আসলে, সবকিছু এতটা ভীতিকর নয়। অবশ্যই, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের "বাস্তব" সংজ্ঞা নিবন্ধে দেখা উচিত। কিন্তু আমি সত্যিই চাই না, তাই না? আমরা আনন্দ করতে পারি: একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে সমস্যাগুলি সমাধান করতে, আপনি কেবল নিম্নলিখিত সাধারণ জিনিসগুলি পূরণ করতে পারেন:
কোণ সম্পর্কে কি? কোণার বিপরীতে একটি পা আছে, অর্থাৎ, একটি বিপরীত (কোণের জন্য) পা? অবশ্যই আছে! এই একটা পা!
কোণ সম্পর্কে কি? সতর্কতার. কোন পা কোণ সংলগ্ন? অবশ্যই, পা। এর মানে হল যে কোণের জন্য পা সংলগ্ন, এবং
এখন, মনোযোগ দিন! আমরা কি পেয়েছি তা দেখুন:
দেখুন এটি কতটা শীতল:
এখন চলুন স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টে যাওয়া যাক।
এখন কথায় কথায় কিভাবে লিখব? কোণের সাথে পা কী? বিপরীত, অবশ্যই - এটি কোণার বিপরীতে "মিথ্যা"। পা সম্পর্কে কি? কোণ ঘেঁষে। তাহলে আমরা কি পেয়েছি?
দেখুন কিভাবে লব এবং হর স্থান পরিবর্তন করেছে?
এবং এখন আবার কোণগুলি এবং একটি বিনিময় করেছে:
সারসংক্ষেপ
আসুন আমরা যা শিখেছি তা সংক্ষেপে লিখি।
 |
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য: |
সম্পর্কে প্রধান উপপাদ্য সঠিক ত্রিভুজ- পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য
যাইহোক, আপনি কি ভাল মনে রাখবেন পা এবং কর্ণ কি? যদি খুব ভাল না হয়, তাহলে ছবিটি দেখুন - আপনার জ্ঞান রিফ্রেশ করুন
এটা খুবই সম্ভব যে আপনি ইতিমধ্যেই বহুবার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করেছেন, কিন্তু আপনি কি কখনও ভেবে দেখেছেন কেন এমন একটি উপপাদ্য সত্য? আমি কিভাবে এটা প্রমাণ করতে পারি? আসুন প্রাচীন গ্রীকদের মত করি। এর একটি পাশ দিয়ে একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন।
দেখুন কত চতুরতার সাথে আমরা এর দিকগুলোকে দৈর্ঘ্যে ভাগ করেছি এবং!
এখন চিহ্নিত বিন্দু সংযোগ করা যাক
এখানে আমরা অবশ্য অন্য কিছু উল্লেখ করেছি, তবে আপনি নিজেই অঙ্কনটি দেখুন এবং ভাবুন কেন এটি এমন।
বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ঠিক, .
একটি ছোট এলাকা সম্পর্কে কি?
অবশ্যই, .
চার কোণার মোট এলাকা রয়ে গেছে। কল্পনা করুন যে আমরা তাদের দুজনকে একসাথে নিয়েছি এবং তাদের কর্ণ দিয়ে একে অপরের বিরুদ্ধে ঝুঁকেছি।
কি হলো? দুটি আয়তক্ষেত্র। এর মানে হল "কাট" এর ক্ষেত্রফল সমান।
এখন সব একসাথে করা যাক.
আসুন রূপান্তর করি:
তাই আমরা পিথাগোরাস পরিদর্শন করেছি - আমরা একটি প্রাচীন উপায়ে তার উপপাদ্য প্রমাণ করেছি।
সমকোণী ত্রিভুজ এবং ত্রিকোণমিতি
একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ধারণ করে:
একটি তীব্র কোণের সাইন কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাতের সমান
একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোসাইন কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাতের সমান।
একটি তীক্ষ্ণ কোণের স্পর্শক বিপরীত বাহুর সাথে সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান।
একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট বিপরীত বাহুর সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান।
এবং একবার ট্যাবলেট আকারে এই সব:
এটা খুব আরামদায়ক!
সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন
I. দুই দিকে
২. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা
III. কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা
IV লেগ এবং তীব্র কোণ বরাবর
ক) 
খ) 
মনোযোগ! এটি এখানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে পাগুলি "উপযুক্ত"। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি এই মত যায়:
তাহলে ত্রিভুজ সমান হয় না, তাদের এক অভিন্ন তীব্র কোণ থাকা সত্ত্বেও।
প্রয়োজন উভয় ত্রিভুজে পা ছিল সংলগ্ন, বা উভয় ক্ষেত্রে এটি বিপরীত ছিল.
আপনি কি লক্ষ্য করেছেন কিভাবে সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন ত্রিভুজের সমতার সাধারণ চিহ্ন থেকে আলাদা?
বিষয়টির দিকে নজর দিন "এবং এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে "সাধারণ" ত্রিভুজের সমতার জন্য, তাদের তিনটি উপাদান অবশ্যই সমান হতে হবে: দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যে কোণ, দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যবর্তী দিক বা তিনটি দিক।
কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের সমতার জন্য শুধুমাত্র দুটি সংশ্লিষ্ট উপাদানই যথেষ্ট। মহান, তাই না?
সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণগুলির সাথে পরিস্থিতি প্রায় একই রকম।
সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণ
I. একটি তীব্র কোণ বরাবর
২. দুই দিকে
III. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা
সমকোণী ত্রিভুজে মধ্যমা
কেন এমন হল?
একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিবর্তে, একটি সম্পূর্ণ আয়তক্ষেত্র বিবেচনা করুন।
আসুন একটি তির্যক আঁকুন এবং একটি বিন্দু বিবেচনা করুন - কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু। আপনি একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সম্পর্কে কি জানেন?
এবং এই থেকে অনুসরণ কি?
তাই এটা যে পরিণত
- - মধ্যমা:
এই সত্য মনে রাখবেন! অনেক সাহায্য করে!
আরও আশ্চর্যের বিষয় হল এর বিপরীতটিও সত্য।
কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান এই সত্য থেকে কী লাভ পাওয়া যায়? চলুন ছবিটা দেখি
সতর্কতার. আমাদের আছে: , অর্থাৎ, বিন্দু থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব সমান হয়ে গেছে। কিন্তু ত্রিভুজটিতে শুধুমাত্র একটি বিন্দু রয়েছে, যেখান থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে দূরত্ব সমান, এবং এটি হল বৃত্তের কেন্দ্র। তাহলে কি হলো?
তাহলে এর সাথে শুরু করা যাক "পাশাপাশি..."।
এর তাকান এবং.
কিন্তু অনুরূপ ত্রিভুজ সব সমান কোণ আছে!
একই এবং সম্পর্কে বলা যেতে পারে
এখন একে একসাথে আঁকা যাক:
এই "ট্রিপল" সাদৃশ্য থেকে কি সুবিধা পাওয়া যেতে পারে?
আচ্ছা, যেমন- একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার জন্য দুটি সূত্র।
আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট পক্ষগুলির সম্পর্কগুলি লিখি:
উচ্চতা খুঁজে পেতে, আমরা অনুপাত সমাধান এবং পেতে প্রথম সূত্র "একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা":
ঠিক আছে, এখন, অন্যদের সাথে এই জ্ঞান প্রয়োগ এবং একত্রিত করে, আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে যে কোনও সমস্যা সমাধান করবেন!
সুতরাং, এর সাদৃশ্য প্রয়োগ করা যাক: .
এখন কি হবে?
আবার আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং দ্বিতীয় সূত্রটি পাই:
আপনাকে এই দুটি সূত্র খুব ভালভাবে মনে রাখতে হবে এবং যেটি আরও সুবিধাজনক তা ব্যবহার করতে হবে।
আসুন আবার সেগুলি লিখি
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য:
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান: .
সমকোণী ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ:
- দুই দিকে:
- পা এবং কর্ণ দ্বারা: বা
- পা এবং সংলগ্ন তীব্র কোণ বরাবর: বা
- পা বরাবর এবং বিপরীত তীব্র কোণ: বা
- কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা: বা.
সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণ:
- একটি তীব্র কোণ: বা
- দুই পায়ের সমানুপাতিকতা থেকে:
- পা এবং কর্ণের সমানুপাতিকতা থেকে: বা।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাত:
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত:
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের স্পর্শক হল সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত:
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীক্ষ্ণ কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট হল বিপরীত বাহুর সংলগ্ন বাহুর অনুপাত: .
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা: বা।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান: .
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
- পায়ের মাধ্যমে:
ত্রিভুজ।
মৌলিক ধারণা.
ত্রিভুজতিনটি অংশ এবং তিনটি বিন্দু নিয়ে গঠিত একটি চিত্র যা একই সরলরেখায় থাকে না।
সেগমেন্ট বলা হয় দলগুলি, এবং পয়েন্ট হল চূড়া.
কোণের সমষ্টিত্রিভুজ 180º।
ত্রিভুজের উচ্চতা।
ত্রিভুজ উচ্চতা- এটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত দিকে আঁকা একটি লম্ব।
একটি তীব্র ত্রিভুজে, উচ্চতা ত্রিভুজের মধ্যে থাকে (চিত্র 1)।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, পা হল ত্রিভুজের উচ্চতা (চিত্র 2)।
একটি স্থূল ত্রিভুজে, উচ্চতা ত্রিভুজের বাইরে প্রসারিত হয় (চিত্র 3)।
একটি ত্রিভুজের উচ্চতার বৈশিষ্ট্য:
একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক।
একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক- এটি একটি সেগমেন্ট যা শীর্ষবিন্দুর কোণটিকে অর্ধেক ভাগ করে এবং শীর্ষবিন্দুটিকে বিপরীত দিকের একটি বিন্দুতে সংযুক্ত করে (চিত্র 5)।
দ্বিখণ্ডিত বৈশিষ্ট্য:
একটি ত্রিভুজের মধ্যক।
একটি ত্রিভুজের মধ্যক- এটি একটি সেগমেন্ট যা শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত দিকের মাঝখানের সাথে সংযুক্ত করে (চিত্র 9a)।
| মধ্যকার দৈর্ঘ্য সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: 2খ 2 + 2গ 2 - ক 2 কোথায় মি ক- পাশে টানা মধ্যমা ক. একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যকটি কর্ণের অর্ধেক সমান: গ কোথায় মি গ- মধ্যমা কর্ণের দিকে টানা গ(চিত্র.9c) ত্রিভুজের মধ্যকগুলি এক বিন্দুতে (ত্রিভুজের ভরের কেন্দ্রে) ছেদ করে এবং শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে 2:1 অনুপাতে এই বিন্দু দ্বারা বিভক্ত। অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দু থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত অংশটি কেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের পাশের অংশের চেয়ে দ্বিগুণ বড় (চিত্র 9c)। একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যক একে ছয়টি সমান ত্রিভুজে ভাগ করে। |
ত্রিভুজের মাঝের রেখা।
ত্রিভুজের মাঝের রেখা- এটি একটি সেগমেন্ট যা এর দুই বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযুক্ত করে (চিত্র 10)।
ত্রিভুজের মাঝের রেখাটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং এর অর্ধেকের সমান
একটি ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণ।
বাহ্যিক কোণএকটি ত্রিভুজ দুটি অ-সংলগ্ন অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টির সমান (চিত্র 11)।
একটি ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণ যেকোনো অ-সংলগ্ন কোণের চেয়ে বড়।
সঠিক ত্রিভুজ.
সঠিক ত্রিভুজএকটি ত্রিভুজ যার একটি সমকোণ রয়েছে (চিত্র 12)।
সমকোণের বিপরীত সমকোণ ত্রিভুজের বাহুকে বলে কর্ণ.
অন্য দুই পক্ষকে ডাকা হয় পাগুলো.
সমকোণী ত্রিভুজের সমানুপাতিক অংশ।
1) একটি সমকোণ ত্রিভুজে, সমকোণ থেকে আঁকা উচ্চতা তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজ গঠন করে: ABC, ACH এবং HCB (চিত্র 14a)। তদনুসারে, উচ্চতা দ্বারা গঠিত কোণগুলি A এবং B কোণের সমান।
Fig.14a
দ্বিসমত্রিভুজ.
দ্বিসমত্রিভুজএকটি ত্রিভুজ যার দুটি বাহু সমান (চিত্র 13)।
এই সমান দিকগুলিকে বলা হয় পক্ষই, এবং তৃতীয় - ভিত্তিত্রিভুজ
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ভিত্তি কোণগুলি সমান। (আমাদের ত্রিভুজে, কোণ A কোণ C এর সমান)।
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ভিত্তির দিকে টানা মধ্যকটি দ্বিখণ্ডক এবং ত্রিভুজের উচ্চতা উভয়ই।
সমবাহু ত্রিভুজ.
একটি সমবাহু ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার সমস্ত বাহু সমান (চিত্র 14)।
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য:
ত্রিভুজের উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য।
ত্রিভুজগুলির অনন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আপনাকে এই আকারগুলির সাথে জড়িত সমস্যাগুলি সফলভাবে সমাধান করতে সহায়তা করবে। এই বৈশিষ্ট্যগুলির কিছু উপরে বর্ণিত হয়েছে। কিন্তু আমরা সেগুলি আবার পুনরাবৃত্তি করি, তাদের সাথে আরও কয়েকটি বিস্ময়কর বৈশিষ্ট্য যুক্ত করছি:
| 1) 90º, 30º এবং 60º পা কোণ সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে খ, 30º কোণের বিপরীতে থাকা, সমান কর্ণের অর্ধেক। একটি পাক আরো পাখ√3 বার (চিত্র 15 ক) উদাহরণস্বরূপ, যদি লেগ b 5 হয়, তাহলে কর্ণ গঅগত্যা 10, এবং পা সমান ক 5√3 সমান। 2) 90º, 45º এবং 45º কোণ সহ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, কর্ণটি পায়ের চেয়ে √2 গুণ বড় (চিত্র 15) খ) উদাহরণস্বরূপ, যদি পা 5 হয়, তাহলে কর্ণ 5√2 হয়। 3) ত্রিভুজের মাঝের রেখাটি সমান্তরাল বাহুর অর্ধেকের সমান (চিত্র 15) সঙ্গে) উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ত্রিভুজের বাহু 10 হয়, তবে এর সমান্তরাল মধ্যরেখাটি 5। 4) একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের দিকে আঁকা মধ্যমাটি কর্ণের অর্ধেক সমান (চিত্র 9c): মি গ= s/2। 5) একটি ত্রিভুজের মধ্যক, একটি বিন্দুতে ছেদ করে, এই বিন্দু দ্বারা 2:1 অনুপাতে বিভক্ত। অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দু থেকে মধ্যকার ছেদ বিন্দু পর্যন্ত সেগমেন্টটি মধ্যকার ছেদ বিন্দু থেকে ত্রিভুজের পাশের অংশের দ্বিগুণ বড় (চিত্র 9c) 6) একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের মাঝখানে হল পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্র (চিত্র 15) d). |
ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ.
সমতার প্রথম চিহ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দুটি বাহুর সমান হয় এবং অন্য ত্রিভুজের মধ্যবর্তী কোণ হয়, তাহলে এই ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
সমতার দ্বিতীয় চিহ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের একটি বাহু এবং তার সন্নিহিত কোণগুলি অন্য ত্রিভুজের বাহুর এবং এর সন্নিহিত কোণগুলির সমান হয়, তবে এই ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়৷
সাম্যের তৃতীয় চিহ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অন্য ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হয়, তাহলে এই ধরনের ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
ত্রিভুজ অসমতা।
যেকোনো ত্রিভুজে, প্রতিটি বাহু অন্য দুটি বাহুর যোগফলের চেয়ে কম।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান:
গ 2 = ক 2 + খ 2 .
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।
1) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার বাহুর গুণফলের অর্ধেক এবং এই দিকে টানা উচ্চতার সমান:
আহ
এস = ——
2
2) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার বাহুর যেকোনো দুটির গুণফলের অর্ধেক এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান:
1
এস = —
AB ·
A.C. ·
পাপ ক
2
একটি ত্রিভুজ একটি বৃত্তকে ঘিরে।
একটি বৃত্তকে ত্রিভুজে খোদাই করা বলা হয় যদি এটি তার সমস্ত দিককে স্পর্শ করে (চিত্র 16 ক).
একটি বৃত্তে খোদিত একটি ত্রিভুজ।
একটি ত্রিভুজ একটি বৃত্তে খোদাই করা বলা হয় যদি এটি তার সমস্ত শীর্ষবিন্দু দিয়ে স্পর্শ করে (চিত্র 17) ক).
একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট (চিত্র 18)।
সাইনাসতীব্র কোণ এক্স বিপরীত leg to hypotenuse.
এটি নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়: পাপএক্স.
কোসাইনতীব্র কোণ এক্সএকটি সমকোণী ত্রিভুজের অনুপাত সংলগ্ন leg to hypotenuse.
নিম্নরূপ নির্দেশিত: cos এক্স.
স্পর্শকতীব্র কোণ এক্স- এটি সন্নিহিত পাশের বিপরীত দিকের অনুপাত।
এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়: tgএক্স.
কোট্যাঞ্জেন্টতীব্র কোণ এক্স- এটি বিপরীত দিকের সংলগ্ন পাশের অনুপাত।
এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়েছে: ctgএক্স.
নিয়ম:
কোণার বিপরীত পা এক্স, কর্ণ এবং পাপের গুণফলের সমান এক্স:
b = গপাপ এক্স
কোণ সংলগ্ন পা এক্স, কর্ণ এবং cos এর গুণফলের সমান এক্স:
a = গকারণ এক্স
কোণার বিপরীত পা এক্স, tg দ্বারা দ্বিতীয় লেগের গুণফলের সমান এক্স:
b = a tg এক্স
কোণ সংলগ্ন পা এক্স, ctg দ্বারা দ্বিতীয় লেগের গুণফলের সমান এক্স:
a = খ· ctg এক্স.
কোন তীব্র কোণ জন্য এক্স:
পাপ (90° - এক্স) = cos এক্স
cos (90° - এক্স) = পাপ এক্স
সঠিক ত্রিভুজ- এটি একটি ত্রিভুজ যার মধ্যে একটি কোণ সোজা, অর্থাৎ 90 ডিগ্রির সমান।
- সমকোণের বিপরীত দিকটিকে হাইপোটেনাস বলা হয় (চিত্রে যেমন নির্দেশ করা হয়েছে গবা এবি)
- সমকোণ সংলগ্ন দিকটিকে লেগ বলে। প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি পা রয়েছে (চিত্রে তারা হিসাবে মনোনীত হয়েছে কএবং b বা AC এবং BC)
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র এবং বৈশিষ্ট্য
সূত্র উপাধি:(উপরের ছবি দেখুন)
ক, খ- একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা
গ- কর্ণ
α, β - একটি ত্রিভুজের তীব্র কোণ
এস- বর্গক্ষেত্র
জ- একটি সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের উচ্চতা কমানো হয়েছে
মি ক কবিপরীত কোণ থেকে ( α )
মি খ- পাশে টানা মধ্যমা খবিপরীত কোণ থেকে ( β )
মি গ- পাশে টানা মধ্যমা গবিপরীত কোণ থেকে ( γ )
ভিতরে সঠিক ত্রিভুজ যে কোন পা কর্ণের চেয়ে কম(সূত্র 1 এবং 2)। এই সম্পত্তিপিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের ফলাফল।
যেকোনও তীব্র কোণের কোসাইনএকের কম (সূত্র 3 এবং 4)। এই সম্পত্তি পূর্ববর্তী এক থেকে অনুসরণ করে. যেহেতু পাগুলির যেকোনো একটি কর্ণের চেয়ে কম, তাই পা থেকে কর্ণের অনুপাত সর্বদা একের কম হয়।
কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান (পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য)। (সূত্র 5)। সমস্যা সমাধান করার সময় এই সম্পত্তি ক্রমাগত ব্যবহার করা হয়.
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলপায়ের অর্ধেক গুণফলের সমান (সূত্র 6)
বর্গাকার মধ্যকার সমষ্টিপায়ের কাছে কর্ণের মধ্যকার পাঁচটি বর্গক্ষেত্রের সমান এবং কর্ণের পাঁচটি বর্গক্ষেত্রকে চার দ্বারা ভাগ করা হয় (সূত্র 7)। উপরোক্ত ছাড়াও, আছে আরও 5টি সূত্র, অতএব, এটি সুপারিশ করা হয় যে আপনি "একটি সমকোণী ত্রিভুজের মাঝারি" পাঠটিও পড়ুন, যা মধ্যকার বৈশিষ্ট্যগুলিকে আরও বিশদে বর্ণনা করে৷
উচ্চতাএকটি সমকোণী ত্রিভুজটি কর্ণ দ্বারা বিভক্ত পায়ের গুণফলের সমান (সূত্র 8)
পায়ের বর্গাকারগুলি কর্ণের কাছে নামানো উচ্চতার বর্গক্ষেত্রের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক (সূত্র 9)। এই পরিচয়টিও পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের অন্যতম পরিণতি।
হাইপোটেনাস দৈর্ঘ্যপরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসের (দুটি ব্যাসার্ধ) সমান (সূত্র 10)। সমকোণী ত্রিভুজের হাইপোটেনউজ বৃত্তের ব্যাস. এই সম্পত্তি প্রায়ই সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়.
খোদাই করা ব্যাসার্ধভি সঠিক ত্রিভুজ বৃত্তএই ত্রিভুজের পায়ের যোগফল বিয়োগ কর্ণের দৈর্ঘ্য সহ অভিব্যক্তির অর্ধেক হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। অথবা একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের সমস্ত বাহুর (ঘের) যোগফল দ্বারা বিভক্ত পায়ের গুণফল হিসাবে। (সূত্র 11)
কোণের সাইন বিপরীত সম্পর্কএই কোণ leg to hypotenuse(সাইন এর সংজ্ঞা অনুসারে)। (সূত্র 12)। সমস্যা সমাধান করার সময় এই সম্পত্তি ব্যবহার করা হয়. পক্ষের মাপ জেনে, আপনি তাদের গঠন কোণ খুঁজে পেতে পারেন.
সমকোণী ত্রিভুজে A (α, alpha) কোণের কোসাইন সমান হবে মনোভাব সংলগ্নএই কোণ leg to hypotenuse(সাইন এর সংজ্ঞা অনুসারে)। (সূত্র 13)
(ABC)এবং এর বৈশিষ্ট্য, যা চিত্রে উপস্থাপিত হয়েছে। একটি সমকোণ ত্রিভুজের একটি কর্ণ আছে - যে দিকটি সমকোণের বিপরীতে অবস্থিত।
টিপ 1: কিভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা খুঁজে বের করতে হয়
একটি সমকোণ গঠনকারী বাহুগুলিকে পা বলা হয়। ছবিটি দিকগুলি দেখায় এডি, ডিসি এবং বিডি, ডিসি- পা, এবং পাশ এসিএবং NE- কর্ণ।
উপপাদ্য 1. 30° কোণ বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজে, এই কোণের বিপরীত পাটি কর্ণের অর্ধেক ভেঙ্গে ফেলবে।
hC
এবি- কর্ণ;
বিজ্ঞাপনএবং ডিভি
ত্রিভুজ
একটি উপপাদ্য আছে:
মন্তব্য সিস্টেম CACKLই
সমাধান: 1) যেকোনো আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সমান। সত্য 2) যদি একটি থাকে ধারালো কোণ, তাহলে এই ত্রিভুজটি তীব্র। সত্য না. ত্রিভুজের প্রকারভেদ। একটি ত্রিভুজকে তীক্ষ্ণ বলা হয় যদি এর তিনটি কোণই তীক্ষ্ণ হয়, অর্থাৎ 90° 3 এর কম) যদি বিন্দুটি থাকে।
অথবা, অন্য এন্ট্রিতে,
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র কী?
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা
কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা সমস্যা বিবৃতিতে থাকা ডেটার উপর নির্ভর করে এক বা অন্য উপায়ে পাওয়া যেতে পারে।
অথবা, অন্য এন্ট্রিতে,
যেখানে BK এবং KC হল কর্ণের উপর পাগুলির অনুমান (যে অংশগুলিতে উচ্চতা কর্ণের বিভাজন করে)।
কর্ণের উচ্চতা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের মাধ্যমে পাওয়া যায়। যদি আমরা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে সূত্রটি প্রয়োগ করি
(একটি বাহুর অর্ধেক গুণফল এবং এই দিকে টানা উচ্চতা) কর্ণ এবং কর্ণের দিকে টানা উচ্চতা, আমরা পাই:
এখান থেকে আমরা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হিসাবে উচ্চতা খুঁজে পেতে পারি:
যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পায়ের গুণফলের অর্ধেক সমান:
অর্থাৎ, কর্ণের দিকে টানা উচ্চতার দৈর্ঘ্য কর্ণের সাথে পায়ের গুণফলের অনুপাতের সমান। যদি আমরা a এবং b দ্বারা পায়ের দৈর্ঘ্য, c দ্বারা কর্ণের দৈর্ঘ্য বোঝাই, তাহলে সূত্রটিকে এইভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে
যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৃত্তের ব্যাসার্ধ কর্ণের অর্ধেক সমান, তাই উচ্চতার দৈর্ঘ্য পা এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:
যেহেতু কর্ণের দিকে টানা উচ্চতা আরও দুটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, তাই এর দৈর্ঘ্য সমকোণী ত্রিভুজের সম্পর্কের মাধ্যমে পাওয়া যায়।
সমকোণী ত্রিভুজ ABK থেকে
সমকোণী ত্রিভুজ ACK থেকে
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার দৈর্ঘ্য পায়ের দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। কারণ
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে
যদি আমরা সমীকরণের উভয় দিকে বর্গক্ষেত্র করি:
আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা তার পায়ে সম্পর্কিত করার জন্য আরেকটি সূত্র পেতে পারেন:
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র কী?
সঠিক ত্রিভুজ. গড় স্তর.
আপনি কি আপনার শক্তি পরীক্ষা করতে চান এবং ইউনিফাইড স্টেট এক্সাম বা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য আপনি কতটা প্রস্তুত তার ফলাফল জানতে চান?
সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রধান উপপাদ্য হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য
যাইহোক, আপনি কি ভাল মনে রাখবেন পা এবং কর্ণ কি? যদি খুব ভাল না হয়, তাহলে ছবিটি দেখুন - আপনার জ্ঞান রিফ্রেশ করুন
এটা খুবই সম্ভব যে আপনি ইতিমধ্যেই বহুবার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করেছেন, কিন্তু আপনি কি কখনও ভেবে দেখেছেন কেন এমন একটি উপপাদ্য সত্য? আমি কিভাবে এটা প্রমাণ করতে পারি? আসুন প্রাচীন গ্রীকদের মত করি। এর একটি পাশ দিয়ে একটি বর্গক্ষেত্র আঁকুন।
দেখুন কত চতুরতার সাথে আমরা এর দিকগুলোকে দৈর্ঘ্যে ভাগ করেছি এবং!
এখন চিহ্নিত বিন্দু সংযোগ করা যাক
এখানে আমরা অবশ্য অন্য কিছু উল্লেখ করেছি, তবে আপনি নিজেই অঙ্কনটি দেখুন এবং ভাবুন কেন এটি এমন।
বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? ঠিক, . একটি ছোট এলাকা সম্পর্কে কি? অবশ্যই, . চার কোণার মোট এলাকা রয়ে গেছে। কল্পনা করুন যে আমরা তাদের দুজনকে একসাথে নিয়েছি এবং তাদের কর্ণ দিয়ে একে অপরের বিরুদ্ধে ঝুঁকেছি। কি হলো? দুটি আয়তক্ষেত্র। এর মানে হল "কাট" এর ক্ষেত্রফল সমান।
এখন সব একসাথে করা যাক.
তাই আমরা পিথাগোরাস পরিদর্শন করেছি - আমরা একটি প্রাচীন উপায়ে তার উপপাদ্য প্রমাণ করেছি।
সমকোণী ত্রিভুজ এবং ত্রিকোণমিতি
একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ধারণ করে:
একটি তীব্র কোণের সাইন কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাতের সমান
একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোসাইন কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাতের সমান।
একটি তীক্ষ্ণ কোণের স্পর্শক বিপরীত বাহুর সাথে সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান।
একটি তীক্ষ্ণ কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট বিপরীত বাহুর সন্নিহিত বাহুর অনুপাতের সমান।
এবং একবার ট্যাবলেট আকারে এই সব:
আপনি কি একটি খুব সুবিধাজনক জিনিস লক্ষ্য করেছেন? চিহ্নটি সাবধানে দেখুন।
এটা খুব আরামদায়ক!
সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন
২. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা
III. কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা
IV লেগ এবং তীব্র কোণ বরাবর
মনোযোগ! এটি এখানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে পাগুলি "উপযুক্ত"। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি এই মত যায়:
তাহলে ত্রিভুজ সমান হয় না, তাদের এক অভিন্ন তীব্র কোণ থাকা সত্ত্বেও।
প্রয়োজন উভয় ত্রিভুজে পা ছিল সংলগ্ন, বা উভয়েই বিপরীত ছিল.
আপনি কি লক্ষ্য করেছেন কিভাবে সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন ত্রিভুজের সমতার সাধারণ চিহ্ন থেকে আলাদা? "ত্রিভুজ" বিষয়টির দিকে নজর দিন এবং এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে "সাধারণ" ত্রিভুজগুলির সমতার জন্য, তাদের তিনটি উপাদান অবশ্যই সমান হতে হবে: দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যে কোণ, দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যবর্তী দিক বা তিনটি পক্ষই. কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের সমতার জন্য শুধুমাত্র দুটি সংশ্লিষ্ট উপাদানই যথেষ্ট। মহান, তাই না?
সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণগুলির সাথে পরিস্থিতি প্রায় একই রকম।
সমকোণী ত্রিভুজের মিলের লক্ষণ
III. লেগ এবং কর্ণের দ্বারা
সমকোণী ত্রিভুজে মধ্যমা
একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিবর্তে, একটি সম্পূর্ণ আয়তক্ষেত্র বিবেচনা করুন।
আসুন একটি তির্যক আঁকুন এবং যে বিন্দুতে কর্ণগুলি ছেদ করে তা বিবেচনা করুন। আপনি একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সম্পর্কে কি জানেন?
- কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু অর্ধেক বিভক্ত। কর্ণগুলি সমান।
এবং এই থেকে অনুসরণ কি?
তাই এটা যে পরিণত
এই সত্য মনে রাখবেন! অনেক সাহায্য করে!
আরও আশ্চর্যের বিষয় হল এর বিপরীতটিও সত্য।
কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান এই সত্য থেকে কী লাভ পাওয়া যায়? চলুন ছবিটা দেখি
সতর্কতার. আমাদের আছে: , অর্থাৎ, বিন্দু থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব সমান হয়ে গেছে। কিন্তু ত্রিভুজটিতে শুধুমাত্র একটি বিন্দু রয়েছে, যেখান থেকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে দূরত্ব সমান, এবং এটি হল বৃত্তের কেন্দ্র। তাহলে কি হলো?
এর "পাশাপাশি" দিয়ে শুরু করা যাক। "
কিন্তু অনুরূপ ত্রিভুজ সব সমান কোণ আছে!
একই এবং সম্পর্কে বলা যেতে পারে
এখন একে একসাথে আঁকা যাক:
তাদের একই ধারালো কোণ আছে!
এই "ট্রিপল" সাদৃশ্য থেকে কি সুবিধা পাওয়া যেতে পারে?
আচ্ছা, যেমন- একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার জন্য দুটি সূত্র।
আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট পক্ষগুলির সম্পর্কগুলি লিখি:
উচ্চতা খুঁজে পেতে, আমরা অনুপাত সমাধান এবং পেতে প্রথম সূত্র "একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা":
কিভাবে একটি দ্বিতীয় এক পেতে?
এখন ত্রিভুজ এবং এর সাদৃশ্য প্রয়োগ করা যাক।
সুতরাং, এর সাদৃশ্য প্রয়োগ করা যাক: .
এখন কি হবে?
আবার আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং দ্বিতীয় সূত্রটি পাই "একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা":
আপনাকে এই দুটি সূত্র খুব ভালভাবে মনে রাখতে হবে এবং যেটি আরও সুবিধাজনক তা ব্যবহার করতে হবে। আসুন আবার সেগুলি লিখি
ঠিক আছে, এখন, অন্যদের সাথে এই জ্ঞান প্রয়োগ এবং একত্রিত করে, আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে যে কোনও সমস্যা সমাধান করবেন!
মন্তব্য
উত্স পৃষ্ঠায় একটি dofollow লিঙ্ক থাকলে অনুমোদন ছাড়া উপকরণ বিতরণ অনুমোদিত।
গোপনীয়তা নীতি
আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। আমাদের গোপনীয়তা অনুশীলন পর্যালোচনা করুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।
ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার
ব্যক্তিগত তথ্য এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।
আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।
আমরা ব্যক্তিগত কোন তথ্য সংগ্রহ করব:
- আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, টেলিফোন নম্বর, ইমেল ঠিকানা ইত্যাদি সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি।
আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:
- আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা আমাদের অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্টগুলির সাথে আপনার সাথে যোগাযোগ করার অনুমতি দেয়। সময়ে সময়ে, আমরা গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি। এছাড়াও আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি, যেমন অডিট, ডেটা বিশ্লেষণ এবং বিভিন্ন গবেষণা পরিচালনা করার জন্য আমরা যে পরিষেবাগুলি প্রদান করি তা উন্নত করতে এবং আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে আপনাকে সুপারিশ প্রদান করতে।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার বৈশিষ্ট্য কর্ণের কাছে নেমে গেছে
আপনি যদি একটি পুরস্কার ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রচারে অংশগ্রহণ করেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।
তৃতীয় পক্ষের কাছে তথ্য প্রকাশ
আমরা আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ করি না।
- প্রয়োজনে - আইন অনুযায়ী, বিচারিক পদ্ধতিতে, আইনি প্রক্রিয়ায়, এবং/অথবা জনসাধারণের অনুরোধ বা রাশিয়ান ফেডারেশনের ভূখণ্ডে সরকারি কর্তৃপক্ষের অনুরোধের ভিত্তিতে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করতে। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনগুরুত্বপূর্ণ উদ্দেশ্যে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত। পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা প্রযোজ্য উত্তরসূরি তৃতীয় পক্ষের কাছে হস্তান্তর করতে পারি।
ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা
আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।
কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা সম্মান
আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত আছে তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং সুরক্ষা মানগুলি যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।
বার্তার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ!
আপনার মন্তব্য গৃহীত হয়েছে এবং সংযম করার পরে এটি এই পৃষ্ঠায় প্রকাশিত হবে।
আপনি কি কাটের নীচে লুকিয়ে আছে তা খুঁজে বের করতে চান এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য একচেটিয়া উপকরণ পেতে চান? আপনার ইমেল ছেড়ে যান
সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য
একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন (ABC)এবং এর বৈশিষ্ট্য, যা চিত্রে উপস্থাপিত হয়েছে। একটি সমকোণ ত্রিভুজের একটি কর্ণ আছে - যে দিকটি সমকোণের বিপরীতে অবস্থিত। একটি সমকোণ গঠনকারী বাহুগুলিকে পা বলা হয়। ছবিটি দিকগুলি দেখায় এডি, ডিসি এবং বিডি, ডিসি- পা, এবং পাশ এসিএবং NE- কর্ণ।
সমকোণী ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ:
উপপাদ্য 1. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং পা অন্য ত্রিভুজের কর্ণ এবং পায়ের অনুরূপ হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
উপপাদ্য 2. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি পা অন্য ত্রিভুজের দুটি পায়ের সমান হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
উপপাদ্য 3. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং তীক্ষ্ণ কোণ অন্য ত্রিভুজের কর্ণ এবং তীক্ষ্ণ কোণের অনুরূপ হয়, তাহলে এই ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
উপপাদ্য 4. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি পা এবং একটি সন্নিহিত (বিপরীত) তীব্র কোণ একটি পা এবং অন্য ত্রিভুজের একটি সন্নিহিত (বিপরীত) তীব্র কোণের সমান হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
30° কোণের বিপরীতে একটি পায়ের বৈশিষ্ট্য:
উপপাদ্য ঘ.
সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা
30° কোণ বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজে, এই কোণের বিপরীত পাটি কর্ণের অর্ধেক ভেঙ্গে ফেলবে।
উপপাদ্য 2. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজে পা অর্ধেক কর্ণের সমান হয়, তাহলে এর বিপরীত কোণটি 30°।
যদি সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণ পর্যন্ত উচ্চতা আঁকা হয়, তাহলে এই ধরনের ত্রিভুজ দুটি ছোট ভাগে বিভক্ত হয়, বহির্গামী একটির মতো এবং একটির সাথে আরেকটির অনুরূপ। এটি থেকে নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি অনুসরণ করা হয়:
- উচ্চতা হল কর্ণের দুটি অংশের জ্যামিতিক গড় (আনুপাতিক গড়)।
- ত্রিভুজের প্রতিটি পা কর্ণ এবং সন্নিহিত অংশগুলির গড় সমানুপাতিক।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, পা উচ্চতা হিসাবে কাজ করে। অর্থকেন্দ্র হল সেই বিন্দু যেখানে ত্রিভুজের উচ্চতার ছেদ ঘটে। এটি চিত্রের ডান কোণের শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলে যায়।
hC- ত্রিভুজের সমকোণ থেকে উত্থিত উচ্চতা;
এবি- কর্ণ;
বিজ্ঞাপনএবং ডিভি- কর্ণের উচ্চতা দ্বারা বিভক্ত করার সময় যে অংশগুলি উদ্ভূত হয়।
শৃঙ্খলা "জ্যামিতি" সম্পর্কিত তথ্য দেখার জন্য ফিরে যান
ত্রিভুজ- এই জ্যামিতিক চিত্র, তিনটি বিন্দু (বিন্দু) যা একই সরলরেখায় নয় এবং এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত। একটি সমকোণী ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যেটির একটি কোণ 90° (একটি সমকোণ)।
একটি উপপাদ্য আছে:একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সমষ্টি 90°।
মন্তব্য সিস্টেম CACKLই
কীওয়ার্ড:ত্রিভুজ, সমকোণ, পা, কর্ণ, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য, বৃত্ত
ত্রিভুজ বলা হয় আয়তক্ষেত্রাকারযদি এটি একটি সঠিক কোণ আছে.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি পারস্পরিক লম্ব বাহু আছে যাকে বলা হয় পাগুলো; এর তৃতীয় দিক বলা হয় কর্ণ
- লম্ব এবং তির্যক বৈশিষ্ট্য অনুসারে, কর্ণ প্রতিটি পায়ের চেয়ে দীর্ঘ (কিন্তু তাদের যোগফলের চেয়ে কম)।
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি তীব্র কোণের সমষ্টি একটি সমকোণের সমান।
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি উচ্চতা তার পায়ের সাথে মিলে যায়। অতএব, চারটি উল্লেখযোগ্য বিন্দুর একটি ত্রিভুজের সমকোণের শীর্ষবিন্দুতে পড়ে।
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিধিকেন্দ্র কর্ণের মাঝখানে অবস্থিত।
- সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণ পর্যন্ত আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যক হল এই ত্রিভুজকে ঘিরে বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
একটি নির্বিচারে সমকোণী ত্রিভুজ ABC বিবেচনা করুন এবং এর সমকোণের শীর্ষবিন্দু C থেকে উচ্চতা CD = hc আঁকুন।
এটি প্রদত্ত ত্রিভুজটিকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ ACD এবং BCD এ বিভক্ত করবে; এই ত্রিভুজগুলির প্রত্যেকটির ত্রিভুজ ABC এর সাথে একটি সাধারণ তীব্র কোণ রয়েছে এবং তাই ত্রিভুজ ABC এর অনুরূপ।
তিনটি ত্রিভুজ ABC, ACD এবং BCD পরস্পরের সাথে একই রকম।
 |
ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য থেকে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি নির্ধারিত হয়:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।
জ্যামিতিক সূত্র।একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমষ্টির সমান।
বীজগণিত সূত্র।একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, c দ্বারা ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং a এবং b দ্বারা পায়ের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে:
a2 + b2 = c2
পীথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কনভার্স করুন।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা
ধনাত্মক সংখ্যার যে কোনো ত্রিগুণের জন্য a, b এবং c যেমন
a2 + b2 = c2,
পা a এবং b এবং কর্ণ c সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে।
সমকোণী ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ:
- পা এবং কর্ণ বরাবর;
- দুই পায়ে;
- পা এবং তীব্র কোণ বরাবর;
- কর্ণ এবং তীব্র কোণ বরাবর।
আরো দেখুন:
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, সমবাহু ত্রিভুজ
জ্যামিতি. 8 ক্লাস। পরীক্ষা 4. অপশন 1 .
বিজ্ঞাপন : CD = CD : বি.ডি. তাই CD2 = AD ∙ বি.ডি. তারা বলে:
বিজ্ঞাপন : AC = AC : এবি তাই AC2 = AB ∙ বিজ্ঞাপন. তারা বলে:
বিডি : BC = BC : এবি তাই BC2 = AB ∙ বি.ডি.
সমস্যা সমাধান:
1.
ক) 70 সেমি; খ) 55 সেমি; গ) 65 সেমি; ঘ) 45 সেমি; ঙ) 53 সেমি।
2. কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা কর্ণকে 9 এবং 36 ভাগে ভাগ করে।
এই উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন।
ক) 22,5; খ) 19; গ) 9; ঘ) 12; ঙ) 18.
4.
ক) 30,25; খ) 24,5; গ) 18,45; ঘ) 32; ঙ) 32,25.
5.
ক) 25; খ) 24; গ) 27; ঘ) 26; ঙ) 21.
6.
ক) 8; খ) 7; গ) 6; ঘ) 5; ঙ) 4.
7.
8. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা 30।
কিভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উচ্চতা খুঁজে বের করতে?
সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দূরত্ব নির্ণয় করুন যদি এই ত্রিভুজটি ঘিরে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 17 হয়।
ক) 17; খ) 16; গ) 15; ঘ) 14; ঙ) 12.
10.
ক) 15; খ) 18; গ) 20; ঘ) 16; ঙ) 12.
ক) 80; খ) 72; গ) 64; ঘ) 81; ঙ) 75.
12.
ক) 7,5; খ) 8; গ) 6,25; ঘ) 8,5; ঙ) 7.
উত্তর চেক করুন!
G8.04.1. সমকোণী ত্রিভুজের সমানুপাতিক অংশ
জ্যামিতি. 8 ক্লাস। পরীক্ষা 4. অপশন 1 .
Δ ABC ∠ACV = 90° এ। AC এবং BC পা, AB হাইপোটেনাস।
CD হল কর্ণের দিকে টানা ত্রিভুজের উচ্চতা।
কর্ণের উপর পায়ের AC এর AD অভিক্ষেপ,
কর্ণের উপর বিসি পায়ের বিডি অভিক্ষেপ।
উচ্চতা CD ত্রিভুজ ABC কে এর অনুরূপ দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে (এবং একে অপরের সাথে): Δ ADC এবং Δ CDB।
অনুরূপ Δ ADC এবং Δ CDB এর বাহুর সমানুপাতিকতা থেকে এটি অনুসরণ করে:
বিজ্ঞাপন : CD = CD : বি.ডি.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার বৈশিষ্ট্য কর্ণের কাছে নেমে গেছে।
তাই CD2 = AD ∙ বি.ডি. তারা বলে: কর্ণের দিকে টানা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা,কর্ণের উপর পাগুলির অনুমানগুলির মধ্যে গড় সমানুপাতিক মান।
Δ ADC এবং Δ ACB এর সাদৃশ্য থেকে এটি অনুসরণ করে:
বিজ্ঞাপন : AC = AC : এবি তাই AC2 = AB ∙ বিজ্ঞাপন. তারা বলে: প্রতিটি পা হল সমগ্র কর্ণ এবং এই পাটির অভিক্ষেপের মধ্যে গড় সমানুপাতিক মান।
একইভাবে, Δ CDB এবং Δ ACB এর সাদৃশ্য থেকে এটি অনুসরণ করে:
বিডি : BC = BC : এবি তাই BC2 = AB ∙ বি.ডি.
সমস্যা সমাধান:
1. কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয় করুন যদি এটি কর্ণকে 25 সেমি এবং 81 সেমি ভাগে ভাগ করে।
ক) 70 সেমি; খ) 55 সেমি; গ) 65 সেমি; ঘ) 45 সেমি; ঙ) 53 সেমি।
2. কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা কর্ণকে 9 এবং 36 ভাগে ভাগ করে। এই উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন।
ক) 22,5; খ) 19; গ) 9; ঘ) 12; ঙ) 18.
4. কর্ণের দিকে টানা একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা হল 22, একটি পায়ের অভিক্ষেপ 16। অন্য পায়ের অভিক্ষেপ খুঁজুন।
ক) 30,25; খ) 24,5; গ) 18,45; ঘ) 32; ঙ) 32,25.
5. একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা 18, এবং কর্ণের প্রতি এর অভিক্ষেপ 12। কর্ণটি খুঁজুন।
ক) 25; খ) 24; গ) 27; ঘ) 26; ঙ) 21.
6. কর্ণটি 32 এর সমান। কর্ণের উপর অভিক্ষেপ 2 এর সমান।
ক) 8; খ) 7; গ) 6; ঘ) 5; ঙ) 4.
7. একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ 45। কর্ণের উপর অভিক্ষেপ 9 হয় সেই দিকের সন্ধান করুন।
8. একটি সমকোণ ত্রিভুজের পা হল 30। সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দূরত্ব নির্ণয় করুন যদি এই ত্রিভুজটিকে ঘিরে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 17 হয়।
ক) 17; খ) 16; গ) 15; ঘ) 14; ঙ) 12.
10. একটি সমকোণ ত্রিভুজের কর্ণ 41, এবং একটি পায়ের অভিক্ষেপ 16। সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণ পর্যন্ত আঁকা উচ্চতার দৈর্ঘ্য খুঁজুন।
ক) 15; খ) 18; গ) 20; ঘ) 16; ঙ) 12.
ক) 80; খ) 72; গ) 64; ঘ) 81; ঙ) 75.
12. কর্ণের উপর পায়ের অনুমানগুলির পার্থক্য হল 15, এবং সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দূরত্ব হল 4। পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজুন।
ক) 7,5; খ) 8; গ) 6,25; ঘ) 8,5; ঙ) 7.
