosti, schopnosť zvoliť si správne riešenie, stručne vyjadriť svoje myšlienky, analyzovať a vyvodzovať závery.
- - vzdelávacie: pestovanie záujmu o predmet, schopnosť pracovať v tíme, kultúra komunikácie.
Motto lekcie:
K poznaniu vedú tri cesty:
Cesta reflexie je najušľachtilejšia cesta;
Cesta napodobňovania je najľahšia cesta;
Cesta zážitku je tá najtrpkejšia cesta.
Čínsky filozof a mudrc
Konfucius.
- Aké geometrické tvary sme už študovali?
- Aké sú ich prvky?
- Aký tvar sa nazýva mnohouholník?
- Pohľady mnohouholníka
- Aký je obvod mnohouholníka?
- Aký je súčet vnútorných uhlov mnohouholníka?
Nesprávne Správne polygóny
- Konvexný mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho uhly rovnaké a všetky strany sú rovnaké
Vlastnosti pravidelných mnohouholníkov
Súčet uhlov
mnohouholník
n – počet strán n-2 – počet trojuholníkov Súčet uhlov jedného trojuholníka je 180º, 180º vynásobený počtom trojuholníkov (n-2), dostaneme S= (n-2)*180.
Vzorec na výpočet správneho uhla P - námestie
V pravo P- v štvorci sú všetky uhly rovnaké, vydeľte súčet uhlov počtom uhlov, dostaneme vzorec:
A n =(n-2)*180/n
Test Vyberte čísla správnych výrokov.
- Konvexný mnohouholník je pravidelný, ak sú všetky jeho strany rovnaké.
- Každý pravidelný mnohouholník je konvexný.
- Každý štvoruholník s rovnakými stranami je pravidelný.
- Trojuholník je pravidelný, ak sú všetky jeho uhly rovnaké.
- Každý rovnostranný trojuholník je pravidelný.
- Akýkoľvek konvexný mnohouholník je pravidelný.
- Každý štvoruholník s rovnakými uhlami je pravidelný.
Samostatná práca
A P =(n-2)*180/n
A 3 =(3-2)*180/3= 180/3= 60
č. 1079 (ústne), č. 1081 (b, d), č. 1083 (b)
Kreatívna úloha:
*Historické informácie o pravidelných polygónoch. Možné dopyty pre webový vyhľadávač internet :
- Polygóny v Pytagoriovej škole. Konštrukcia polygónov, Euklides. Pravidelné mnohouholníky, Claudius Ptolemaios.
- Polygóny v Pytagoriovej škole.
- Konštrukcia polygónov, Euklides.
- Pravidelné mnohouholníky, Claudius Ptolemaios.
Z histórie Z histórie Pravidelné mnohouholníky sú známe už od staroveku. V egyptských a babylonských starovekých pamiatkach sa pravidelné štvoruholníky, šesťuholníky a osemuholníky nachádzajú vo forme obrazov na stenách a dekoráciách vytesaných do kameňa. Starovekí grécki vedci začali prejavovať veľký záujem o pravidelné mnohouholníky už od čias Pytagora. Doktrína pravidelných mnohouholníkov bola systematizovaná a prezentovaná v knihe 4 Euclid's Elements.
PRAVIDELNÝ POLYHEDRON PLATÓNSKE telesá: štvorsten – „oheň“ kocka – „zem“ osemsten – „vzduch“ dvanásťsten – „celý svet“ dvadsaťsten – „voda“
PRAVIDELNÉ POLYGÓNY V PRÍRODE PRAVIDELNÉ POLYGÓNY V PRÍRODE V prírode sa nachádzajú pravidelné mnohouholníky. Jedným príkladom je plást, čo je obdĺžnik pokrytý pravidelnými šesťuholníkmi. Na týchto šesťuholníkoch včely pestujú bunky z vosku, ktoré sú priamymi šesťhrannými hranolmi. Včely do nich ukladajú med a potom ich opäť prikryjú pevným obdĺžnikom z vosku.
Zdroje informácií: Detská encyklopédia „Skúmam svet“ Matematika, Moskva, AST, 1998. ru.wikipedia.org/wiki/History of Mathematics A.I.Azevich Dvadsať lekcií harmónie: humanitný a matematický kurz. - M.: Shkola-Press, 1998.
