Zhrnutie lekcie na tému „Trigonometrické rovnice redukovateľné na kvadratické rovnice“ (10. ročník). Goniometrické rovnice Príklady kvadratických goniometrických rovníc

Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:
1. Čo sú to goniometrické rovnice?

3. Dve hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc.
4. Homogénne goniometrické rovnice.
5. Príklady.

Čo sú to goniometrické rovnice?

Chlapci, už sme študovali arkzín, arkkozín, arktangens a arkkotangens. Teraz sa pozrime na trigonometrické rovnice všeobecne.

Goniometrické rovnice sú rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom goniometrickej funkcie.

Zopakujme si formu riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc:

1) Ak |a|≤ 1, potom rovnica cos(x) = a má riešenie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ak |a|≤ 1, potom rovnica sin(x) = a má riešenie:

3) Ak |a| > 1, potom rovnica sin(x) = a a cos(x) = a nemajú riešenia 4) Rovnica tg(x)=a má riešenie: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnica ctg(x)=a má riešenie: x=arcctg(a)+ πk

Pre všetky vzorce je k celé číslo

Najjednoduchšie goniometrické rovnice majú tvar: T(kx+m)=a, T je nejaká goniometrická funkcia.

Príklad.

Riešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Riešenie:

A) Označme 3x=t, potom našu rovnicu prepíšeme do tvaru:

Riešenie tejto rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Z tabuľky hodnôt dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vráťme sa k našej premennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpoveď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n – mínus jedna na mocninu n.

Ďalšie príklady goniometrických rovníc.

Riešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Riešenie:

A) Tentoraz prejdime priamo k výpočtu koreňov rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpoveď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Zapíšeme ho v tvare: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vieme, že: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpoveď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Riešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A nájdite všetky korene na segmente.

Riešenie:

Riešime našu rovnicu vo všeobecnom tvare: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Teraz sa pozrime, aké korene padajú do nášho segmentu. Pri k Pri k=0, x= π/16 sme v danom segmente.
Pri k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 sme narazili znova.
Pre k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tu sme netrafili, čo znamená, že pre veľké k samozrejme tiež netrafíme.

Odpoveď: x= π/16, x= 9π/16

Dve hlavné metódy riešenia.

Pozreli sme sa na najjednoduchšie goniometrické rovnice, no existujú aj zložitejšie. Na ich riešenie sa používa metóda zavedenia novej premennej a metóda faktorizácie. Pozrime sa na príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

Riešenie:
Na vyriešenie našej rovnice použijeme metódu zavedenia novej premennej, ktorá označuje: t=tg(x).

V dôsledku nahradenia dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-1 a t=1/3

Potom tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostaneme najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu, nájdime jej korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpoveď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Príklad riešenia rovnice

Riešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riešenie:

Použime identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša rovnica bude mať tvar: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zavedme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice sú korene: t=2 a t=-1/2

Potom cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Pretože kosínus nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako jedna, potom cos(x)=2 nemá korene.

Pre cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpoveď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogénne goniometrické rovnice.

Definícia: Rovnice tvaru a sin(x)+b cos(x) sa nazývajú homogénne goniometrické rovnice prvého stupňa.

Rovnice formulára

homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa.

Ak chcete vyriešiť homogénnu goniometrickú rovnicu prvého stupňa, vydeľte ju cos(x): Nemôžete deliť kosínusom, ak sa rovná nule, uistite sa, že to tak nie je:
Nech cos(x)=0, potom asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sínus a kosínus sa nerovnajú nule súčasne, dostaneme rozpor, takže môžeme pokojne deliť o nulu.

Vyriešte rovnicu:
Príklad: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Riešenie:

Zoberme si spoločný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Potom musíme vyriešiť dve rovnice:

Cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Zvážte rovnicu cos(x)+sin(x)=0 Vydeľte našu rovnicu cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpoveď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Ako riešiť homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa?
Chlapci, vždy dodržiavajte tieto pravidlá!

1. Pozri, čomu sa rovná koeficient a, ak a=0, tak naša rovnica bude mať tvar cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), ktorého príklad riešenia je na predchádzajúcej snímke

2. Ak a≠0, potom musíte obe strany rovnice vydeliť kosínusovou druhou mocninou, dostaneme:

Zmeníme premennú t=tg(x) a dostaneme rovnicu:

Riešte príklad č.:3

Vyriešte rovnicu:
Riešenie:

Vydeľme obe strany rovnice kosínusovou druhou mocninou:

Zmeníme premennú t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nájdime korene kvadratickej rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpoveď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Riešte príklad č.:4

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Môžeme riešiť také rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpoveď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Riešte príklad č.:5

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Zavedme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice budú korene: t=-2 a t=1/2

Potom dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpoveď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problémy na samostatné riešenie.

1) Vyriešte rovnicu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A nájdite všetky korene na segmente [π/2; π].

3) Vyriešte rovnicu: detská postieľka 2 (x) + 2 detská postieľka (x) + 1 =0

4) Vyriešte rovnicu: 3 sin 2 (x) + √3 sin (x) cos(x) = 0

5) Vyriešte rovnicu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Vyriešte rovnicu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc sú: redukcia rovníc na najjednoduchšie (pomocou goniometrických vzorcov), zavádzanie nových premenných a faktoring. Pozrime sa na ich použitie s príkladmi. Venujte pozornosť formátu zápisu riešení goniometrických rovníc.

Nevyhnutnou podmienkou úspešného riešenia goniometrických rovníc je znalosť goniometrických vzorcov (téma 13 práce 6).

Príklady.

1. Rovnice zredukované na najjednoduchšie.

1) Vyriešte rovnicu

Riešenie:

odpoveď:

2) Nájdite korene rovnice

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, patriace do segmentu.

Riešenie:

odpoveď:

2. Rovnice redukujúce na kvadratické.

1) Vyriešte rovnicu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Riešenie: Pomocou vzorca sin 2 x = 1 – cos 2 x dostaneme

odpoveď:

2) Vyriešte rovnicu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Riešenie: Pomocou vzorca cos 2x = 2 cos 2 x – 1 dostaneme

odpoveď:

3) Vyriešte rovnicu tgx – 2ctgx + 1 = 0

Riešenie:

odpoveď:

3. Homogénne rovnice

1) Vyriešte rovnicu 2sinx – 3cosx = 0

Riešenie: Nech cosx = 0, potom 2sinx = 0 a sinx = 0 – rozpor s tým, že sin 2 x + cos 2 x = 1. To znamená cosx ≠ 0 a rovnicu môžeme vydeliť cosx. Dostaneme

odpoveď:

2) Riešte rovnicu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Riešenie:

Použijeme vzorce 1 = sin 2 x + cos 2 x a sin 2x = 2 sinxcosx, dostaneme

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Nech cosx = 0, potom sin 2 x = 0 a sinx = 0 – rozpor s tým, že sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znamená cosx ≠ 0 a rovnicu môžeme vydeliť cos 2 x . Dostaneme

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označme tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
yi = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

odpoveď: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k

4. Rovnice formulára a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

odpoveď:

5. Rovnice riešené rozkladom.

1) Vyriešte rovnicu sin2x – sinx = 0.

Koreň rovnice f (X) = φ ( X) môže slúžiť iba ako číslo 0. Skontrolujte toto:

cos 0 = 0 + 1 – rovnosť je pravdivá.

Číslo 0 je jediným koreňom tejto rovnice.

odpoveď: 0.

Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému!!!

Rovnosť obsahujúca neznámu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo `ctg x`) sa nazýva goniometrická rovnica a ďalej sa budeme zaoberať ich vzorcami.

Najjednoduchšie rovnice sú `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je uhol, ktorý sa má nájsť, `a` je ľubovoľné číslo. Zapíšme si koreňové vzorce pre každý z nich.

1. Rovnica `sin x=a`.

Pre `|a|>1` nemá žiadne riešenia.

Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rovnica `cos x=a`

Pre `|a|>1` - ako v prípade sínusu, nemá medzi reálnymi číslami žiadne riešenia.

Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch.

3. Rovnica `tg x=a`

Má nekonečný počet riešení pre ľubovoľné hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rovnica `ctg x=a`

Má tiež nekonečný počet riešení pre akékoľvek hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke

Pre sínus:
Pre kosínus:
Pre tangens a kotangens:
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:

Metódy riešenia goniometrických rovníc

Riešenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:

• s pomocou premeny na najjednoduchšie;
• vyriešiť najjednoduchšiu rovnicu získanú pomocou koreňových vzorcov a tabuliek napísaných vyššie.

Pozrime sa na hlavné metódy riešenia pomocou príkladov.

Algebraická metóda.

Táto metóda zahŕňa nahradenie premennej a jej nahradenie rovnosťou.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

urobte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, potom `2y^2-3y+1=0`,

nájdeme korene: `y_1=1, y_2=1/2`, z ktorých vyplývajú dva prípady:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizácia.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x+cos x=1`.

Riešenie. Presuňme všetky členy rovnosti doľava: `sin x+cos x-1=0`. Pomocou , transformujeme a faktorizujeme ľavú stranu:

`sin x – 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcia na homogénnu rovnicu

Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu zredukovať na jednu z dvoch foriem:

`a sin x+b cos x=0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogénna rovnica druhého stupňa).

Potom obe časti vydeľte `cos x \ne 0` - pre prvý prípad a `cos^2 x \ne 0` - pre druhý prípad. Získame rovnice pre `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Riešenie. Napíšme pravú stranu ako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 hriech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` hriech^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ide o homogénnu goniometrickú rovnicu druhého stupňa, jej ľavú a pravú stranu vydelíme `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Zavedme nahradenie `tg x=t`, výsledkom čoho bude `t^2 + t - 2=0`. Korene tejto rovnice sú `t_1=-2` a `t_2=1`. potom:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prechod do polovičného uhla

Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riešenie. Aplikujme vzorce s dvojitým uhlom, výsledkom čoho je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Použitím vyššie opísanej algebraickej metódy dostaneme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Zavedenie pomocného uhla

V goniometrickej rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c sú koeficienty a x je premenná, vydeľte obe strany `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))“.

Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne súčet ich druhých mocnín je rovný 1 a ich moduly nie sú väčšie ako 1. Označme ich takto: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, potom:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:

Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Riešenie. Vydelíme obe strany rovnosti `sqrt (3^2+4^2)`, dostaneme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).

`3/5 hriechu x+4/5 čos x=2/5`.

Označme `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Keďže `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, potom berieme `\varphi=arcsin 4/5` ako pomocný uhol. Potom svoju rovnosť zapíšeme v tvare:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Použitím vzorca pre súčet uhlov pre sínus zapíšeme našu rovnosť v nasledujúcom tvare:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Zlomkové racionálne goniometrické rovnice

Ide o rovnosti so zlomkami, ktorých čitateľ a menovateľ obsahuje goniometrické funkcie.

Príklad. Vyriešte rovnicu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Riešenie. Vynásobte a vydeľte pravú stranu rovnosti `(1+cos x)`. V dôsledku toho dostaneme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Ak vezmeme do úvahy, že menovateľ nemôže byť rovný nule, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Dajme rovnítko medzi čitateľom zlomku a nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom „sin x=0“ alebo „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vzhľadom na to, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, riešenia sú `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Odpoveď. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva. Štúdium začína v 10. ročníku, vždy sú úlohy na Jednotnú štátnu skúšku, preto si skúste zapamätať všetky vzorce goniometrických rovníc - určite sa vám budú hodiť!

Nemusíte sa ich však ani učiť naspamäť, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť ju odvodiť. Nie je to také ťažké, ako sa zdá. Presvedčte sa sami sledovaním videa.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele a ciele lekcie.

• Vzdelávacie:
  • zopakovať: definícia a metódy riešenia jednoduchých goniometrických rovníc; definícia kvadratickej rovnice, diskriminačný vzorec a korene kvadratickej rovnice
  • formovať poznatky o charakteristických črtách a metódach riešenia goniometrických rovníc, ktoré možno redukovať na kvadratické.
  • vedieť: identifikovať medzi goniometrickými rovnicami trigonometrické rovnice, ktoré možno redukovať na kvadratické a riešiť ich.
• Vývojový:
  • rozvíjať u žiakov logické myslenie, pamäť, pozornosť, reč; schopnosť zdôvodniť a zdôrazniť hlavnú vec; schopnosť samostatne získavať poznatky a aplikovať ich v praxi, rozvíjať zručnosti sebaovládania a vzájomnej kontroly.
• Vzdelávacie:
  • pestovať úctu k spolužiakom, samostatnosť, zodpovednosť, estetický vkus, upravenosť a záujem o matematiku.

Vybavenie: multimediálny projektor, plátno, sebahodnotiaci hárok.

Organizačné formy komunikácie: frontálne, skupinové, individuálne.

Typ lekcie: osvojenie si nových poznatkov.

Vzdelávacie technológie: IKT, dizajn.

Plán lekcie.

1. Organizačný moment, formovanie pracovnej motivácie študentov.
2. Formulovanie témy, cieľov hodiny.
3. Aktualizácia vedomostí a príprava žiakov na aktívne a vedomé učenie sa nového materiálu.
4. Štádium asimilácie nových poznatkov a metód konania.
5. Štádium aktívnej relaxácie a aktivizácie.
6. Štádium počiatočného testovania pochopenia toho, čo sa naučili.
7. Fáza reflexie a hodnotenia. Zhrnutie lekcie.
8. Etapa informovania žiakov o domácej úlohe a poučenie o jej vyplnení.

Prípravné práce

Žiaci v triede musia byť vopred rozdelení do skupín. Učiteľ má právo samostatne zvoliť princíp rozdelenia žiakov do skupín.
Jednou z možností sú skupiny, ktoré by zahŕňali študentov s rôznymi úrovňami matematickej prípravy: od „základnej“ po „pokročilú“.
Každá skupina dostane najskôr za úlohu preštudovať si algoritmus na riešenie jedného z typov goniometrických rovníc (používajú sa zdroje informácií navrhnuté učiteľom a tie, ktoré sa našli nezávisle). Členovia každej skupiny prezentujú výsledky svojej práce na jednej z lekcií na tému „Trigonometrické rovnice“. V závislosti od objemu navrhovaného materiálu a jeho zložitosti môžu mať 1-2 skupiny čas vystúpiť v jednej lekcii a prezentovať výsledky svojej práce.
Predstavujeme vám lekciu, ktorá pojednáva o riešení goniometrických rovníc, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.

Z domu reality je ľahké zablúdiť do lesa matematiky, ale len málokto sa dokáže vrátiť späť.

H. Steinhaus

Čím viac sa človek stáva človekom, tým menej bude súhlasiť s niečím iným ako s nekonečným a nezničiteľným pohybom k novému.

Pierre Chardin

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment, formovanie pracovnej motivácie študentov ( 3 min.)

pozdravujem. Evidovanie absencií, kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Ďalej dostane každý študent hodnotiaci list. Učiteľ stručne komentuje pravidlá vypĺňania hodnotiaceho hárku a navrhuje vyplniť 1-3 riadky. Príloha 1 .
Organizácia pozornosti študentov: učiteľ študentom cituje Pierra Chardina, ponúka im vysvetlenie, ako pochopili význam slov (môžete počúvať 2-3 osoby), navrhuje, aby sa slová stali mottom hodiny a pýta sa, či vedieť, kto je ich autorom. Stručné historické pozadie (Snímka 3).

*Pokyny na používanie prezentácie – Dodatok 2 .

2. Formulácia témy, cieľov vyučovacej hodiny(2-3 min.).

Učiteľ požiada o sformulovanie témy predchádzajúcej hodiny (Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc). Opýtajte sa študentov, čo si myslia, že existujú iné typy goniometrických rovníc? (Áno. Ak existujú „najjednoduchšie“, potom existujú zložitejšie, inak nie je potrebné zavádzať pojem „najjednoduchšie“, ak ide o jediný typ goniometrických rovníc). Na základe uvedeného navrhuje sformulovať tému dnešnej hodiny (Riešenie zložitých/iných/rôznych typov goniometrických rovníc).
Po úprave témy vyzve študentov, aby si do svojich notebookov zapísali: dátum hodiny, frázu „Super práca“ a tému hodiny „Riešenie rôznych typov goniometrických rovníc: rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice“.
Každý žiak má na stole šablóny a fixky jabĺk. Navrhuje sa napísať na „jablká“ vaše očakávania pre nadchádzajúcu lekciu, ktorej téma už bola formulovaná. Potom sa všetky šablóny jabĺk prilepia napríklad pomocou pásky na vopred pripravený plagát s obrázkom stromu. Ukázalo sa, že je to „strom očakávaní“.

Keď sa dosiahne jedno alebo druhé očakávanie, príslušné jablko sa môže považovať za zrelé a zhromaždené v koši. Použitie tejto metódy aktívneho učenia je jasný spôsob, ako sledovať pokrok študentov na vyučovacej hodine.

Ďalšia možnosť je možná: Učiteľ položí pred žiakov triedy presýpacie hodiny a vyzve ich, aby odpovedali na otázku, čo sa chcú naučiť na hodine, ktorej téma už bola sformulovaná (stačí 1-2 možnosti).

3. Aktualizácia vedomostí a príprava študentov na aktívne a uvedomelé učenie sa nového materiálu (10 min.).

učiteľ. Herbert Spencer povedal, že ak sú vedomosti človeka v neusporiadanom stave, čím viac ich má, tým neusporiadanejšie sa stáva jeho myslenie. Riaďme sa radami tohto slávneho britského filozofa (informácie pre všeobecný osobný rozvoj – stručné historické pozadie. (Snímka 5) Skôr ako prejdeme k štúdiu nového materiálu, pripomeňme si, čo vieme zo sekcie „Trigonometria“.

Predná práca(ústne)

– Uveďte definíciu goniometrickej rovnice.
– Koľko koreňov môže mať goniometrická rovnica?
– Aké sú najjednoduchšie goniometrické rovnice?
– Čo znamená vyriešiť najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu?
– Aké metódy riešenia goniometrických rovníc poznáte? (2 možnosti: vzorce; jednotkový kruh).

a) Vyplňte tabuľku:

b) Spojte rovnice s ich riešeniami uvedenými na jednotkových kruhoch (s komentárom)

Samostatná práca (Dodatok 3 )

Nasleduje vzájomné testovanie/samotestovanie (správnosť odpovedí sa kontroluje pomocou prezentácie) zo schopnosti riešiť jednoduché goniometrické rovnice. Predvedené (Snímka 12). V prípade potreby sú riešenia niektorých rovníc stručne komentované.

4. Štádium asimilácie nových poznatkov a metód konania(15 minút.).

Žiaci v triede boli predtým rozdelení do skupín, z ktorých každá nezávisle skúmala pomocou materiálu odporúčaného učiteľom a nezávisle našla jeden z typov goniometrických rovníc.
Výsledky práce sú prezentované vo forme diagramu odporúčania/algoritmu/riešenia v prezentačnom formáte Power Point. Učiteľ v prípade potreby radí žiakom v skupinách a predbežne kontroluje výsledný produkt ich práce.
Jeden zo zástupcov skupiny je vybraný, aby v triede prezentoval výsledky tej či onej metódy riešenia, zvyšok triedy pomáha odpovedať na otázky, ktoré vyvstávajú pri riešení tohto typu goniometrickej rovnice. Študenti sú vopred oboznámení s kritériami hodnotenia ich práce v skupine.

Musím si rozdeliť čas
medzi politikou a rovnicami.
Oveľa dôležitejšie sú však podľa mňa rovnice.
Politika existuje len pre túto chvíľu,
a rovnice budú existovať navždy.

Možné možnosti dokončenia úlohy ako skupina. (Snímky 14-18)

1 skupina. Riešenie goniometrických rovníc, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.

Charakteristické znaky rovníc, ktoré sa redukujú na kvadratické:

1. Rovnica obsahuje goniometrické funkcie jedného argumentu alebo ich možno jednoducho zredukovať na jeden argument.
2. V rovnici je iba jedna goniometrická funkcia alebo všetky funkcie možno zredukovať na jednu.

Algoritmus riešenia:

– Používajú sa nasledujúce identity; s ich pomocou je potrebné vyjadriť jednu goniometrickú funkciu cez druhú:

– Prebieha striedanie.
– Výraz sa konvertuje.
– Zadajte notáciu (napríklad hriech X = r).
– Rieši sa kvadratická rovnica.
– Hodnota indikovanej veličiny sa dosadí a goniometrická rovnica sa vyrieši.

Príklad 1

6cos 2 x + 5 hriech x – 7 = 0.

Riešenie.

Príklad 2

Príklad 3

5. Štádium aktívnej relaxácie a aktivizácie(2 minúty.).

6. Fáza počiatočného testovania pochopenia toho, čo sa naučili(8 min.)

Samostatná práca(Dodatok 5 )

Práca je diferencovaná, každá úroveň zložitosti úlohy je prezentovaná v dvoch verziách.
Úroveň I – „3“, Úroveň II – „4“, Úroveň III – „5“ v prípade úplne správneho riešenia. Na nasledujúcej hodine prácu skontroluje vyučujúci a za hodinu pridelí známky.

7. Etapa reflexie a hodnotenia. Zhrnutie lekcie(2 minúty.).

Vyplňte bod č. 6.7 sebahodnotiaceho hárku - Príloha 1 .

8. Etapa informovania žiakov o domácich úlohách, návod na jeho realizáciu (2 min.).

Diferencované (distribuované každému študentovi na samostatných hárkoch papiera) – Dodatok 6

Bibliografia:

1. Kornilov S.V., Kornilová L.E. Metodický hrudník. – Petrozavodsk: PetroPress, 2002. – 12 s.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.