ELEKTROMAGNETIZMUS
KAPITOLA 9. ELEKTRICKÉ POLE VO VÁKUU
Sila poľa
Experimentálne sa zistilo, že častice môžu zažiť interakcie oveľa silnejšie ako gravitačné. Aby som to vysvetlil mase mčastice pridali ďalšiu charakteristiku častice - nabíjačka q, merané v prívesky(Cl).
Nazvime nabitú časticu, teda časticu, ktorá má náboj q, bodový poplatok q(na rozdiel od nabitého telesa, ktorého rozmery nemožno v podmienkach tohto problému zanedbať). Každý stacionárny náboj je bodový náboj q vytvára v okolitom priestore elektrické pole(presnejšie elektrostatické pole). Akýkoľvek iný bodový poplatok v tomto poli bude ovplyvnený elektrická sila :
kde sa volá vektor napätie elektrické pole v mieste, kde sa nachádza náboj. Sila môže smerovať k alebo k náboju q alebo od neho. V tejto súvislosti boli zavedené dva typy náboja: pozitívny a negatívny. Opačné náboje sa priťahujú a podobné náboje sa odpudzujú (obr. 31.1).
Napätie je definované ako sila pôsobiaca na jednotkový kladný bodový náboj v danom bode poľa:
kde > 0. Z výrazu (31.2) je zrejmé, že rozmer je newton na coulomb (N/C).
Skúsenosti ukazujú, že pohyblivý bodový náboj q vytvára na diaľku r napätie z neho
(31.3)
kde ε 0 je elektrická konštanta (ε 0 = 8,85 10 –12 C 2 /(N m 2)), je jednotkový vektor vektora polomeru nakreslený zo stredu poľa, umiestnený v počiatku súradníc, v ktorých bodový poplatok sa nachádza q, do pre nás zaujímavého poľa.
Z vyjadrenia (31.1) je zrejmé, že elektrická sila pôsobiaca na náboj smeruje rovnakým smerom ako vektor, ak je náboj kladný, a opačný ako vektor, ak je náboj záporný (obr. 31.2).
Zo skúseností vyplýva, že intenzita poľa systému N stacionárne bodové poplatky
kde je sila poľa v bode, ktorý nás zaujíma, vytvorená i-tý bodový poplatok, ak neexistujú iné bodové poplatky. Vzťah (31.4) vyjadruje princíp superpozície elektrických polí.
Príklad 31.1. Dve guľôčky s hmotnosťou 0,3 kg sú umiestnené v takej vzdialenosti, že interakcia ich nábojov je vyvážená gravitačnou silou. Nájdite polomery guľôčok, ak je hustota povrchového náboja guľôčok 
| Vzhľadom na to: m 1 = m 2 = m= 0,3 kg F e = F gr R 1 = R 2 = R | Riešenie 
.
F e = F gr. 
|
||||
| R – ? |
odpoveď:R= 4 cm.
Príklad 31.2. Bodové poplatky q 1 = 2q A q 2 = – q umiestnené, ako je znázornené na obr. 31.4. Vzdialenosť medzi nábojmi je d. Určite v akej vzdialenosti X 1 od poplatku q 1 intenzita elektrického poľa je nulová.
| Vzhľadom na to: q 1 = 2q q 2 = – q d E( X 1) = 0 | Riešenie  Ryža. 31.3 |
| X 1 – ? |
Podľa princípu superpozície elektrických polí v bode, kde musí byť splnená podmienka
kde a sú intenzity poľa vytvorené nábojmi q 1 a q 2 v tomto bode. Je zrejmé, že táto podmienka nebude splnená mimo osi X(vektory a sú nasmerované pod uhlom navzájom), ako aj na osi X naľavo od náboja q 1 kde vždy E 1 > E 2 (pozri vzorec (31.3) a podmienku problému). Medzi nábojmi na osi X sa nemôže rovnať nule, pretože vektory a smerujú rovnakým smerom. Zostáva predpokladať, že požadovaný bod leží na osi X napravo od poplatku q 2 (pozri obr. 31.3). Vzdialenosť X 1 od poplatku q 1 zistíme z podmienky
Zmenšíme a vezmeme druhú odmocninu ľavej a pravej strany rovnosti:
odpoveď: X 1 = 3,5 d.
§ 32. Vektorový tok
Vektorové pole je vizuálne znázornené pomocou vektorové čiary ktoré sa vykonávajú takto:
1) dotyčnica k nim sa v každom bode zhoduje so smerom vektora;
2) počet čiar prechádzajúcich jednotkovou plochou kolmo na čiary (hustota čiary) sa rovná modulu vektora (obr. 32.1).
Elektrické pole je tzv homogénne, ak je v každom bode poľa vektor = konšt. Vektorové čiary takéhoto poľa sú rovnobežné a vzdialenosti medzi nimi sú rovnaké (obr. 32.2).
Ryža. 32.1 Obr. 32.2
Vektorové čiary elektrostatické pole začína na kladných nábojoch a končí na záporných nábojoch.
Vezmime si základnú stránku dS vo vektorovom poli (obr. 32.3). Dovoliť je jednotkový normálny vektor k webu dS, α je uhol medzi vektormi a . Potom počet vektorových čiar piercing dS, rovná sa
kde je vektor, ktorého modul sa rovná dS a smer sa zhoduje s jednotkovým normálnym vektorom k miestu dS.
Zavolajme F vektorový tok cez ľubovoľný povrch S počet vektorových čiar prenikajúcich týmto povrchom. samozrejme,
povrchový integrál S zo skalárneho súčinu vektorov a . Tok je algebraická veličina. Znak toku závisí od voľby smeru normály k dS. Pri uzavretých plochách je zvykom brať vonkajší normál.
§ 33. Gaussova veta pre vektorové pole
Veta. Vektorový tok cez akýkoľvek uzavretý povrch S rovná sa q ext. /ε 0, kde q ext. - algebraický súčet nábojov vo vnútri tohto povrchu:
(33.1)
kde kružnica blízko integrálu znamená, že integrácia sa vykonáva na uzavretom povrchu.
Dôkaz vety. Uvažujme elektrické pole jedného stacionárneho bodový poplatok q. Nechaj q> 0. Obklopme mentálne náboj qľubovoľný uzavretý povrch S(obr. 33.1).
Poďme nájsť tok d F vektor cez prvok dS povrchy. samozrejme,
Kde 
- elementárny pevný (priestorový) uhol vo vnútri kužeľa spočívajúceho na dS, s vrcholom v mieste nabitia q.
Vektorový tok cez celý uzavretý povrch S
kde je celkový priestorový uhol. Máme
ktorý sa zhoduje s výrazom (33.1).
Teraz zvážte elektrické pole vytvorené systémom N stacionárnych bodových nábojov Obklopme mentálne tento systém nábojov ľubovoľným uzavretým povrchom S. Pomocou princípu superpozície elektrických polí môžeme písať
Kde q- algebraický súčet N nábojov, čo sa zhoduje s výrazom (33.1).
Gaussova veta umožňuje v niektorých prípadoch veľmi jednoducho určiť silu v akomkoľvek bode elektrického poľa.
Príklad 33.1. Máme nekonečnú rovnomerne nabitú rovinu s hustota povrchu náboj σ. Určte napätie O existuje E X z lietadla.
Nakreslíme Gaussovu uzavretú plochu cez bod záujmu S vo forme valca symetrického voči rovine tak, že bod je umiestnený na základni valca (obr. 32.2). Nájdite vektorový tok cez Gaussovu plochu:
Kde S základné - plocha základne valca. Pri integrácii sme brali do úvahy, že vektorový tok bočnou plochou valca je nulový (vektorové čiary touto plochou neprenikajú) a pre všetky body podstavy valca platí α = 0 resp. E= konšt.
Podľa Gaussovej vety
kde je rovinný náboj sústredený vo vnútri valca. Poďme ho nájsť. Podľa definície hustota povrchového náboja
V prípade rovnomerne nabitej roviny (σ = const) môžeme písať
(z obr. 33.2 je zrejmé, že náboj je sústredený na časti roviny s plochou S hlavný), odkiaľ
(33.4)
Dosadením výrazov (33.2) a (33.4) do vzťahu (33.3) dostaneme
Z výrazu (33.5) je zrejmé, že E nezávisí od vzdialenosti X z nabitej roviny, t.j.
Preto je elektrické pole vytvorené nekonečnou rovnomerne nabitou rovinou rovnomerné.
Príklad 33.2. Máme rovnomerne nabitú guľu s hustotou povrchového náboja σ. Polomer gule R. Určte napätie O existuje E elektrické pole na diaľku r od stredu gule.
(z obr. 33.3 je zrejmé, že vnútri Gaussovho povrchu nie je žiadny náboj), čo znamená, že
V dôsledku toho je vo vnútri nabitej gule napätie E elektrické pole je nulové.
Teraz definujme E v bode mimo nabitej gule ( r> R). Nech je guľa kladne nabitá. Vďaka symetrii je vektor E Pole vytvorené guľou v bode nášho záujmu smeruje radiálne od stredu gule.
E= konšt.
Podľa Gaussovej vety
Z obr. 33.3 je zrejmé, že nabitá guľa sa nachádza vo vnútri Gaussovho povrchu a teda aj náboja q ext. rovná sa poplatku q sf. gule. V prípade rovnomerne nabitej gule (σ = const) môžeme písať
(33.8)
Dosadením výrazov (33.6) a (33.8) do vzťahu (33.7) dostaneme
Preto to napätie E pole mimo nabitej gule so vzdialenosťou klesá r. Grafická závislosť E(r) elektrického poľa rovnomerne nabitej gule je znázornená na obr. 33.4.
Príklad 33.3. Máme rovnomerne nabitú guľu s objemovou hustotou náboja ρ. Polomer lopty R. Určte napätie O existuje E elektrické pole na diaľku r od stredu lopty.
Pri integrácii sme brali do úvahy, že pre všetky body Gaussovej gule platí α = 0 a E= konšt.
Podľa Gaussovej vety
kde je náboj časti gule sústredený vo vnútri Gaussovej gule. Poďme ho nájsť. Podľa definície hustota objemového náboja
V prípade rovnomerne nabitej gule (ρ = const) môžeme písať
kde je objem gule vo vnútri Gaussovej gule. Z výrazu (33.12) nájdeme
(33.13)
Dosadením výrazov (33.10) a (33.13) do vzťahu (33.11) dostaneme
Ak sa do priestoru obklopujúceho elektrický náboj zavedie ďalší náboj, potom naň bude pôsobiť Coulombova sila; To znamená, že v priestore obklopujúcom elektrické náboje sú silové pole. Podľa koncepcií modernej fyziky pole skutočne existuje a spolu s hmotou je jednou z foriem existencie hmoty, prostredníctvom ktorej sa uskutočňujú určité interakcie medzi makroskopickými telesami alebo časticami, ktoré tvoria látku. V tomto prípade hovoríme o elektrickom poli – poli, cez ktoré interagujú elektrické náboje. Uvažujeme elektrické polia, ktoré vznikajú stacionárnymi elektrickými nábojmi a sú tzv elektrostatické.
Používa sa na detekciu a experimentálne štúdium elektrostatického poľa skúšobné miesto kladný náboj - taký poplatok, ktorý neskresľuje študovaný odbor (nespôsobuje prerozdelenie poplatkov vytvárajúcich odbor). Ak v poli vytvorenom poplatkom Q, vykonať skúšobný náboj Q 0, potom naň pôsobí sila F rozdielne v rôznych bodoch poľa, ktoré je podľa Coulombovho zákona úmerné skúšobnému náboju Q 0 Preto pomer F/ Q 0 nezávisí od Q 0 a charakterizuje elektrostatické pole v mieste, kde sa nachádza testovací náboj. Táto veličina sa nazýva napätie a je silová charakteristika elektrostatického poľa.
Intenzita elektrostatického poľa v tomto bode existuje fyzikálne množstvo určená silou pôsobiacou na kladný náboj skúšobnej jednotky umiestnený v tomto bode poľa:
Sila poľa bodového náboja vo vákuu
Smer vektora E sa zhoduje so smerom sily pôsobiacej na kladný náboj. Ak je pole vytvorené kladným nábojom, potom vektor E smeruje pozdĺž vektora polomeru z náboja do vonkajšieho priestoru (odpudzovanie testovaného kladného náboja); ak je pole vytvorené záporný náboj, potom vektor E smeruje k náboju (obr.).
Jednotkou intenzity elektrostatického poľa je newton na coulomb (N/C): 1 N/C je intenzita poľa, ktoré pôsobí na bodový náboj 1 C silou 1 N; 1 N/C = 1 V/m, kde V (volt) je jednotka potenciálu elektrostatického poľa. Graficky je elektrostatické pole znázornené pomocou napínacie línie - priamky, ktorých dotyčnice sa v každom bode zhodujú so smerom vektora E (obr.).
Pretože v akomkoľvek danom bode v priestore má vektor napätia iba jeden smer, čiary napätia sa nikdy nepretínajú. Pre jednotné pole(keď je vektor napätia v ktoromkoľvek bode konštantný čo do veľkosti a smeru), čiary napätia sú rovnobežné s vektorom napätia. Ak je pole vytvorené bodovým nábojom, potom sú čiary intenzity radiálne priamky vychádzajúce z náboja, ak je kladný (obr. A), a sú v ňom zahrnuté, ak je náboj záporný (obr. b). Grafický spôsob znázornenia elektrostatického poľa je pre svoju veľkú prehľadnosť široko používaný v elektrotechnike.
Aby bolo možné použiť ťahové čiary na charakterizáciu nielen smeru, ale aj hodnoty intenzity elektrostatického poľa, bolo dohodnuté kresliť ich s určitou hustotou: počtom ťahových čiar prenikajúcich jednotkovou povrchovou plochou kolmo na napätie. čiary sa musia rovnať modulu vektora E. Potom počet ťahových čiar prenikajúcich elementárnou plochou d S, normálne n ktorý zviera s vektorom uhol a E, rovná sa E d Scos a = E n d S, Kde E p-vektorová projekcia E do normálu n na miesto d S(ryža.).
Hodnota dФ E =E n dS= E dS sa volá vektorový tok napätia cez platformu d S. Tu d S=d Sn- vektor, ktorého modul je d S, a smer sa zhoduje so smerom normály n na stránku. Výber smeru vektora n(a preto d S) je podmienená, pretože môže byť nasmerovaná akýmkoľvek smerom. Jednotkou toku vektora intenzity elektrostatického poľa je 1 V×m.
Pre ľubovoľný uzavretý povrch S vektorový tok E cez tento povrch
,
kde sa integrál preberá cez uzavretú plochu S. Vektor toku E je algebraické množstvo: závisí nielen od konfigurácie poľa E, ale aj na voľbe smeru n. Pre uzavreté povrchy sa berie kladný smer normály vonkajší normál, teda normála smerujúca von do oblasti pokrytej povrchom.
Na Coulombove sily sa uplatňuje princíp nezávislosti silového pôsobenia, t.j. výsledná sila F pôsobiaca z poľa na skúšobný náboj Q 0 sa rovná vektorovému súčtu síl Fi, ktoré naň pôsobia od každého z nábojov Q i: . F = Q 0 E a F i = Q 0 E i, kde E je sila výsledného poľa a E i je sila poľa vytvoreného nábojom Q i. Nahradením tohto výrazu vyššie dostaneme . Tento vzorec vyjadruje princíp superpozície (uloženia) elektrostatických polí, podľa ktorého sila E výsledného poľa vytvoreného sústavou nábojov sa rovná geometrickému súčtu intenzít polí vytvorených v danom bode každým z nábojov. oddelene.
Princíp superpozície je použiteľný na výpočet elektrostatického poľa elektrického dipólu. Elektrický dipól je systém dvoch opačných bodových nábojov rovnakej veľkosti (+Q, –Q), ktorých vzdialenosť l je podstatne menšia ako vzdialenosť uvažovaných bodov poľa. Podľa princípu superpozície sila E dipólového poľa v ľubovoľnom bode 
, kde E+ a E– sú intenzity poľa vytvorené kladnými a zápornými nábojmi.
Každý elektrický náboj je obklopený elektrickým poľom. V dôsledku dlhodobého výskumu fyzici dospeli k záveru, že k interakcii nabitých telies dochádza v dôsledku elektrických polí, ktoré ich obklopujú. Sú špeciálnou formou hmoty, ktorá je neoddeliteľne spojená s každým nabíjačka.
Štúdium elektrického poľa sa uskutočňuje zavedením malých nabitých telies do neho. Tieto orgány sa nazývajú „testovacie nálože“. Napríklad nabitá korková guľa sa často používa ako testovací náboj.
Pri zavedení skúšobného náboja do elektrického poľa telesa, ktoré má kladný náboj, sa ľahká kladne nabitá korková guľa pod jeho vplyvom vychýli tým viac, čím bližšie ju k telu približujeme.
Pri pohybe skúšobného náboja v elektrickom poli ľubovoľného nabitého telesa ľahko zistíte, že sila, ktorá naň pôsobí, bude na rôznych miestach rôzna.
Keď teda umiestnite skúšobné kladné náboje rôznych veľkostí q1, q2, q3, ..., qn postupne do jedného bodu poľa, možno zistiť, že sily, ktoré na ne pôsobia, F1, F2, F3, ..., Fn , sú rôzne, ale pomer sily k veľkosti určitého náboja pre takýto bod v poli sa nemení:
F1/q1 = F2/q2 = F3/q3 = … = Fn/qn.
Ak budeme týmto spôsobom skúmať rôzne body poľa, dostaneme nasledujúci záver: pre každý jednotlivý bod v elektrickom poli je pomer veľkosti sily pôsobiacej na skúšobný náboj k veľkosti takéhoto náboja nezmenený. a bez ohľadu na veľkosť skúšobného náboja.
Z toho vyplýva, že veľkosť tohto pomeru charakterizuje elektrické pole v ľubovoľnom bode. Množstvo, ktoré sa meria pomerom sily pôsobiacej na kladný náboj umiestnený v tomto bode poľa k veľkosti náboja, je intenzita elektrického poľa:
Ako je zrejmé z jeho definície, rovná sa sile, ktorá pôsobí na jednotku kladného náboja umiestnenú v určitom bode poľa.
Jednotka intenzity elektrického poľa pôsobí na náboj veľkosti jednej elektrostatickej jednotky silou jedného dyna. Táto jednotka sa nazýva jednotka absolútneho elektrostatického napätia.
Na určenie intenzity elektrického poľa akéhokoľvek bodového náboja q v ľubovoľnom bode poľa A daného náboja, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r1 od neho, je potrebné umiestniť skúšobný náboj q1 do tohto ľubovoľného bodu a vypočítať silu Fa. ktorý naň pôsobí (pre vákuum).
Fa = (q1q)/r21.
Ak vezmeme pomer veľkosti sily, ktorá ovplyvňuje náboj, k jeho hodnote q1, potom môžeme vypočítať intenzitu elektrického poľa v bode A:
Okrem toho môžete nájsť napätie v ľubovoľnom bode B; bude sa rovnať:
Preto intenzita elektrického poľa bodového náboja v určitom bode poľa (vo vákuu) bude priamo úmerná veľkosti daného náboja a nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti medzi týmto nábojom a bodom.
Intenzita poľa pôsobí ako jeho výkonová charakteristika. Keď to poznáme v ľubovoľnom bode poľa E, je ľahké vypočítať silu F pôsobiacu na náboj q v danom bode:
Polia – Smer napätia v každom konkrétnom bode v poli bude zarovnaný so smerom sily pôsobiacej na kladný náboj umiestnený v bode.
Keď je pole tvorené niekoľkými nábojmi: q1 a q2, intenzita E v ktoromkoľvek bode A tohto poľa sa bude rovnať geometrickému súčtu intenzity E1 a E2 vytvorenej v danom bode oddelene nábojmi q1 a q2.
Intenzitu elektrického poľa v ľubovoľnom bode možno graficky zobraziť pomocou smerovaného segmentu, ktorý vychádza z tohto bodu, podobne ako pri znázornení sily a iných vektorových veličín.
