Schopnosť vypočítať objem priestorových útvarov je dôležitá pri riešení množstva praktických úloh v geometrii. Jednou z najbežnejších postáv je pyramída. V tomto článku zvážime plné aj skrátené pyramídy.
Pyramída ako trojrozmerná postava
Každý vie o egyptských pyramídach, takže má dobrú predstavu o tom, o akej postave budeme hovoriť. Egyptské kamenné stavby sú však len špeciálnym prípadom obrovskej triedy pyramíd.
Uvažovaným geometrickým objektom je vo všeobecnom prípade polygonálna základňa, ktorej každý vrchol je spojený s určitým bodom v priestore, ktorý nepatrí do roviny základne. Táto definícia vedie k obrázku pozostávajúceho z jedného n-uholníka a n trojuholníkov.
Každá pyramída pozostáva z n+1 stien, 2*n hrán a n+1 vrcholov. Keďže predmetná postava je dokonalý mnohosten, počty označených prvkov sa riadia Eulerovou rovnosťou:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Mnohouholník umiestnený na základni dáva názov pyramídy, napríklad trojuholníkový, päťuholníkový atď. Sada pyramíd s rôznymi základňami je znázornená na fotografii nižšie.
Bod, v ktorom sa stretáva n trojuholníkov obrazca, sa nazýva vrchol pyramídy. Ak sa z nej spustí kolmica na základňu a pretína ju v geometrickom strede, potom sa takýto obrazec nazýva priamka. Ak táto podmienka nie je splnená, potom nastáva naklonená pyramída.
Pravý útvar, ktorého základňu tvorí rovnostranný (rovnouholníkový) n-uholník, sa nazýva pravidelný.
Vzorec pre objem pyramídy
Na výpočet objemu pyramídy použijeme integrálny počet. Aby sme to urobili, rozdelíme postavu rozrezaním rovín rovnobežných so základňou na nekonečný počet tenkých vrstiev. Na obrázku nižšie je znázornený štvorhranný ihlan s výškou h a dĺžkou strany L, v ktorom štvoruholník označuje tenkú vrstvu rezu.
Plochu každej takejto vrstvy možno vypočítať pomocou vzorca:
A(z) = Ao*(h-z)2/h2.
Tu A 0 je plocha základne, z je hodnota vertikálnej súradnice. Je vidieť, že ak z = 0, potom vzorec dáva hodnotu A 0 .
Ak chcete získať vzorec pre objem pyramídy, mali by ste vypočítať integrál po celej výške obrázku, to znamená:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Dosadením závislosti A(z) a výpočtom primitívnej derivácie dospejeme k výrazu:
V = -Ao*(h-z)3/(3*h2)| h0 = 1/3*Ao*h.
Získali sme vzorec pre objem pyramídy. Ak chcete nájsť hodnotu V, stačí vynásobiť výšku postavy plochou základne a potom vydeliť výsledok tromi.
Všimnite si, že výsledný výraz je platný pre výpočet objemu pyramídy akéhokoľvek typu. To znamená, že môže byť naklonený a jeho základňa môže byť ľubovoľný n-uholník.
a jeho objem
Všeobecný vzorec pre objem získaný v odseku vyššie možno spresniť v prípade pyramídy s pravidelnou základňou. Plocha takejto základne sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:
Ao = n/4*L2*ctg(pi/n).
Tu je L dĺžka strany pravidelného mnohouholníka s n vrcholmi. Symbol pi je číslo pi.
Dosadením výrazu pre A 0 do všeobecného vzorca dostaneme objem pravidelnej pyramídy:
Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).
Napríklad pre trojuholníkovú pyramídu má tento vzorec za následok nasledujúci výraz:
V3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu má objemový vzorec tvar:
V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.
Určenie objemov pravidelných pyramíd vyžaduje znalosť strany ich základne a výšky postavy.
Skrátená pyramída
Predpokladajme, že sme vzali ľubovoľnú pyramídu a odrezali časť jej bočnej plochy obsahujúcej vrchol. Zostávajúca postava sa nazýva zrezaná pyramída. Skladá sa už z dvoch n-gonálnych základov a n lichobežníkov, ktoré ich spájajú. Ak bola rovina rezu rovnobežná so základňou obrázku, potom je vytvorená zrezaná pyramída s podobnými rovnobežnými základňami. To znamená, že dĺžky strán jednej z nich možno získať vynásobením dĺžok druhej určitým koeficientom k.
Na obrázku vyššie je zrezaný pravidelný, je vidieť, že jeho hornú základňu, rovnako ako spodnú, tvorí pravidelný šesťuholník.
Vzorec, ktorý možno odvodiť pomocou integrálneho počtu podobného vyššie uvedenému, je:
V = 1/3*h*(Ao + Ai + √(Ao*A1)).
Kde Ao a Ai sú plochy spodnej (veľkej) a hornej (malej) bázy. Premenná h označuje výšku zrezaného ihlana.
Objem Cheopsovej pyramídy
Je zaujímavé vyriešiť problém určenia objemu, ktorý najväčšia egyptská pyramída v sebe obsahuje.
V roku 1984 britskí egyptológovia Mark Lehner a Jon Goodman stanovili presné rozmery Cheopsovej pyramídy. Jeho pôvodná výška bola 146,50 metra (v súčasnosti asi 137 metrov). Priemerná dĺžka každej zo štyroch strán konštrukcie bola 230,363 metra. Základňa pyramídy je štvorcová s vysokou presnosťou.
Pomocou uvedených čísel určíme objem tohto kamenného obra. Keďže pyramída je pravidelná štvoruholníková, platí pre ňu vzorec:
Nahradením čísel dostaneme:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Objem Cheopsovej pyramídy je takmer 2,6 milióna m3. Pre porovnanie uvádzame, že olympijský bazén má objem 2,5 tisíc m 3 . To znamená, že na naplnenie celej Cheopsovej pyramídy budete potrebovať viac ako 1000 takýchto bazénov!
Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha je mnohouholník ( základňu ) a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom ( bočné steny ) (obr. 15). Pyramída je tzv správne , ak je jej základom pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu podstavy (obr. 16). Trojuholníková pyramída so všetkými rovnakými okrajmi sa nazýva štvorsten .
Bočné rebro pyramídy je strana bočnej steny, ktorá nepatrí k základni Výška pyramída je vzdialenosť od jej vrcholu k rovine základne. Všetky bočné hrany pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné, všetky bočné steny sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy vytiahnutej z vrcholu sa nazýva apotéma . Diagonálny rez sa nazýva rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.
Bočný povrch pyramída je súčet plôch všetkých bočných stien. Celková plocha povrchu sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch a základne.
Vety
1. Ak sú v pyramíde všetky bočné hrany rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej v blízkosti podstavy.
2. Ak majú všetky bočné hrany pyramídy rovnakú dĺžku, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej blízko základne.
3. Ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine základne, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kruhu vpísaného do základne.
Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy je správny vzorec:
Kde V- objem;
S základňa– základná plocha;
H- výška pyramídy.
Pre pravidelnú pyramídu sú správne nasledujúce vzorce:
Kde p– obvod základne;
h a– apotéma;
H- výška;
S plný
S strana
S základňa– základná plocha;
V– objem pravidelnej pyramídy.
Skrátená pyramída nazývaná časť pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy (obr. 17). Pravidelná zrezaná pyramída nazývaná časť pravidelnej pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy.
Dôvody zrezaná pyramída - podobné mnohouholníky. Bočné plochy – lichobežníky. Výška zrezanej pyramídy je vzdialenosť medzi jej základňami. Uhlopriečka zrezaný ihlan je segment spájajúci jeho vrcholy, ktoré neležia na rovnakej ploche. Diagonálny rez je rez zrezaného ihlana rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.
Pre skrátenú pyramídu platia nasledujúce vzorce:
(4)
Kde S 1 , S 2 – plochy hornej a dolnej podstavy;
S plný– celková plocha;
S strana- bočný povrch;
H- výška;
V– objem zrezanej pyramídy.
Pre pravidelnú skrátenú pyramídu je vzorec správny:
Kde p 1 , p 2 – obvody podstavcov;
h a– apotéma pravidelného zrezaného ihlana.
Príklad 1 V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde je dihedrálny uhol pri základni 60º. Nájdite dotyčnicu uhla sklonu bočnej hrany k rovine základne.
Riešenie. Urobme si nákres (obr. 18).
 |
Pyramída je pravidelná, čo znamená, že na základni je rovnostranný trojuholník a všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Dihedrálny uhol pri základni je uhol sklonu bočnej plochy pyramídy k rovine základne. Lineárny uhol je uhol a medzi dvoma kolmicami: atď. Vrchol pyramídy sa premieta do stredu trojuholníka (stred opísanej kružnice a vpísanej kružnice trojuholníka ABC). Uhol sklonu bočnej hrany (napr S.B.) je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom do roviny základne. Pre rebro S.B. tento uhol bude uhol SBD. Ak chcete nájsť dotyčnicu, musíte poznať nohy SO A O.B.. Nechajte dĺžku segmentu BD rovná sa 3 A. Bodka Oúsečka BD sa delí na časti: a Od nachádzame SO: 
Z toho nájdeme: 
odpoveď:
Príklad 2 Nájdite objem pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana, ak sú uhlopriečky jeho podstav rovné cm a cm a jeho výška je 4 cm.
Riešenie. Na zistenie objemu zrezanej pyramídy použijeme vzorec (4). Nájsť základná plocha je potrebné nájsť strany základných štvorcov, poznať ich uhlopriečky. Strany podstav sa rovnajú 2 cm a 8 cm. To znamená plochy podstav a Nahradením všetkých údajov do vzorca vypočítame objem zrezanej pyramídy:
odpoveď: 112 cm 3.
Príklad 3 Nájdite plochu bočnej steny pravidelnej trojuholníkovej zrezanej pyramídy, ktorej strany základne sú 10 cm a 4 cm a výška pyramídy je 2 cm.
Riešenie. Urobme si nákres (obr. 19).
Bočná strana tejto pyramídy je rovnoramenný lichobežník. Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete poznať základňu a výšku. Základy sú dané podľa stavu, neznáma ostáva len výška. Odkiaľ ju nájdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovine spodnej základne, A 1 D– kolmo od A 1 os AC. A 1 E= 2 cm, keďže toto je výška pyramídy. Nájsť DE Urobme si dodatočný nákres zobrazujúci pohľad zhora (obr. 20). Bodka O– premietanie stredov hornej a dolnej základne. keďže (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK– polomer vpísaný do kruhu a 
OM- polomer vpísaný do kruhu:
MK = DE.
Podľa Pytagorovej vety z
Oblasť bočnej tváre: 
odpoveď:
Príklad 4. Na základni pyramídy leží rovnoramenný lichobežník, ktorého základy A A b (a> b). Každá bočná plocha zviera uhol rovný rovine základne pyramídy j. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Riešenie. Urobme si nákres (obr. 21). Celková plocha pyramídy SABCD rovná súčtu plôch a plochy lichobežníka A B C D.
Použime tvrdenie, že ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol premieta do stredu kružnice vpísanej do podstavy. Bodka O– vrcholová projekcia S na základni pyramídy. Trojuholník SOD je ortogonálny priemet trojuholníka CSD do roviny základne. Podľa vety o oblasti ortogonálnej projekcie plochá postava dostaneme:
Rovnako to znamená 
Problém sa teda zmenšil na nájdenie oblasti lichobežníka A B C D. Nakreslíme lichobežník A B C D samostatne (obr. 22). Bodka O– stred kruhu vpísaného do lichobežníka.
Keďže kruh môže byť vpísaný do lichobežníka, potom alebo Z Pytagorovej vety máme
Skrátená pyramída je mnohosten, ktorého vrcholy sú vrcholy základne a vrcholy jeho rezu rovinou rovnobežnou so základňou.
Vlastnosti skrátenej pyramídy:
- Základy zrezanej pyramídy sú podobné mnohouholníky.
- Bočné strany zrezanej pyramídy sú lichobežníky.
- Bočné okraje pravidelného zrezaného ihlana sú rovnaké a rovnako sklonené k základni pyramídy.
- Bočné steny pravidelnej zrezanej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky a sú rovnako naklonené k základni pyramídy.
- Dihedrálne uhly na bočných okrajoch pravidelnej zrezanej pyramídy sú rovnaké.
Plocha a objem zrezanej pyramídy
Nech je výška zrezanej pyramídy a nech sú obvody základov zrezanej pyramídy a nech sú plochy základov zrezanej pyramídy, nech je plocha bočného povrchu zrezanej pyramídy, je plocha z celkového povrchu zrezanej pyramídy a je objemom zrezanej pyramídy. Potom platia nasledujúce vzťahy:
.
Ak sú všetky dihedrálne uhly na základni zrezanej pyramídy rovnaké a výšky všetkých bočných stien pyramídy sú rovnaké, potom
a rovinu rezu, ktorá je rovnobežná s jej základňou.
Alebo inak povedané: zrezaná pyramída- ide o mnohosten, ktorý je tvorený ihlanom a jeho prierez je rovnobežný so základňou.
Časť, ktorá je rovnobežná so základňou pyramídy, rozdeľuje pyramídu na 2 časti. Časť pyramídy medzi jej základňou a prierezom je zrezaná pyramída.
Táto časť pre zrezanú pyramídu sa ukazuje ako jedna zo základov tejto pyramídy.
Vzdialenosť medzi základňami zrezaného ihlana je výška zrezanej pyramídy.
Zrezaná pyramída bude správne, kedy bola správna aj pyramída, z ktorej bol odvodený.
Výška lichobežníka bočnej steny pravidelného zrezaného ihlana je apotéma pravidelná zrezaná pyramída.
Vlastnosti zrezanej pyramídy.
1. Každá bočná plocha pravidelného zrezaného ihlana je rovnoramenný lichobežník rovnakej veľkosti.
2. Základy zrezaného ihlana sú podobné mnohouholníky.
3. Bočné okraje pravidelného zrezaného ihlana majú rovnakú veľkosť a jeden je naklonený vzhľadom na základňu pyramídy.
4. Bočné strany zrezaného ihlana sú lichobežníky.
5. Dihedrálne uhly na bočných okrajoch pravidelného zrezaného ihlana sú rovnako veľké.
6. Pomer základných plôch: S2/Si = k2.
Vzorce pre zrezanú pyramídu.
Pre ľubovoľnú pyramídu:
Objem zrezaného ihlana sa rovná 1/3 súčinu výšky h (OS) súčtom plôch hornej základne S 1 (a B C d e), spodná základňa zrezanej pyramídy S 2 (A B C D E) a priemerný pomer medzi nimi.
Objem pyramídy:
Kde S 1, S 2- základná plocha,
h— výška zrezaného ihlana.
Bočný povrch 
sa rovná súčtu plôch bočných plôch zrezanej pyramídy.
Pre bežnú skrátenú pyramídu:
Pravidelná zrezaná pyramída- mnohosten, ktorý je tvorený pravidelným ihlanom a jeho rezom, ktorý je rovnobežný so základňou.
Plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy sa rovná ½ súčinu súčtu obvodov jej základní a apotému.
Kde S 1, S 2- základná plocha,
φ - dihedrálny uhol pri základni pyramídy.
CH je výška zrezanej pyramídy, P 1 A P2- obvody podstavcov, S 1 A S 2- základné plochy, S strana- bočný povrch, S plný— celková plocha:
Rez pyramídy rovinou rovnobežnou so základňou.
Úsek pyramídy rovinou, ktorá je rovnobežná s jej základňou (kolmá na výšku) a rozdeľuje výšku a bočné hrany pyramídy na proporcionálne segmenty.
Úsek pyramídy rovinou, ktorá je rovnobežná s jej základňou (kolmá na jej výšku) je mnohouholník, ktorý je podobný základni pyramídy a koeficient podobnosti týchto mnohouholníkov zodpovedá pomeru ich vzdialeností od vrcholu. pyramídy.
Plochy prierezu, ktoré sú rovnobežné so základňou pyramídy, sú rozdelené druhou mocninou ich vzdialeností od vrcholu pyramídy.
Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je reprezentovaná ľubovoľným mnohouholníkom a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom, ktorý zodpovedá vrcholu pyramídy.
Ak nakreslíte časť rovnobežnú so základňou v pyramíde, rozdelí postavu na dve časti. Priestor medzi spodnou základňou a sekciou, ohraničený okrajmi, sa nazýva zrezaná pyramída.
Vzorec pre objem zrezaného ihlana je jedna tretina súčinu výšky a súčtu plôch hornej a dolnej základne s ich priemerným pomerom:
Uvažujme o príklade výpočtu objemu zrezanej pyramídy.
Problém: Daný trojuholníkový zrezaný ihlan. Jeho výška je h = 10 cm, strany jednej z podstav sú a = 27 cm, b = 29 cm, c = 52 cm.Obvod druhej podstavy je P2 = 72 cm. Nájdite objem ihlanu. 
Na výpočet objemu potrebujeme plochu základne. Keď poznáme dĺžky strán jedného trojuholníka, môžeme vypočítať >. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť semi-obvod: 
Teraz nájdime S2: 
Keď vieme, že pyramída je skrátená, dospeli sme k záveru, že trojuholníky ležiace na základniach sú podobné. Koeficient podobnosti týchto trojuholníkov možno zistiť z pomeru obvodov. Pomer plôch trojuholníkov sa bude rovnať štvorcu tohto koeficientu: 
Teraz, keď sme našli plochu základov skrátenej pyramídy, môžeme ľahko vypočítať jej objem:
Výpočtom koeficientu podobnosti a výpočtom plochy základní sme teda zistili objem danej skrátenej pyramídy.
