Celková plocha bočného povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch jej bočných plôch.
V štvorhrannej pyramíde sú dva typy plôch - štvoruholník na základni a trojuholníky so spoločným vrcholom, ktoré tvoria bočnú plochu.
Najprv musíte vypočítať plochu bočných plôch. Na tento účel môžete použiť vzorec pre plochu trojuholníka alebo môžete použiť aj vzorec pre plochu štvoruholníkovej pyramídy (iba ak je mnohosten pravidelný). Ak je pyramída pravidelná a je známa dĺžka hrany a základne a apotéma h k nej nakreslená, potom:
Ak je podľa podmienok daná dĺžka hrany c pravidelnej pyramídy a dĺžka strany základne a, potom môžete zistiť hodnotu pomocou nasledujúceho vzorca: 
Ak je uvedená dĺžka hrany pri základni a protiľahlej ostrý roh vo vrchole sa potom plocha bočného povrchu môže vypočítať pomerom štvorca strany a k dvojitému kosínusu polovice uhla α: 
Uvažujme o príklade výpočtu povrchovej plochy štvorhrannej pyramídy cez bočnú hranu a stranu základne.
Problém: Nech je daný pravidelný štvoruholníkový ihlan. Dĺžka hrany b = 7 cm, dĺžka základnej strany a = 4 cm. Uvedené hodnoty dosaďte do vzorca:
Ukázali sme výpočty plochy jednej bočnej steny pre pravidelnú pyramídu. Respektíve. Ak chcete nájsť plochu celého povrchu, musíte výsledok vynásobiť počtom plôch, to znamená 4. Ak je pyramída ľubovoľná a jej plochy sa navzájom nerovnajú, je potrebné vypočítať plochu pre každú jednotlivú stranu. Ak je základom obdĺžnik alebo rovnobežník, potom stojí za to pamätať ich vlastnosti. Strany týchto obrázkov sú v pároch rovnobežné, a teda aj strany pyramídy budú v pároch identické.
Vzorec pre oblasť základne štvorhrannej pyramídy priamo závisí od toho, ktorý štvoruholník leží na základni. Ak je pyramída správna, potom sa plocha základne vypočíta pomocou vzorca, ak je základňa kosoštvorec, budete si musieť zapamätať, ako sa nachádza. Ak je na základni obdĺžnik, nájdenie jeho oblasti bude celkom jednoduché. Stačí poznať dĺžky strán základne. Uvažujme o príklade výpočtu plochy základne štvorhrannej pyramídy.
Úloha: Nech je daná pyramída, na základni ktorej leží obdĺžnik so stranami a = 3 cm, b = 5 cm, z vrcholu pyramídy na každú zo strán sa spustí apotém. h-a = 4 cm, h-b = 6 cm Vrch pyramídy leží na tej istej priamke ako priesečník uhlopriečok. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Vzorec pre oblasť štvorhrannej pyramídy pozostáva zo súčtu plôch všetkých plôch a plochy základne. Najprv nájdime oblasť základne: 
Teraz sa pozrime na strany pyramídy. V pároch sú totožné, pretože výška pyramídy pretína priesečník uhlopriečok. To znamená, že v našej pyramíde sú dva trojuholníky so základňou a výška h-a, ako aj dva trojuholníky so základňou b a výška h-b. Teraz nájdime oblasť trojuholníka pomocou známeho vzorca: 
Teraz urobme príklad výpočtu plochy štvorhrannej pyramídy. V našej pyramíde s obdĺžnikom na základni by vzorec vyzeral takto:
je postava, ktorej základňa je ľubovoľný mnohouholník a bočné strany sú znázornené trojuholníkmi. Ich vrcholy ležia v rovnakom bode a zodpovedajú vrcholu pyramídy.
Pyramída môže byť rôznorodá - trojuholníková, štvoruholníková, šesťuholníková atď. Jeho názov možno určiť v závislosti od počtu uhlov susediacich so základňou.
Správna pyramída nazývaná pyramída, v ktorej sú strany základne, uhly a hrany rovnaké. Aj v takejto pyramíde bude plocha bočných plôch rovnaká.
Vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy je súčtom plôch všetkých jej plôch:
To znamená, že na výpočet plochy bočného povrchu ľubovoľnej pyramídy musíte nájsť plochu každého jednotlivého trojuholníka a spočítať ich. Ak je pyramída skrátená, potom sú jej strany reprezentované lichobežníkmi. Existuje ďalší vzorec pre pravidelnú pyramídu. V ňom sa plocha bočného povrchu vypočíta cez polobvod základne a dĺžku apotému:
Uvažujme o príklade výpočtu plochy bočného povrchu pyramídy.
Nech je daná pravidelná štvoruholníková pyramída. Základná strana b= 6 cm, apotém a= 8 cm. Nájdite plochu bočného povrchu.
Na základni pravidelnej štvorbokej pyramídy je štvorec. Najprv nájdime jeho obvod:
Teraz môžeme vypočítať plochu bočného povrchu našej pyramídy: 
Aby ste našli celkovú plochu mnohostenu, musíte nájsť plochu jeho základne. Vzorec pre oblasť základne pyramídy sa môže líšiť v závislosti od toho, ktorý polygón leží na základni. Na tento účel použite vzorec pre oblasť trojuholníka, oblasť rovnobežníka atď.
Zvážte príklad výpočtu plochy základne pyramídy danej našimi podmienkami. Keďže pyramída je pravidelná, na jej základni je štvorec.
Štvorcová plocha vypočítané podľa vzorca: ,
kde a je strana štvorca. Pre nás je to 6 cm. To znamená, že plocha základne pyramídy je: 
Teraz zostáva len nájsť celkovú plochu mnohostenu. Vzorec pre oblasť pyramídy pozostáva zo súčtu plochy jej základne a bočného povrchu.
Definícia. Bočný okraj- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).
Definícia. Bočné rebrá- to sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko uhlov má mnohouholník.
Definícia. Výška pyramídy- toto je kolmica spustená zhora k základni pyramídy.
Definícia. Apothem- je to kolmica na bočnú plochu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.
Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.
Definícia. Správna pyramída je pyramída, v ktorej je základňa pravidelný mnohouholník a výška klesne do stredu základne.
Objem a povrch pyramídy
Vzorec. Objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:
Vlastnosti pyramídy
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom je možné okolo základne pyramídy nakresliť kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom sú naklonené k rovine základne v rovnakých uhloch.
Bočné hrany sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly s rovinou základne alebo ak je možné okolo základne pyramídy opísať kruh.
Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom je možné do základne pyramídy vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.
Ak sú bočné plochy naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.
Vlastnosti pravidelnej pyramídy
1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.
2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.
3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.
4. Apotémy všetkých bočných stien sú rovnaké.
5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.
6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.
7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.
8. Do pyramídy môžete vložiť guľu. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.
9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet rovinných uhlov vo vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π/n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.
Spojenie medzi pyramídou a guľou
Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy je mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.
Vždy je možné opísať guľu okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.
Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.
Spojenie pyramídy s kužeľom
Kužeľ sa hovorí, že je vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.
Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy navzájom rovnaké.
Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.
Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.
Vzťah medzi pyramídou a valcom
Pyramída sa nazýva vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.
Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak je možné opísať kruh okolo základne pyramídy.
Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.
Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojuholníkový uhol.
Segment spájajúci vrchol štvorstena so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).
Bimedián nazývaný segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).
Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány sú rozdelené v pomere 3: 1, začínajúc zhora.
Definícia. Akútna uhlová pyramída- pyramída, v ktorej má apotéma viac ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Tupá pyramída- pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Pravidelný štvorsten- štvorsten, v ktorom sú všetky štyri steny rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných polygónov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.
Definícia. Obdĺžnikový štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom medzi tromi hranami na vrchole je pravý uhol (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojuholníkový uhol a okraje sú pravouhlé trojuholníky a základňou je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.
Definícia. Izoedrický štvorsten sa nazýva štvorsten, ktorého bočné strany sú si navzájom rovné a základňa je pravidelný trojuholník. Takýto štvorsten má steny, ktoré sú rovnoramennými trojuholníkmi.
Definícia. Ortocentrický štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.
Definícia. Hviezdna pyramída nazývaný mnohosten, ktorého základňou je hviezda.
Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.
Všetka potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, úskalia a tajomstvá jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.
Pred štúdiom otázok o tomto geometrickom útvare a jeho vlastnostiach by ste mali pochopiť niektoré pojmy. Keď človek počuje o pyramíde, predstaví si obrovské budovy v Egypte. Takto vyzerajú tie najjednoduchšie. Ale stávajú sa odlišné typy a tvary, čo znamená, že vzorec výpočtu pre geometrické tvary bude iný.
Typy figúrok
Pyramída - geometrický obrazec , označujúce a reprezentujúce niekoľko tvárí. V podstate ide o ten istý mnohosten, na ktorého základni leží mnohouholník a po stranách sú trojuholníky, ktoré sa spájajú v jednom bode - vrchole. Obrázok sa dodáva v dvoch hlavných typoch:
- správne;
- skrátený.
V prvom prípade je základňou pravidelný mnohouholník. Tu sú všetky bočné plochy rovnaké medzi sebou a postavou samotnou poteší oko perfekcionistu.
V druhom prípade sú dve základne - veľká úplne dole a malá medzi hornou časťou, ktorá opakuje tvar hlavnej. Inými slovami, zrezaný ihlan je mnohosten s prierezom vytvoreným rovnobežne so základňou.
Termíny a symboly
Kľúčové pojmy:
- Pravidelný (rovnostranný) trojuholník- postava s tromi rovnakými uhlami a rovnakými stranami. V tomto prípade sú všetky uhly 60 stupňov. Obrázok je najjednoduchší z pravidelných mnohostenov. Ak toto číslo leží na základni, potom sa takýto mnohosten bude nazývať pravidelný trojuholník. Ak je základňou štvorec, pyramída sa bude nazývať pravidelná štvoruholníková pyramída.
- Vertex– najvyšší bod, kde sa hrany stretávajú. Výška vrcholu je tvorená priamkou siahajúcou od vrcholu k základni pyramídy.
- Hrana– jedna z rovín mnohouholníka. Môže byť vo forme trojuholníka v prípade trojuholníkovej pyramídy alebo vo forme lichobežníka pre zrezaná pyramída.
- oddiel – plochá postava, vytvorený v dôsledku pitvy. Nemal by sa zamieňať so sekciou, pretože sekcia tiež zobrazuje, čo je za sekciou.
- Apothem- úsečka vedená od vrcholu pyramídy k jej základni. Je to tiež výška tváre, kde sa nachádza druhý výškový bod. Táto definícia platí len vo vzťahu k pravidelnému mnohostenu. Napríklad, ak toto nie je skrátená pyramída, potom bude tvár trojuholníka. V tomto prípade sa výška tohto trojuholníka stane apotémou.
Plošné vzorce
Nájdite bočnú plochu pyramídy akýkoľvek typ možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Ak obrázok nie je symetrický a je to mnohouholník s rôznymi stranami, potom je v tomto prípade jednoduchšie vypočítať celkovú plochu povrchu cez súhrn všetkých plôch. Inými slovami, musíte vypočítať plochu každej tváre a spočítať ich.
V závislosti od toho, aké parametre sú známe, môžu byť potrebné vzorce na výpočet štvorca, lichobežníka, ľubovoľného štvoruholníka atď. Samotné vzorce rôzne prípady bude mať tiež rozdiely.
V prípade bežnej postavy je hľadanie oblasti oveľa jednoduchšie. Stačí poznať niekoľko kľúčových parametrov. Vo väčšine prípadov sú potrebné výpočty špeciálne pre takéto čísla. Preto budú nižšie uvedené zodpovedajúce vzorce. V opačnom prípade by ste museli všetko vypisovať na niekoľko strán, čo by vás len zmiatlo a zmiatlo.
Základný vzorec pre výpočet Bočný povrch pravidelnej pyramídy bude mať nasledujúci tvar:
S = ½ Pa (P je obvod základne a je apotém)
Pozrime sa na jeden príklad. Mnohosten má základňu so segmentmi A1, A2, A3, A4, A5 a všetky sú rovné 10 cm.Apotéma nech sa rovná 5 cm. Najprv musíte nájsť obvod. Keďže všetkých päť plôch základne je rovnakých, môžete to nájsť takto: P = 5 * 10 = 50 cm Ďalej použijeme základný vzorec: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na druhú.
Bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy najjednoduchšie vypočítať. Vzorec vyzerá takto:
S =½* ab *3, kde a je apotém, b je plocha základne. Faktor tri tu znamená počet plôch základne a prvá časť je plocha bočného povrchu. Pozrime sa na príklad. Daný obrazec s apotémou 5 cm a základnou hranou 8 cm Vypočítame: S = 1/2*5*8*3=60 cm na druhú.
Bočný povrch zrezanej pyramídy Je to trochu náročnejšie na výpočet. Vzorec vyzerá takto: S = 1/2*(p_01+ p_02)*a, kde p_01 a p_02 sú obvody báz a je apotém. Pozrime sa na príklad. Povedzme, že pre štvoruholníkovú postavu sú rozmery strán podstavcov 3 a 6 cm a apotém je 4 cm.
Tu musíte najskôr nájsť obvody podstavcov: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm. Zostáva dosadiť hodnoty do hlavného vzorca a dostaneme: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na druhú.
Takto môžete nájsť bočnú plochu pravidelnej pyramídy akejkoľvek zložitosti. Mali by ste byť opatrní a nezamieňať tieto výpočty s celkovou plochou celého mnohostenu. A ak to stále potrebujete urobiť, stačí vypočítať plochu najväčšej základne mnohostenu a pridať ju k ploche bočného povrchu mnohostenu.
Video
Toto video vám pomôže upevniť informácie o tom, ako nájsť bočnú plochu rôznych pyramíd.
