Bendras piramidės šoninio paviršiaus plotas susideda iš jos šoninių paviršių plotų sumos.
Keturkampėje piramidėje yra dviejų tipų paviršiai – keturkampis prie pagrindo ir trikampiai su bendra viršūne, kurie sudaro šoninį paviršių.
Pirmiausia turite apskaičiuoti šoninių paviršių plotą. Norėdami tai padaryti, galite naudoti trikampio ploto formulę arba taip pat galite naudoti keturkampės piramidės paviršiaus ploto formulę (tik jei daugiakampis yra taisyklingas). Jei piramidė yra taisyklinga ir žinomas pagrindo kraštinės a ilgis ir į ją nubrėžtas apotemas h, tai:
Jei pagal sąlygas yra nurodytas taisyklingos piramidės briaunos c ilgis ir pagrindo kraštinės ilgis a, tada reikšmę galite rasti naudodami šią formulę: 
Jei nurodytas krašto ilgis prie pagrindo ir priešingas aštrus kampas viršūnėje, tada šoninio paviršiaus plotas gali būti apskaičiuojamas pagal kraštinės a kvadrato santykį su dvigubu kosinusu iš pusės kampo α: 
Panagrinėkime keturkampės piramidės paviršiaus ploto per šoninį kraštą ir pagrindo kraštą apskaičiavimo pavyzdį.
Užduotis: duokime taisyklingą keturkampę piramidę. Krašto ilgis b = 7 cm, pagrindo kraštinės ilgis a = 4 cm. Pateiktas reikšmes pakeiskite į formulę:
Mes parodėme taisyklingos piramidės vieno šoninio paviršiaus ploto skaičiavimus. Atitinkamai. Norėdami rasti viso paviršiaus plotą, turite padauginti rezultatą iš veidų skaičiaus, tai yra iš 4. Jei piramidė yra savavališka ir jos paviršiai nėra lygūs vienas kitam, tada reikia apskaičiuoti plotą. kiekvienai atskirai pusei. Jei pagrindas yra stačiakampis arba lygiagretainis, tuomet verta prisiminti jų savybes. Šių figūrų kraštinės yra lygiagrečios poromis, todėl piramidės veidai poromis taip pat bus identiški.
Keturkampės piramidės pagrindo ploto formulė tiesiogiai priklauso nuo to, kuris keturkampis yra prie pagrindo. Jei piramidė yra teisinga, tada pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal formulę, jei pagrindas yra rombas, tada turėsite prisiminti, kaip jis yra. Jei prie pagrindo yra stačiakampis, tada jo plotą rasti bus gana paprasta. Pakanka žinoti pagrindo kraštų ilgius. Panagrinėkime keturkampės piramidės pagrindo ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Uždavinys: Duota piramidė, kurios pagrinde yra stačiakampis, kurio kraštinės a = 3 cm, b = 5 cm. Nuo piramidės viršaus į kiekvieną iš kraštinių nuleidžiamas apotemas. h-a =4 cm, h-b =6 cm Piramidės viršūnė yra toje pačioje tiesėje kaip ir įstrižainių susikirtimo taškas. Raskite bendrą piramidės plotą.
Keturkampės piramidės ploto formulė susideda iš visų paviršių plotų ir pagrindo ploto sumos. Pirmiausia suraskime pagrindo plotą: 
Dabar pažvelkime į piramidės šonus. Jie yra identiški poromis, nes piramidės aukštis kerta įstrižainių susikirtimo tašką. Tai yra, mūsų piramidėje yra du trikampiai, kurių pagrindas a ir aukštis h-a, taip pat du trikampiai su pagrindu b ir aukštis h-b. Dabar suraskime trikampio plotą naudodami gerai žinomą formulę: 
Dabar atlikime keturkampės piramidės ploto apskaičiavimo pavyzdį. Mūsų piramidėje su stačiakampiu prie pagrindo formulė atrodytų taip:
yra figūra, kurios pagrindas yra savavališkas daugiakampis, o šoniniai paviršiai pavaizduoti trikampiais. Jų viršūnės yra tame pačiame taške ir atitinka piramidės viršūnę.
Piramidė gali būti įvairi – trikampė, keturkampė, šešiakampė ir kt. Jo pavadinimą galima nustatyti priklausomai nuo kampų, esančių greta pagrindo, skaičiaus.
Dešinioji piramidė vadinama piramide, kurios pagrindo kraštinės, kampai ir briaunos yra lygios. Taip pat tokioje piramidėje šoninių paviršių plotas bus lygus.
Piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra visų jos paviršių plotų suma:
Tai yra, norint apskaičiuoti savavališkos piramidės šoninio paviršiaus plotą, reikia rasti kiekvieno atskiro trikampio plotą ir juos sudėti. Jei piramidė yra sutrumpinta, tada jos veidai pavaizduoti trapecijos forma. Yra ir kita taisyklingos piramidės formulė. Jame šoninio paviršiaus plotas apskaičiuojamas per pagrindo pusiau perimetrą ir apotemos ilgį:
Panagrinėkime piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Tegu yra taisyklinga keturkampė piramidė. Bazinė pusė b= 6 cm, apothem a= 8 cm. Raskite šoninio paviršiaus plotą.
Taisyklingos keturkampės piramidės pagrinde yra kvadratas. Pirmiausia suraskime jo perimetrą:
Dabar galime apskaičiuoti mūsų piramidės šoninio paviršiaus plotą: 
Norėdami rasti bendrą daugiakampio plotą, turėsite rasti jo pagrindo plotą. Piramidės pagrindo ploto formulė gali skirtis priklausomai nuo to, kuris daugiakampis yra pagrinde. Norėdami tai padaryti, naudokite trikampio ploto formulę, lygiagretainio plotas ir tt
Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti piramidės pagrindo plotą, pateiktą mūsų sąlygomis. Kadangi piramidė yra taisyklinga, jos apačioje yra kvadratas.
Kvadrato plotas apskaičiuojamas pagal formulę: ,
kur a yra kvadrato kraštinė. Mums tai yra 6 cm. Tai reiškia, kad piramidės pagrindo plotas yra: 
Dabar belieka rasti bendrą daugiakampio plotą. Piramidės ploto formulė susideda iš jos pagrindo ir šoninio paviršiaus plotų sumos.
Apibrėžimas. Šoninis kraštas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramidės viršuje, o priešinga pusė sutampa su pagrindo (daugiakampio) kraštine.
Apibrėžimas. Šoniniai šonkauliai- tai yra bendros šoninių paviršių pusės. Piramidė turi tiek briaunų, kiek daugiakampio kampų.
Apibrėžimas. Piramidės aukštis- tai statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.
Apibrėžimas. Apotema- tai statmenas piramidės šoniniam paviršiui, nuleistas nuo piramidės viršaus į pagrindo šoną.
Apibrėžimas. Įstrižainė pjūvis- tai piramidės atkarpa plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę.
Apibrėžimas. Teisinga piramidė yra piramidė, kurioje yra pagrindas taisyklingas daugiakampis, o aukštis nukrenta iki pagrindo centro.
Piramidės tūris ir paviršiaus plotas
Formulė. Piramidės tūris per pagrindo plotą ir aukštį:
Piramidės savybės
Jei visos šoninės briaunos lygios, tai aplink piramidės pagrindą galima nubrėžti apskritimą, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat iš viršaus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centrą.
Jei visi šoniniai kraštai yra vienodi, tada jie yra pasvirę į pagrindo plokštumą tais pačiais kampais.
Šoninės briaunos yra lygios, kai sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada į piramidės pagrindą galima įrašyti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jo centrą.
Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada šoninių paviršių apotemos yra lygios.
Taisyklingos piramidės savybės
1. Piramidės viršus yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo kampų.
2. Visos šoninės briaunos lygios.
3. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę vienodais kampais į pagrindą.
4. Visų šoninių paviršių apotemos yra lygios.
5. Visų šoninių paviršių plotai lygūs.
6. Visi paviršiai turi vienodus dvikampius (plokščius) kampus.
7. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą. Apribotos sferos centras bus statmenų, einančių per kraštinių vidurį, susikirtimo taškas.
8. Į piramidę galite sutalpinti rutulį. Įbrėžtos sferos centras bus iš kampo tarp briaunos ir pagrindo kylančių bisektorių susikirtimo taškas.
9. Jei įbrėžto rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plokštumos kampų suma viršūnėje yra lygi π arba atvirkščiai, vienas kampas lygus π/n, kur n yra skaičius kampų piramidės pagrinde.
Piramidės ir sferos ryšys
Aplink piramidę galima apibūdinti sferą, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Rutulio centras bus plokštumų, einančių statmenai per piramidės šoninių kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas.
Visada galima apibūdinti sferą aplink bet kurią trikampę ar taisyklingą piramidę.
Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta viename taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.
Piramidės sujungimas su kūgiu
Sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra įrašytas į piramidės pagrindą.
Į piramidę galima įrašyti kūgį, jei piramidės apotemai yra lygūs vienas kitam.
Sakoma, kad kūgis yra apibrėžiamas aplink piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra aplink piramidės pagrindą.
Aplink piramidę galima apibūdinti kūgį, jei visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai.
Piramidės ir cilindro ryšys
Piramidė vadinama įbrėžta į cilindrą, jei piramidės viršūnė yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramidės pagrindas yra įbrėžtas kitame cilindro pagrinde.
Cilindras gali būti apibūdintas aplink piramidę, jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
Tetraedras turi keturis paviršius ir keturias viršūnes bei šešias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendrų viršūnių, bet nesiliečia.
Kiekviena viršūnė susideda iš trijų formuojančių paviršių ir briaunų trikampio kampo.
Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).
Bimedian vadinama atkarpa, jungiančia priešingų kraštinių, kurie nesiliečia, vidurio taškus (KL).
Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename taške (S). Šiuo atveju bimedianos dalijamos per pusę, o medianos – santykiu 3:1, pradedant nuo viršaus.
Apibrėžimas. Smailaus kampo piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra daugiau nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.
Apibrėžimas. Bukoji piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra mažesnis nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.
Apibrėžimas. Taisyklingas tetraedras- tetraedras, kurio visi keturi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Tai vienas iš penkių taisyklingų daugiakampių. Įprastame tetraedre visi dvikampiai kampai (tarp paviršių) ir trikampiai kampai (viršūnėje) yra lygūs.
Apibrėžimas. Stačiakampis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio viršūnėje tarp trijų kraštinių yra stačiakampis (kraštinės statmenos). Susidaro trys veidai stačiakampis trikampis kampas o kraštai yra stačiųjų trikampių, o pagrindas yra savavališkas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kraštinės.
Apibrėžimas. Izoedrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio šoniniai paviršiai yra lygūs vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingasis trikampis. Toks tetraedras turi lygiašonius trikampius.
Apibrėžimas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kuriame visi aukščiai (statmenys), nuleisti iš viršaus į priešingą paviršių, susikerta viename taške.
Apibrėžimas. Žvaigždžių piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra žvaigždė.
Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!
Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.
Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.
Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.
Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.
Prieš tyrinėdami klausimus apie šią geometrinę figūrą ir jos savybes, turėtumėte suprasti kai kuriuos terminus. Išgirdęs apie piramidę žmogus įsivaizduoja didžiulius pastatus Egipte. Taip atrodo patys paprasčiausi. Bet jų būna skirtingi tipai ir formos, o tai reiškia, kad geometrinių figūrų skaičiavimo formulė skirsis.
Figūros tipai
piramidė - geometrinė figūra , žymintys ir atstovaujantys kelis veidus. Iš esmės tai yra tas pats daugiakampis, kurio pagrindu yra daugiakampis, o šonuose yra trikampiai, kurie jungiasi viename taške - viršūnėje. Figūra būna dviejų pagrindinių tipų:
- teisingas;
- sutrumpintas.
Pirmuoju atveju pagrindas yra taisyklingas daugiakampis. Čia visi šoniniai paviršiai yra lygūs tarp savęs ir pačios figūros patiks perfekcionisto akį.
Antruoju atveju yra du pagrindai – didelis pačiame apačioje ir mažas tarp viršaus, kartojantis pagrindinio formą. Kitaip tariant, nupjauta piramidė yra daugiakampis, kurio skerspjūvis suformuotas lygiagrečiai pagrindui.
Terminai ir simboliai
Pagrindiniai terminai:
- Taisyklingas (lygiakrais) trikampis- figūra su trimis vienodais kampais ir lygiomis kraštinėmis. Šiuo atveju visi kampai yra 60 laipsnių. Figūra yra paprasčiausia iš įprastų daugiakampių. Jei šis skaičius yra prie pagrindo, toks daugiakampis bus vadinamas taisyklingu trikampiu. Jei pagrindas yra kvadratas, piramidė bus vadinama taisyklinga keturkampe piramide.
- Viršūnė– aukščiausias taškas, kur susikerta kraštai. Viršūnės aukštį sudaro tiesi linija, besitęsianti nuo viršūnės iki piramidės pagrindo.
- Kraštas– viena iš daugiakampio plokštumų. Jis gali būti trikampio formos, jei tai trikampė piramidė, arba trapecijos formos nupjauta piramidė.
- Skyrius – plokščia figūra, susidaręs dėl skrodimo. Jo nereikėtų painioti su skyriumi, nes sekcija taip pat parodo, kas yra už skyriaus.
- Apotema- segmentas, nubrėžtas nuo piramidės viršaus iki jos pagrindo. Tai taip pat yra veido aukštis, kuriame yra antrasis aukščio taškas. Šis apibrėžimas galioja tik taisyklingo daugiakampio atžvilgiu. Pavyzdžiui, jei tai nėra nupjauta piramidė, veidas bus trikampis. Šiuo atveju šio trikampio aukštis taps apotema.
Ploto formulės
Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą bet kokio tipo galima atlikti keliais būdais. Jei figūra nėra simetriška ir yra daugiakampis su skirtingomis kraštinėmis, tokiu atveju lengviau apskaičiuoti bendrą paviršiaus plotą per visų paviršių visumą. Kitaip tariant, turite apskaičiuoti kiekvieno veido plotą ir pridėti juos kartu.
Atsižvelgiant į tai, kokie parametrai yra žinomi, gali prireikti kvadrato, trapecijos, savavališko keturkampio ir kt. Pačios formulės skirtingų atvejų taip pat turės skirtumų.
Įprastos figūros atveju plotą rasti daug lengviau. Pakanka žinoti tik kelis pagrindinius parametrus. Daugeliu atvejų skaičiavimai reikalingi būtent tokiems skaičiams. Todėl atitinkamos formulės bus pateiktos žemiau. Priešingu atveju tektų viską surašyti per kelis puslapius, o tai tik suklaidintų ir suklaidintų.
Pagrindinė skaičiavimo formulė Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas bus toks:
S = ½ Pa (P yra pagrindo perimetras ir apotemas)
Pažvelkime į vieną pavyzdį. Daugiakampis turi pagrindą su atkarpomis A1,A2,A3,A4,A5,ir visi jie lygūs 10cm.Tegul apotemas lygus 5cm.Pirmiausia reikia rasti perimetrą. Kadangi visi penki pagrindo paviršiai yra vienodi, galite jį rasti taip: P = 5 * 10 = 50 cm Toliau taikome pagrindinę formulę: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm kvadratu.
Taisyklingos trikampės piramidės šoninis paviršiaus plotas lengviausia apskaičiuoti. Formulė atrodo taip:
S =½* ab *3, kur a yra apotemas, b yra pagrindo paviršius. Trijų koeficientas čia reiškia pagrindo veidų skaičių, o pirmoji dalis yra šoninio paviršiaus plotas. Pažiūrėkime į pavyzdį. Duota figūra, kurios apotemas 5 cm ir pagrindo briauna 8 cm Skaičiuojame: S = 1/2*5*8*3=60 cm kvadratu.
Nupjautos piramidės šoninis paviršiaus plotas Tai šiek tiek sunkiau apskaičiuoti. Formulė atrodo taip: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, kur p_01 ir p_02 yra bazių perimetrai ir yra apotemas. Pažiūrėkime į pavyzdį. Tarkime, kad keturkampei figūrai pagrindų kraštinių matmenys yra 3 ir 6 cm, o apotemos - 4 cm.
Čia pirmiausia reikia rasti pagrindų perimetrus: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Belieka reikšmes pakeisti į pagrindinę formulę ir gauname: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm kvadratu.
Taigi galite rasti bet kokio sudėtingumo taisyklingos piramidės šoninį paviršiaus plotą. Turėtumėte būti atsargūs ir nesupainiotišiuos skaičiavimus su visu daugiakampio plotu. Ir jei jums vis tiek reikia tai padaryti, tiesiog apskaičiuokite didžiausio daugiakampio pagrindo plotą ir pridėkite jį prie daugiakampio šoninio paviršiaus ploto.
Vaizdo įrašas
Šis vaizdo įrašas padės jums konsoliduoti informaciją apie tai, kaip rasti skirtingų piramidžių šoninio paviršiaus plotą.
