প্রাথমিক ফাংশন এবং তাদের বৈশিষ্ট্য টেবিল. মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন। একটি বিয়োগ এক থেকে বড় এবং শূন্যের চেয়ে কম একটি বাস্তব সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন৷

একটি জটিল ভেরিয়েবলের ফাংশন বিবেচনা করে, লিউভিল প্রাথমিক ফাংশনগুলিকে আরও বিস্তৃতভাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। প্রাথমিক ফাংশন yপরিবর্তনশীল এক্স- বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন, যা একটি বীজগণিতীয় ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এক্সএবং ফাংশন , এবং কিছু বীজগণিতীয় ফাংশনের লগারিদম বা সূচক gথেকে 1 এক্স .

উদাহরণস্বরূপ, পাপ( এক্স) - বীজগণিতের ফাংশন e iএক্স .

বিবেচনার সাধারণতা সীমাবদ্ধ না করে, আমরা ফাংশনগুলিকে বীজগণিতভাবে স্বাধীন হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, অর্থাৎ, যদি বীজগণিত সমীকরণটি সবার জন্য সন্তুষ্ট হয় এক্স, তারপর বহুপদীর সমস্ত সহগ শূন্যের সমান।

প্রাথমিক ফাংশন পার্থক্য

কোথায় z 1 "(z) সমান বা g 1 " / g 1 বা z 1 g 1" এটি একটি লগারিদম কিনা তার উপর নির্ভর করে z 1 বা সূচকীয়, ইত্যাদি। অনুশীলনে, একটি ডেরিভেটিভ টেবিল ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

প্রাথমিক ফাংশন সংহত করা

লিউভিলের উপপাদ্য হল প্রাথমিক ফাংশনগুলির প্রতীকী একীকরণের জন্য অ্যালগরিদম তৈরির ভিত্তি, বাস্তবায়িত, উদাহরণস্বরূপ,

সীমা গণনা

লিউভিলের তত্ত্ব সীমা গণনার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। এটি জানা নেই যে এমন একটি অ্যালগরিদম আছে যা, একটি প্রাথমিক সূত্র দ্বারা প্রদত্ত একটি ক্রম প্রদত্ত, এটির একটি সীমা আছে কি না একটি উত্তর দেয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রশ্নটি খোলা আছে যে ক্রমটি একত্রিত হয় কিনা।

সাহিত্য

• জে লিউভিল। Memoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// জে. রেইন অ্যাঞ্জেউ। গণিত বিডি. 13, পৃ. 93-118। (1835)
• জে.এফ. রিট. সসীম শর্তাবলী মধ্যে একীকরণ. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
• এ জি খোভানস্কি। টপোলজিকাল গ্যালো তত্ত্ব: সসীম আকারে সমীকরণের সমাধানযোগ্যতা এবং অমীমাংসিততাসিএইচ. 1. এম, 2007

মন্তব্য

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010।

• প্রাথমিক উত্তেজনা
• প্রাথমিক ফলাফল

অন্যান্য অভিধানে "প্রাথমিক ফাংশন" কী তা দেখুন:

প্রাথমিক ফাংশন- একটি ফাংশন যা, ছোট ফাংশনে বিভক্ত হলে, ডিজিটাল ট্রান্সমিশন শ্রেণিবিন্যাসে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। অতএব, নেটওয়ার্কের দৃষ্টিকোণ থেকে এটি অবিভাজ্য (ITU T G.806)। বিষয়: টেলিযোগাযোগ, মৌলিক ধারণা EN অভিযোজন ফাংশনA... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড

নেটওয়ার্ক স্তরের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া ফাংশন- একটি প্রাথমিক ফাংশন যা দুটি নেটওয়ার্ক স্তরের মধ্যে চরিত্রগত তথ্যের মিথস্ক্রিয়া প্রদান করে। (ITU T G.806)। বিষয়: টেলিযোগাযোগ, EN স্তরের মৌলিক ধারণা... ... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড

মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন, তাদের অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য এবং সংশ্লিষ্ট গ্রাফগুলি গাণিতিক জ্ঞানের মৌলিক বিষয়গুলির মধ্যে একটি, গুণন সারণীর সমান গুরুত্ব। প্রাথমিক ফাংশন হল ভিত্তি, সমস্ত তাত্ত্বিক বিষয়ের অধ্যয়নের জন্য সমর্থন।

Yandex.RTB R-A-339285-1

নীচের নিবন্ধটি মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনগুলির বিষয়ে মূল উপাদান সরবরাহ করে। আমরা পদ প্রবর্তন করব, তাদের সংজ্ঞা দেব; আসুন প্রতিটি ধরণের প্রাথমিক ফাংশন বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করি এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণ করি।

নিম্নলিখিত ধরণের মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনগুলি আলাদা করা হয়:

সংজ্ঞা 1

• ধ্রুবক ফাংশন (ধ্রুবক);
• nম মূল;
• শক্তি ফাংশন;
• ব্যাখ্যামূলক কাজ;
• লগারিদমিক ফাংশন;
• ত্রিকোণমিতিক ফাংশন;
• ভ্রাতৃত্বের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

একটি ধ্রুবক ফাংশন সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়: y = C (সি একটি নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যা) এবং একটি নামও রয়েছে: ধ্রুবক। এই ফাংশনটি স্বাধীন ভেরিয়েবল x-এর যেকোন বাস্তব মানের সাথে y-এর একই মানের সঙ্গতি নির্ধারণ করে - C-এর মান।

একটি ধ্রুবকের গ্রাফ হল একটি সরল রেখা যা অ্যাবসিসা অক্ষের সমান্তরাল এবং স্থানাঙ্ক (0, C) বিশিষ্ট একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। স্পষ্টতার জন্য, আমরা y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (অঙ্কনে যথাক্রমে কালো, লাল এবং নীল রঙে নির্দেশিত) ধ্রুবক ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি।

সংজ্ঞা 2

এই প্রাথমিক ফাংশন সূত্র y = x n (n হল একের চেয়ে বড় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

আসুন ফাংশনের দুটি বৈচিত্র বিবেচনা করি।

1. nম মূল, n – জোড় সংখ্যা

স্পষ্টতার জন্য, আমরা একটি অঙ্কন নির্দেশ করি যা এই ধরনের ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায়: y = x, y = x 4 এবং y = x8। এই বৈশিষ্ট্যগুলি কালার কোডেড: যথাক্রমে কালো, লাল এবং নীল।

জোড় ডিগ্রির একটি ফাংশনের গ্রাফগুলি সূচকের অন্যান্য মানের জন্য অনুরূপ উপস্থিতি রয়েছে।

সংজ্ঞা 3

nম রুট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য, n একটি জোড় সংখ্যা

• সংজ্ঞার ডোমেইন – সমস্ত অ-নেতিবাচক বাস্তব সংখ্যার সেট [ 0 , + ∞);
• যখন x = 0, ফাংশন y = x n এর মান শূন্যের সমান;
• দেওয়া ফাংশন-ফাংশনসাধারণ ফর্ম (জোড় বা বিজোড়ও নয়);
• পরিসীমা: [ 0 , + ∞);
• এই ফাংশন y = x n সমমূল সূচক সহ সংজ্ঞার সমগ্র ডোমেন জুড়ে বৃদ্ধি পায়;
• সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে ফাংশনটির একটি ঊর্ধ্বমুখী দিক সহ একটি উত্তল রয়েছে;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• কোন উপসর্গ নেই;
• জোড় n-এর জন্য ফাংশনের গ্রাফটি বিন্দু (0; 0) এবং (1; 1) এর মধ্য দিয়ে যায়।

1. nম মূল, n – বিজোড় সংখ্যা

এই ধরনের একটি ফাংশন বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্পষ্টতার জন্য, ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি বিবেচনা করুন y = x 3 , y = x 5 এবং x 9। অঙ্কনে তারা রং দ্বারা নির্দেশিত হয়: কালো, লাল এবং নীল যথাক্রমে বক্ররেখার রং।

y = x n ফাংশনের মূল সূচকের অন্যান্য বিজোড় মান একই ধরনের একটি গ্রাফ দেবে।

সংজ্ঞা 4

nম রুট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য, n একটি বিজোড় সংখ্যা

• সংজ্ঞার ডোমেইন - সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট;
• এই ফাংশন অদ্ভুত;
• মানের পরিসীমা - সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট;
• বিজোড় মূল সূচকের জন্য ফাংশন y = x n সংজ্ঞার সমগ্র ডোমেনে বৃদ্ধি পায়;
• ফাংশনের ব্যবধানে অবতলতা রয়েছে (- ∞ ; 0 ] এবং ব্যবধানে উত্তল [ 0 , + ∞);
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টে স্থানাঙ্ক রয়েছে (0; 0);
• কোন উপসর্গ নেই;
• বিজোড় n-এর জন্য ফাংশনের গ্রাফটি বিন্দু (- 1 ; - 1), (0 ; 0) এবং (1 ; 1) এর মধ্য দিয়ে যায়।

পাওয়ার ফাংশন

সংজ্ঞা 5

পাওয়ার ফাংশনটি সূত্র y = x a দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

গ্রাফগুলির উপস্থিতি এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি সূচকের মানের উপর নির্ভর করে।

• যখন একটি পাওয়ার ফাংশনের একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক a থাকে, তখন পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন এবং এর বৈশিষ্ট্য নির্ভর করে সূচকটি জোড় বা বিজোড়, সেইসাথে সূচকটির কী চিহ্ন রয়েছে তার উপর। আসুন নীচে আরও বিস্তারিতভাবে এই সমস্ত বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক;
• সূচকটি ভগ্নাংশ বা অযৌক্তিক হতে পারে - এর উপর নির্ভর করে, গ্রাফের ধরন এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলিও পরিবর্তিত হয়। আমরা বেশ কয়েকটি শর্ত সেট করে বিশেষ ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করব: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• একটি পাওয়ার ফাংশনের একটি শূন্য সূচক থাকতে পারে; আমরা নীচে আরও বিস্তারিতভাবে এই ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করব।

এর পাওয়ার ফাংশন বিশ্লেষণ করা যাক y = x a, যখন a একটি বিজোড় ধনাত্মক সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ, a = 1, 3, 5...

স্পষ্টতার জন্য, আমরা এই ধরনের পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি নির্দেশ করি: y = x (গ্রাফিক রঙ কালো), y = x 3 (গ্রাফের নীল রঙ), y = x 5 (গ্রাফের লাল রঙ), y = x 7 (গ্রাফিক রঙ সবুজ)। যখন a = 1, আমরা রৈখিক ফাংশন y = x পাই।

সংজ্ঞা 6

একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি যখন সূচকটি বিজোড় ধনাত্মক হয়

• x ∈ (- ∞ ; + ∞) এর জন্য ফাংশনটি বাড়ছে;
• ফাংশনটিতে x ∈ (- ∞; 0 ] এর জন্য উত্তলতা এবং x ∈ [ 0 ; + ∞) (রৈখিক ফাংশন বাদ দিয়ে) এর অবতলতা রয়েছে;
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক (0 ; 0) (রৈখিক ফাংশন ব্যতীত);
• কোন উপসর্গ নেই;
• ফাংশনের উত্তরণের পয়েন্ট: (- 1 ; - 1), (0; 0), (1; 1)।

এর পাওয়ার ফাংশন বিশ্লেষণ করা যাক y = x a, যখন a একটি জোড় ধনাত্মক সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ, a = 2, 4, 6...

স্পষ্টতার জন্য, আমরা এই ধরনের পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি নির্দেশ করি: y = x 2 (গ্রাফিক রঙ কালো), y = x 4 (গ্রাফের নীল রঙ), y = x 8 (গ্রাফের লাল রঙ)। যখন a = 2, আমরা একটি দ্বিঘাত ফাংশন পাই, যার গ্রাফটি একটি দ্বিঘাত প্যারাবোলা।

সংজ্ঞা 7

একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি যখন সূচকটি এমনকি ধনাত্মক হয়:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: x ∈ (- ∞; + ∞);
• x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• ফাংশনটিতে x ∈ (- ∞ ; + ∞) এর অবতলতা রয়েছে;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• কোন উপসর্গ নেই;
• ফাংশনের উত্তরণের পয়েন্ট: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1)।

নীচের চিত্রটি পাওয়ার ফাংশন গ্রাফের উদাহরণ দেখায় y = x a যখন a একটি বিজোড় ঋণাত্মক সংখ্যা হয়: y = x - 9 (গ্রাফিক রঙ কালো); y = x - 5 (গ্রাফের নীল রঙ); y = x - 3 (গ্রাফের লাল রঙ); y = x - 1 (গ্রাফিক রঙ সবুজ)। যখন a = - 1, তখন আমরা বিপরীত আনুপাতিকতা পাই, যার গ্রাফটি একটি হাইপারবোলা।

সংজ্ঞা 8

সূচকটি বিজোড় ঋণাত্মক হলে পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

যখন x = 0, তখন আমরা দ্বিতীয় ধরণের একটি বিচ্ছিন্নতা পাই, যেহেতু lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, …. সুতরাং, সরলরেখা x = 0 একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট;

• পরিসীমা: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞);
• ফাংশনটি বিজোড় কারণ y (- x) = - y (x);
• x ∈ - ∞ এর জন্য ফাংশনটি কমছে; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• ফাংশনটিতে x ∈ (- ∞ ; 0) এর জন্য উত্তল এবং x ∈ (0 ; + ∞) এর জন্য অবতলতা রয়েছে;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, যখন a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• ফাংশনের উত্তরণের পয়েন্ট: (- 1 ; - 1), (1 ; 1)।

নীচের চিত্রটি পাওয়ার ফাংশন y = x a এর গ্রাফের উদাহরণ দেখায় যখন a একটি এমনকি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়: y = x - 8 (গ্রাফিক রঙ কালো); y = x - 4 (গ্রাফের নীল রঙ); y = x - 2 (গ্রাফের লাল রঙ)।

সংজ্ঞা 9

সূচকটি এমনকি ঋণাত্মক হলে একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞);

যখন x = 0, তখন আমরা দ্বিতীয় ধরণের একটি বিচ্ছিন্নতা পাই, যেহেতু lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, …. সুতরাং, সরলরেখা x = 0 একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট;

• ফাংশনটি এমনকি কারণ y(-x) = y(x);
• x ∈ (- ∞; 0) এর জন্য ফাংশন বাড়ছে এবং x ∈ 0-এর জন্য কমছে; + ∞;
• ফাংশনটির অবতলতা x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট - সরল রেখা y = 0, কারণ:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 যখন a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• ফাংশনের উত্তরণের পয়েন্ট: (- 1 ; 1), (1 ; 1)।

প্রথম থেকেই, নিম্নলিখিত দিকটিতে মনোযোগ দিন: ক্ষেত্রে যখন a একটি বিজোড় হর সহ একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ হয়, কিছু লেখক ব্যবধান গ্রহণ করেন - ∞ এই শক্তি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হিসাবে; + ∞ , নির্ধারণ করে যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। এই মুহুর্তে, বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের নীতিগুলির উপর অনেক শিক্ষামূলক প্রকাশনার লেখকরা পাওয়ার ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন না, যেখানে সূচকটি যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশ। আরও আমরা ঠিক এই অবস্থানটি মেনে চলব: আমরা সেটটি নেব [ 0 ; + ∞)। শিক্ষার্থীদের জন্য সুপারিশ: মতবিরোধ এড়াতে এই বিষয়ে শিক্ষকের দৃষ্টিভঙ্গি খুঁজে বের করুন।

সুতরাং, আসুন পাওয়ার ফাংশনটি দেখি y = x a , যখন সূচকটি একটি মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা, তবে শর্ত থাকে যে 0< a < 1 .

আসুন গ্রাফের সাহায্যে পাওয়ার ফাংশনগুলি ব্যাখ্যা করি y = x a যখন a = 11 12 (গ্রাফিক রঙ কালো); a = 5 7 (গ্রাফের লাল রঙ); a = 1 3 (গ্রাফের নীল রঙ); a = 2 5 (গ্রাফের সবুজ রঙ)।

সূচক a এর অন্যান্য মান (0 প্রদান করা হয়েছে< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

সংজ্ঞা 10

0 এ পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য< a < 1:

• পরিসীমা: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• x ∈ [ 0 ; + ∞);
• ফাংশনটি x ∈ (0 ; + ∞) এর জন্য উত্তল;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• কোন উপসর্গ নেই;

এর পাওয়ার ফাংশন বিশ্লেষণ করা যাক y = x a, যখন সূচকটি একটি অ-পূর্ণসংখ্যা মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা, তবে শর্ত থাকে যে a > 1।

গ্রাফের সাহায্যে পাওয়ার ফাংশনটি ব্যাখ্যা করা যাক y = x a একটি উদাহরণ হিসাবে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলি ব্যবহার করে প্রদত্ত অবস্থার অধীনে: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (যথাক্রমে কালো, লাল, নীল, সবুজ গ্রাফ)।

সূচক a এর অন্যান্য মান, প্রদত্ত a > 1, একটি অনুরূপ গ্রাফ দেবে।

সংজ্ঞা 11

একটি > 1 এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেন: x ∈ [ 0 ; + ∞);
• পরিসীমা: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• এই ফাংশনটি সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন (এটি বিজোড় বা জোড়ও নয়);
• x ∈ [ 0 ; + ∞);
• ফাংশনে x ∈ (0 ; + ∞) (যখন 1) এর অবতলতা আছে< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• কোন উপসর্গ নেই;
• ফাংশনের পাসিং পয়েন্ট: (0; 0), (1; 1)।

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন! যখন a একটি বিজোড় হর সহ একটি নেতিবাচক ভগ্নাংশ হয়, তখন কিছু লেখকের রচনায় একটি মতামত রয়েছে যে এই ক্ষেত্রে সংজ্ঞার ডোমেন হল ব্যবধান - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) সতর্কতা সহ যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। বর্তমানে লেখকরা শিক্ষা উপকরণবীজগণিত এবং বিশ্লেষণের নীতিতে যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের আকারে একটি সূচকের সাথে শক্তি ফাংশন নির্ধারণ করবেন না। আরও, আমরা ঠিক এই দৃষ্টিভঙ্গি মেনে চলি: আমরা সেটটিকে (0 ; + ∞) ভগ্নাংশের ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হিসাবে নিই। শিক্ষার্থীদের জন্য সুপারিশ: মতবিরোধ এড়াতে এই মুহুর্তে আপনার শিক্ষকের দৃষ্টিভঙ্গি স্পষ্ট করুন।

আসুন টপিকটি চালিয়ে যাই এবং পাওয়ার ফাংশন বিশ্লেষণ করি y = x a প্রদত্ত: - 1< a < 0 .

আসুন আমরা নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির একটি অঙ্কন উপস্থাপন করি: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (কালো, লাল, নীল, সবুজ রঙ লাইন, যথাক্রমে)।

সংজ্ঞা 12

পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ যখন - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• পরিসীমা: y ∈ 0 ; + ∞;
• এই ফাংশনটি সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন (এটি বিজোড় বা জোড়ও নয়);
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;

নীচের অঙ্কনটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (কালো, লাল, নীল, সবুজ রংবক্ররেখা যথাক্রমে)।

সংজ্ঞা 13

a এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য< - 1:

• সংজ্ঞার ডোমেন: x ∈ 0 ; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ যখন a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• পরিসীমা: y ∈ (0 ; + ∞);
• এই ফাংশনটি সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন (এটি বিজোড় বা জোড়ও নয়);
• x ∈ 0 এর জন্য ফাংশন কমছে; + ∞;
• ফাংশনটির x ∈ 0 এর জন্য একটি অবতলতা রয়েছে; + ∞;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট – সরল রেখা y = 0;
• ফাংশনের উত্তরণ বিন্দু: (1; 1)।

যখন a = 0 এবং x ≠ 0, আমরা y = x 0 = 1 ফাংশনটি পাই, যা রেখাটি সংজ্ঞায়িত করে যেখান থেকে বিন্দু (0; 1) বাদ দেওয়া হয়েছে (এটি সম্মত হয়েছিল যে 0 0 অভিব্যক্তিটির কোনও অর্থ দেওয়া হবে না। )

সূচকীয় ফাংশনের ফর্ম আছে y = a x, যেখানে a > 0 এবং a ≠ 1, এবং এই ফাংশনের গ্রাফটি ভিত্তি a-এর মানের উপর ভিত্তি করে ভিন্ন দেখায়। আসুন বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।

প্রথমত, সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি যখন শূন্য থেকে এক (0) এর মান থাকে তখন পরিস্থিতিটি দেখি< a < 1) . একটি ভাল উদাহরণ হল a = 1 2 (বক্ররেখার নীল রঙ) এবং a = 5 6 (বক্ররেখার লাল রঙ) এর জন্য ফাংশনের গ্রাফ।

সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি 0 শর্তের অধীনে বেসের অন্যান্য মানের জন্য একই রকম উপস্থিত হবে< a < 1 .

সংজ্ঞা 14

বেস একের কম হলে সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• পরিসীমা: y ∈ (0 ; + ∞);
• এই ফাংশনটি সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন (এটি বিজোড় বা জোড়ও নয়);
• একটি সূচকীয় ফাংশন যার বেস একের চেয়ে কম সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে হ্রাস পাচ্ছে;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট – সরলরেখা y = 0 সহ চলক x + ∞ প্রবণতা;

এখন কেসটি বিবেচনা করুন যখন সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি এক (a > 1) এর থেকে বড় হয়।

আসুন এই বিশেষ কেসটিকে সূচকীয় ফাংশন y = 3 2 x (বক্ররেখার নীল রঙ) এবং y = e x (গ্রাফের লাল রঙ) এর একটি গ্রাফ দিয়ে ব্যাখ্যা করি।

বেসের অন্যান্য মান, বৃহত্তর একক, সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফের অনুরূপ চেহারা দেবে।

সংজ্ঞা 15

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি যখন ভিত্তি একের বেশি হয়:

• সংজ্ঞার ডোমেইন - বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট;
• পরিসীমা: y ∈ (0 ; + ∞);
• এই ফাংশনটি সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন (এটি বিজোড় বা জোড়ও নয়);
• একটি সূচকীয় ফাংশন যার ভিত্তি একের চেয়ে বড় সেটি x ∈ - ∞ হিসাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে; + ∞;
• ফাংশনটির অবতলতা x ∈ - ∞; + ∞;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট – সরল রেখা y = 0 সাথে চলক x প্রবণতা - ∞;
• ফাংশনের উত্তরণের পয়েন্ট: (0; 1)।

লগারিদমিক ফাংশনের ফর্ম y = log a (x), যেখানে a > 0, a ≠ 1।

এই ধরনের ফাংশন শুধুমাত্র আর্গুমেন্টের ইতিবাচক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়: x ∈ 0 এর জন্য; + ∞।

লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফে আছে ভিন্ন রকম, বেসের মানের উপর ভিত্তি করে a.

আসুন প্রথমে পরিস্থিতি বিবেচনা করি যখন 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

বেসের অন্যান্য মান, বড় একক নয়, একই ধরনের গ্রাফ দেবে।

সংজ্ঞা 16

একটি লগারিদমিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য যখন ভিত্তি একের কম হয়:

• সংজ্ঞার ডোমেন: x ∈ 0 ; + ∞। যেহেতু x ডান দিক থেকে শূন্যের দিকে ঝোঁক, ফাংশনের মানগুলি +∞ হয়;
• মানের পরিসীমা: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• এই ফাংশনটি সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন (এটি বিজোড় বা জোড়ও নয়);
• লগারিদমিক
• ফাংশনটির x ∈ 0 এর জন্য একটি অবতলতা রয়েছে; + ∞;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• কোন উপসর্গ নেই;

এখন আসুন বিশেষ ক্ষেত্রে দেখি যখন লগারিদমিক ফাংশনের ভিত্তি একের চেয়ে বড় হয়: a > 1 . নীচের অঙ্কনটি লগারিদমিক ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি দেখায় y = log 3 2 x এবং y = ln x (গ্রাফের নীল এবং লাল রঙ যথাক্রমে)।

একটির চেয়ে বড় বেসের অন্যান্য মানগুলি একই ধরণের গ্রাফ দেবে।

সংজ্ঞা 17

একটি লগারিদমিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য যখন বেস একের বেশি হয়:

• সংজ্ঞার ডোমেন: x ∈ 0 ; + ∞। যেহেতু x ডান থেকে শূন্যের দিকে ঝোঁক, ফাংশনের মানগুলি থাকে - ∞ ;
• মানের পরিসীমা: y ∈ - ∞ ; + ∞ (বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট);
• এই ফাংশনটি সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন (এটি বিজোড় বা জোড়ও নয়);
• লগারিদমিক ফাংশন x ∈ 0 এর জন্য বাড়ছে; + ∞;
• ফাংশনটি x ∈ 0 এর জন্য উত্তল; + ∞;
• কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট নেই;
• কোন উপসর্গ নেই;
• ফাংশনের উত্তরণ বিন্দু: (1; 0)।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি হল সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট। আসুন তাদের প্রত্যেকের বৈশিষ্ট্য এবং সংশ্লিষ্ট গ্রাফিক্স দেখুন।

সাধারণভাবে, সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেমন যখন ফাংশন মান পুনরাবৃত্তি হয় বিভিন্ন অর্থসময়কাল f (x + T) = f (x) (T – সময়কাল) দ্বারা একে অপরের থেকে ভিন্ন আর্গুমেন্ট। এইভাবে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্যের তালিকায় "ছোটতম ইতিবাচক সময়কাল" আইটেমটি যোগ করা হয়েছে। উপরন্তু, আমরা আর্গুমেন্টের মানগুলি নির্দেশ করব যেখানে সংশ্লিষ্ট ফাংশনটি শূন্য হয়ে যায়।

1. সাইন ফাংশন: y = sin(x)

এই ফাংশনের গ্রাফকে সাইন ওয়েভ বলা হয়।

সংজ্ঞা 18

সাইন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট x ∈ - ∞ ; + ∞;
• ফাংশনটি অদৃশ্য হয়ে যায় যখন x = π · k, যেখানে k ∈ Z (Z হল পূর্ণসংখ্যার সেট);
• x ∈ - π 2 + 2 π · k এর জন্য ফাংশনটি বাড়ছে; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z এবং x ∈ π 2 + 2 π · k জন্য হ্রাস; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• সাইন ফাংশনের বিন্দুতে স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে π 2 + 2 π · k; 1 এবং বিন্দুতে স্থানীয় মিনিমা - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• সাইন ফাংশন অবতল হয় যখন x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ Z এবং উত্তল যখন x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• কোন উপসর্গ নেই।

1. কোসাইন ফাংশন: y = cos(x)

এই ফাংশনের গ্রাফকে কোসাইন ওয়েভ বলা হয়।

সংজ্ঞা 19

কোসাইন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সময়কাল: T = 2 π;
• মানের পরিসীমা: y ∈ - 1 ; 1;
• এই ফাংশনটি জোড়, যেহেতু y (- x) = y (x);
• x ∈ - π + 2 π · k এর জন্য ফাংশনটি বাড়ছে; 2 π · k, k ∈ Z এবং x ∈ 2 π · k জন্য হ্রাস; π + 2 π k, k ∈ Z;
• কোসাইন ফাংশনের বিন্দুতে স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে 2 π · k ; π + 2 π · k বিন্দুতে 1, k ∈ Z এবং স্থানীয় মিনিমা; - 1, k ∈ z;
• কোসাইন ফাংশন অবতল হয় যখন x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z এবং উত্তল যখন x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক রয়েছে π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• কোন উপসর্গ নেই।

1. স্পর্শক ফাংশন: y = t g (x)

এই ফাংশনের গ্রাফকে বলা হয় স্পর্শক

সংজ্ঞা 20

স্পর্শক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, যেখানে k ∈ Z (Z হল পূর্ণসংখ্যার সেট);
• সংজ্ঞা লিম x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . এইভাবে, সরল রেখাগুলি x = π 2 + π · k k ∈ Z হল উল্লম্ব উপসর্গ;
• ফাংশনটি অদৃশ্য হয়ে যায় যখন k ∈ Z এর জন্য x = π · k (Z হল পূর্ণসংখ্যার সেট);
• মানের পরিসীমা: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• এই ফাংশনটি বিজোড়, যেহেতু y (- x) = - y (x) ;
• ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• স্পর্শক ফাংশনটি x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z এবং x ∈ এর জন্য উত্তল (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক রয়েছে π · k; 0 , k ∈ Z ;

1. কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশন: y = c t g (x)

এই ফাংশনের গ্রাফটিকে কোটানজেন্টয়েড বলা হয়। .

সংজ্ঞা 21

কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: x ∈ (π · k; π + π · k), যেখানে k ∈ Z (Z হল পূর্ণসংখ্যার সেট);

সংজ্ঞা লিম x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞। এইভাবে, সরল রেখাগুলি x = π · k k ∈ Z হল উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটস;

• ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সময়কাল: T = π;
• ফাংশনটি অদৃশ্য হয়ে যায় যখন x = π 2 + π · k k ∈ Z এর জন্য (Z হল পূর্ণসংখ্যার সেট);
• মানের পরিসীমা: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• এই ফাংশনটি বিজোড়, যেহেতু y (- x) = - y (x) ;
• x ∈ π · k এর জন্য ফাংশনটি কমছে; π + π k, k ∈ Z;
• x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z এবং x ∈ [ - π 2 + π · k; π · k), k ∈ Z-এর জন্য উত্তল হল কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনটি অবতল।
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক রয়েছে π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• কোন তির্যক বা অনুভূমিক উপসর্গ নেই।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি হল আর্কসাইন, আর্কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্ট। প্রায়শই, নামের মধ্যে "আর্ক" উপসর্গের উপস্থিতির কারণে, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে চাপ ফাংশন বলা হয় .

1. আর্ক সাইন ফাংশন: y = a r c sin (x)

সংজ্ঞা 22

আর্কসিন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• এই ফাংশনটি বিজোড়, যেহেতু y (- x) = - y (x) ;
• arcsine ফাংশন x ∈ 0 এর জন্য একটি অবতলতা আছে; 1 এবং x ∈ - 1 এর জন্য উত্তল; 0;
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক (0; 0), যা ফাংশনের শূন্যও;
• কোন উপসর্গ নেই।

1. আর্ক কোসাইন ফাংশন: y = a r c cos (x)

সংজ্ঞা 23

আর্ক কোসাইন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেন: x ∈ - 1 ; 1;
• পরিসীমা: y ∈ 0 ; π;
• এই ফাংশনটি একটি সাধারণ ফর্মের (জোড় বা বিজোড়ও নয়);
• সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে;
• আর্ক কোসাইন ফাংশনের অবতলতা আছে x ∈ - 1; x ∈ 0 এর জন্য 0 এবং উত্তল; 1;
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক 0 আছে; π 2;
• কোন উপসর্গ নেই।

1. চাপ স্পর্শক ফাংশন: y = a r c t g (x)

সংজ্ঞা 24

আর্কটেনজেন্ট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• মানের পরিসীমা: y ∈ - π 2 ; π 2;
• এই ফাংশনটি বিজোড়, যেহেতু y (- x) = - y (x) ;
• সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে ফাংশনটি বাড়ছে;
• arctangent ফাংশন x ∈ (- ∞; 0 ] এর জন্য অবতলতা এবং x ∈ [ 0 ; + ∞ এর জন্য উত্তলতা আছে);
• ইনফ্লেকশন বিন্দুতে স্থানাঙ্ক (0; 0), যা ফাংশনের শূন্যও;
• অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটগুলি হল সরল রেখা y = - π 2 হিসাবে x → - ∞ এবং y = π 2 হিসাবে x → + ∞ (চিত্রে, উপসর্গগুলি সবুজ রেখা)।

1. চাপ স্পর্শক ফাংশন: y = a r c c t g (x)

সংজ্ঞা 25

আর্কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

• সংজ্ঞার ডোমেইন: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• পরিসীমা: y ∈ (0; π);
• এই ফাংশন একটি সাধারণ ফর্ম;
• সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে;
• arc cotangent ফাংশনের x ∈ [ 0 ; + ∞) এবং x ∈ (- ∞ ; 0 ] এর জন্য উত্তল
• ইনফ্লেকশন পয়েন্টের স্থানাঙ্ক 0 আছে; π 2;
• অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটগুলি হল সরল রেখা y = π এ x → - ∞ (অঙ্কনে সবুজ রেখা) এবং y = 0 এ x → + ∞।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

জ্ঞান মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফগুণন সারণী জানার চেয়ে কম গুরুত্বপূর্ণ নয়। তারা ভিত্তির মতো, সবকিছু তাদের উপর ভিত্তি করে, সবকিছু তাদের থেকে নির্মিত এবং সবকিছু তাদের কাছে নেমে আসে।

এই নিবন্ধে আমরা সমস্ত প্রধান প্রাথমিক ফাংশন তালিকাভুক্ত করব, তাদের গ্রাফ প্রদান করব এবং উপসংহার বা প্রমাণ ছাড়াই দেব। মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন বৈশিষ্ট্যস্কিম অনুযায়ী:

• সংজ্ঞার ডোমেনের সীমানায় একটি ফাংশনের আচরণ, উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটস (যদি প্রয়োজন হয়, একটি ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা পয়েন্টগুলির নিবন্ধ শ্রেণীবিভাগ দেখুন);
• এমনকি বিজোড়;
• উত্তলতার ব্যবধান (উর্ধ্বমুখী উত্তল) এবং উত্তলতা (নিম্নমুখী), প্রবর্তন বিন্দু (যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধটি একটি ফাংশনের উত্তলতা, উত্তলতার দিক, প্রবর্তন বিন্দু, উত্তল এবং প্রবর্তনের শর্তগুলি দেখুন);
• তির্যক এবং অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটস;
• ফাংশন একক পয়েন্ট;
• কিছু ফাংশনের বিশেষ বৈশিষ্ট্য (উদাহরণস্বরূপ, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক সময়কাল)।

আপনি যদি আগ্রহী হন বা, তাহলে আপনি তত্ত্বের এই বিভাগগুলিতে যেতে পারেন।

মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনহল: ধ্রুবক ফাংশন (ধ্রুবক), nth রুট, পাওয়ার ফাংশন, সূচকীয়, লগারিদমিক ফাংশন, ত্রিকোণমিতিক এবং বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

স্থায়ী ফাংশন।

একটি ধ্রুবক ফাংশন সূত্র দ্বারা সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে C হল কিছু বাস্তব সংখ্যা। একটি ধ্রুবক ফাংশন স্বাধীন ভেরিয়েবল x-এর প্রতিটি বাস্তব মানকে নির্ভরশীল ভেরিয়েবল y-এর একই মানের সাথে যুক্ত করে - মান C। একটি ধ্রুবক ফাংশন একটি ধ্রুবক বলা হয়.

একটি ধ্রুবক ফাংশনের গ্রাফ হল x-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখা এবং স্থানাঙ্ক (0,C) সহ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। উদাহরণ হিসেবে, আমরা y=5, y=-2 এবং নিচের চিত্রে যথাক্রমে কালো, লাল এবং নীল রেখার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ধ্রুবক ফাংশনের গ্রাফ দেখাব।

একটি ধ্রুবক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

• ডোমেইন: বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট।
• ধ্রুবক ফাংশন সমান।
• মানের পরিসীমা: সমন্বিত সেট এককসঙ্গে .
• একটি ধ্রুবক ফাংশন অ-ক্রমবর্ধমান এবং অ-হ্রাস (তাই এটি ধ্রুবক)।
• ধ্রুবকের উত্তলতা এবং অবতলতা সম্পর্কে কথা বলার কোন মানে নেই।
• কোন উপসর্গ নেই.
• ফাংশনটি স্থানাঙ্ক সমতলের বিন্দু (0,C) এর মধ্য দিয়ে যায়।

nম ডিগ্রির মূল।

আসুন প্রাথমিক প্রাথমিক ফাংশন বিবেচনা করি, যা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে n হল একের চেয়ে বড় একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা।

nম ডিগ্রির মূল, n একটি জোড় সংখ্যা।

রুট সূচক n এর জোড় মানের জন্য nth root ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক।

উদাহরণ হিসাবে, এখানে ফাংশন গ্রাফের ছবি সহ একটি ছবি রয়েছে এবং , তারা কালো, লাল এবং নীল রেখার সাথে মিলে যায়।

সম-ডিগ্রী রুট ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি এক্সপোনেন্টের অন্যান্য মানের জন্য একই রকমের উপস্থিতি রয়েছে।

জোড় n-এর জন্য nম রুট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

nম মূল, n একটি বিজোড় সংখ্যা।

একটি বিজোড় মূল সূচক n সহ nম মূল ফাংশনটি বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এখানে ফাংশন গ্রাফ আছে এবং, তারা কালো, লাল এবং নীল বক্ররেখার সাথে মিলে যায়।

রুট এক্সপোনেন্টের অন্যান্য বিজোড় মানের জন্য, ফাংশন গ্রাফগুলির একটি অনুরূপ চেহারা থাকবে।

বিজোড় n-এর জন্য nম রুট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

পাওয়ার ফাংশন।

পাওয়ার ফাংশন ফর্মের একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়।

আসুন একটি পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ফর্ম এবং সূচকের মানের উপর নির্ভর করে একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করি।

একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক a সহ একটি পাওয়ার ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক। এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির উপস্থিতি এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি সূচকের সমানতা বা বিজোড়তার পাশাপাশি তার চিহ্নের উপর নির্ভর করে। অতএব, প্রথমে আমরা সূচক a এর বিজোড় ধনাত্মক মানের জন্য শক্তি ফাংশন বিবেচনা করি, তারপর জোড় ধনাত্মক সূচকের জন্য, তারপর বিজোড় ঋণাত্মক সূচকের জন্য এবং অবশেষে, জোড় ঋণাত্মক a-এর জন্য।

ভগ্নাংশ এবং অযৌক্তিক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য (পাশাপাশি এই ধরনের পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন) সূচক a-এর মানের উপর নির্ভর করে। আমরা সেগুলি বিবেচনা করব, প্রথমত, শূন্য থেকে এক, দ্বিতীয়ত, একের বেশির জন্য, তৃতীয়ত, বিয়োগ এক থেকে শূন্যের জন্য, চতুর্থত, বিয়োগের চেয়ে কম।

এই বিভাগের শেষে, সম্পূর্ণতার জন্য, আমরা শূন্য সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বর্ণনা করব।

বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

আসুন একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি, অর্থাৎ a = 1,3,5,... সহ।

নীচের চিত্রটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন, - সবুজ লাইন। a=1 এর জন্য আমাদের আছে লিনিয়ার ফাংশন y=x।

একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

এমনকি ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

একটি জোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করা যাক, অর্থাৎ a = 2,4,6,... এর জন্য।

উদাহরণ হিসাবে, আমরা পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দিই - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন। a=2 এর জন্য আমাদের একটি দ্বিঘাত ফাংশন আছে, যার গ্রাফ হল চতুর্মুখী প্যারাবোলা.

একটি জোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

বিজোড় ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

সূচকের বিজোড় ঋণাত্মক মানের জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফগুলি দেখুন, অর্থাৎ a = -1, -3, -5,... এর জন্য।

চিত্রটি উদাহরণ হিসাবে পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন, - সবুজ লাইন। a=-1 এর জন্য আমাদের আছে বিপরীত সমানুপাতিকতা, যার গ্রাফ অধিবৃত্ত.

একটি বিজোড় ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

এমনকি ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

চলুন a=-2,-4,-6,... এর জন্য পাওয়ার ফাংশনে এগিয়ে যাই।

চিত্রটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো রেখা, - নীল রেখা, - লাল রেখা৷

এমনকি ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি যৌক্তিক বা অযৌক্তিক সূচক সহ একটি শক্তি ফাংশন যার মান শূন্যের চেয়ে বেশি এবং একের চেয়ে কম।

বিঃদ্রঃ!যদি a একটি বিজোড় হর সহ একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ হয়, তবে কিছু লেখক শক্তি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনটিকে ব্যবধান হিসাবে বিবেচনা করেন। এটি নির্ধারিত হয় যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। এখন বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের নীতিগুলির উপর অনেক পাঠ্যপুস্তকের লেখকরা যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের আকারে একটি সূচকের সাথে পাওয়ার ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন না। আমরা সুনির্দিষ্টভাবে এই দৃষ্টিভঙ্গি মেনে চলব, অর্থাৎ, আমরা সেটটিকে ভগ্নাংশীয় ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হিসাবে বিবেচনা করব। আমরা সুপারিশ করি যে শিক্ষার্থীরা মতবিরোধ এড়াতে এই সূক্ষ্ম পয়েন্টে আপনার শিক্ষকের মতামত খুঁজে বের করুন।

আসুন আমরা একটি মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক a, এবং সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি।

আসুন a=11/12 (কালো রেখা), a=5/7 (লাল রেখা), (নীল রেখা), a=2/5 (সবুজ লাইন) এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি।

অ-পূর্ণসংখ্যা মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন একের বেশি।

আসুন একটি অ-পূর্ণসংখ্যা মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক a, এবং সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি।

সূত্র দ্বারা প্রদত্ত পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করা যাক (যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ লাইন)।

>

সূচক a এর অন্যান্য মানের জন্য, ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম হবে।

এ পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি বাস্তব সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন যা বিয়োগ এক থেকে বড় এবং শূন্যের চেয়ে কম।

বিঃদ্রঃ!যদি a একটি বিজোড় হর সহ একটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ হয়, তবে কিছু লেখক একটি পাওয়ার ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনটিকে ব্যবধান হিসাবে বিবেচনা করেন . এটি নির্ধারিত হয় যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। এখন বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের নীতিগুলির উপর অনেক পাঠ্যপুস্তকের লেখকরা যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের আকারে একটি সূচকের সাথে পাওয়ার ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন না। আমরা সুনির্দিষ্টভাবে এই দৃষ্টিভঙ্গি মেনে চলব, অর্থাৎ, আমরা ভগ্নাংশ ভগ্নাংশ ঋণাত্মক সূচক সহ শক্তি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনগুলিকে যথাক্রমে একটি সেট হিসাবে বিবেচনা করব। আমরা সুপারিশ করি যে শিক্ষার্থীরা মতবিরোধ এড়াতে এই সূক্ষ্ম পয়েন্টে আপনার শিক্ষকের মতামত খুঁজে বের করুন।

চলুন পাওয়ার ফাংশন এগিয়ে চলুন, kgod.

পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফের ফর্ম সম্পর্কে ভাল ধারণা পেতে, আমরা ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির উদাহরণ দিই (যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ বক্ররেখা)।

সূচক a, সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি অ-পূর্ণসংখ্যা বাস্তব সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন যা বিয়োগ এক থেকে কম।

এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের উদাহরণ দেওয়া যাক , তারা যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ লাইন দ্বারা চিত্রিত হয়।

বিয়োগ একের চেয়ে কম অ-পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

যখন a = 0, আমাদের একটি ফাংশন থাকে - এটি একটি সরল রেখা যা থেকে বিন্দু (0;1) বাদ দেওয়া হয় (এটি 0 0 অভিব্যক্তিতে কোনও তাত্পর্য সংযুক্ত না করার জন্য সম্মত হয়েছিল)।

ব্যাখ্যামূলক কাজ.

প্রধান প্রাথমিক ফাংশনগুলির মধ্যে একটি হল সূচকীয় ফাংশন।

সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ, যেখানে এবং ভিত্তি a এর মানের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন রূপ নেয়। আসুন এটি বের করা যাক।

প্রথমত, কেসটি বিবেচনা করুন যখন সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তিটি শূন্য থেকে এক মান নেয়, অর্থাৎ,।

উদাহরণ হিসেবে, আমরা একটি = 1/2 – নীল রেখা, a = 5/6 – লাল রেখার জন্য সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি। সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি ব্যবধান থেকে বেসের অন্যান্য মানের জন্য অনুরূপ চেহারা আছে।

একের চেয়ে কম বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি যখন একের চেয়ে বড় হয়, তখন আমরা সেই ক্ষেত্রে এগিয়ে যাই।

একটি উদাহরণ হিসাবে, আমরা সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি - নীল রেখা এবং - লাল রেখা। একের বেশি বেসের অন্যান্য মানের জন্য, সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম হবে।

একের বেশি বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

লগারিদমিক ফাংশন।

পরবর্তী মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন হল লগারিদমিক ফাংশন, যেখানে , . লগারিদমিক ফাংশনটি শুধুমাত্র আর্গুমেন্টের ইতিবাচক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ এর জন্য।

একটি লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফটি ভিত্তি a এর মানের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন রূপ নেয়।

বিভাগে প্রধান প্রাথমিক ফাংশন এবং তাদের বৈশিষ্ট্যের রেফারেন্স উপাদান রয়েছে। প্রাথমিক ফাংশন একটি শ্রেণীবিভাগ দেওয়া হয়. নীচে উপধারাগুলির লিঙ্কগুলি রয়েছে যা নির্দিষ্ট ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে আলোচনা করে - গ্রাফ, সূত্র, ডেরিভেটিভস, অ্যান্টিডেরিভেটিভস (অখণ্ড), সিরিজ বিস্তৃতি, জটিল ভেরিয়েবলের মাধ্যমে অভিব্যক্তি।

বিষয়বস্তু

মৌলিক ফাংশন জন্য রেফারেন্স পৃষ্ঠা

প্রাথমিক ফাংশন শ্রেণীবিভাগ

বীজগণিতের ফাংশনএকটি ফাংশন যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে:
,
যেখানে নির্ভরশীল চলক y এবং স্বাধীন চলক x-এ একটি বহুপদ। এটি এভাবে লেখা যেতে পারে:
,
যেখানে বহুপদ আছে।

বীজগণিতীয় ফাংশনগুলিকে বহুপদে বিভক্ত করা হয় (সম্পূর্ণ মূলদ ফাংশন), মূলদ ফাংশন এবং অযৌক্তিক ফাংশন।

সম্পূর্ণ যৌক্তিক ফাংশন, যা বলা হয় বহুপদবা বহুপদ, যোগ (বিয়োগ) এবং গুণের গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে চলক x এবং একটি সসীম সংখ্যা থেকে প্রাপ্ত করা হয়। বন্ধনী খোলার পরে, বহুপদীটি ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস পায়:
.

ভগ্নাংশ মূলদ ফাংশন, বা সহজভাবে মূলদ ফাংশন, যোগ (বিয়োগ), গুণ এবং ভাগের গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে চলক x এবং একটি সসীম সংখ্যা থেকে প্রাপ্ত করা হয়। যৌক্তিক ফাংশন আকারে হ্রাস করা যেতে পারে
,
যেখানে এবং বহুপদ।

অযৌক্তিক ফাংশনএকটি বীজগণিতীয় ফাংশন যা যুক্তিসঙ্গত নয়। একটি নিয়ম হিসাবে, একটি অযৌক্তিক ফাংশন মূল এবং যুক্তিযুক্ত ফাংশন সহ তাদের রচনা হিসাবে বোঝা যায়। ডিগ্রী n এর একটি মূলকে সমীকরণের সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
.
এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়:
.

অতীন্দ্রিয় ফাংশনঅ-বীজগণিতীয় ফাংশন বলা হয়। এগুলি হল সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক, হাইপারবোলিক এবং তাদের বিপরীত ফাংশন।

মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন ওভারভিউ

সমস্ত প্রাথমিক ফাংশন ফর্মের একটি অভিব্যক্তিতে সম্পাদিত যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ ক্রিয়াগুলির একটি সসীম সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
z t.
বিপরীত ফাংশনগুলি লগারিদমের ক্ষেত্রেও প্রকাশ করা যেতে পারে। মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়.

পাওয়ার ফাংশন:
y(x) = x p ,
যেখানে p সূচক। এটি ডিগ্রী x এর ভিত্তির উপর নির্ভর করে।
পাওয়ার ফাংশনের বিপরীতটিও পাওয়ার ফাংশন:
.
সূচক p এর একটি পূর্ণসংখ্যার অ-ঋণাত্মক মানের জন্য, এটি একটি বহুপদ। একটি পূর্ণসংখ্যা মানের জন্য p - একটি মূলদ ফাংশন। যৌক্তিক অর্থ সহ - একটি অযৌক্তিক ফাংশন।

অতীন্দ্রিয় ফাংশন

ব্যাখ্যামূলক কাজ :
y(x) = a x ,
যেখানে a ডিগ্রির ভিত্তি। এটি এক্সপোনেন্ট x এর উপর নির্ভর করে।
ইনভার্স ফাংশন হল a বেস করার লগারিদম:
x = লগ a y.

এক্সপোনেন্ট, x শক্তিতে e:
y(x) = e x ,
এটি একটি সূচকীয় ফাংশন যার ডেরিভেটিভ নিজেই ফাংশনের সমান:
.
সূচকের ভিত্তি হল সংখ্যা e:
≈ 2,718281828459045... .
বিপরীত ফাংশন হল প্রাকৃতিক লগারিদম - সংখ্যার ভিত্তির লগারিদম e:
x = ln y ≡ log e y.

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন:
সাইন: ;
কোসাইন: ;
স্পর্শক: ;
কোট্যাঞ্জেন্ট: ;
এখানে i হল কাল্পনিক একক, i 2 = -1।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন:
আর্কসিন: x = arcsin y, ;
আর্ক কোসাইন: x = arccos y, ;
আর্কটেনজেন্ট: x = arctan y, ;
চাপ স্পর্শক: x = arcctg y, .

1) ফাংশন ডোমেন এবং ফাংশন পরিসীমা.

একটি ফাংশনের ডোমেইন হল সমস্ত বৈধ বৈধ আর্গুমেন্ট মানগুলির সেট এক্স(পরিবর্তনশীল এক্স), যার জন্য ফাংশন y = f(x)নির্ধারিত একটি ফাংশনের পরিসর হল সমস্ত বাস্তব মানের সেট y, যা ফাংশন গ্রহণ করে।

প্রাথমিক গণিতে, ফাংশনগুলি শুধুমাত্র বাস্তব সংখ্যার সেটে অধ্যয়ন করা হয়।

2) ফাংশন শূন্য.

ফাংশন শূন্য হল আর্গুমেন্টের মান যেখানে ফাংশনের মান শূন্যের সমান।

3) একটি ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান.

একটি ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান হল আর্গুমেন্ট মানের সেট যার উপর ফাংশনের মানগুলি শুধুমাত্র ইতিবাচক বা শুধুমাত্র নেতিবাচক।

4) ফাংশনের একঘেয়েমি.

একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন (একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে) এমন একটি ফাংশন যেখানে এই ব্যবধান থেকে আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি বৃহত্তর মানের সাথে মিলে যায়।

একটি হ্রাসকারী ফাংশন (একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে) একটি ফাংশন যেখানে এই ব্যবধান থেকে আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি ছোট মানের সাথে মিলে যায়।

5) জোড় (বিজোড়) ফাংশন.

একটি জোড় ফাংশন এমন একটি ফাংশন যার সংজ্ঞার ডোমেনটি উত্সের ক্ষেত্রে এবং যে কোনও জন্য প্রতিসম এক্সসংজ্ঞার ডোমেইন থেকে সমতা f(-x) = f(x). একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফটি অর্ডিনেট সম্পর্কে প্রতিসম।

একটি বিজোড় ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যার সংজ্ঞার ডোমেনটি উৎপত্তির ক্ষেত্রে এবং যে কোনোটির জন্য প্রতিসম এক্সসংজ্ঞার ডোমেইন থেকে সমতা সত্য f(-x) = - f(x) একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

6) সীমিত এবং সীমাহীন ফাংশন.

একটি ফাংশনকে আবদ্ধ বলা হয় যদি একটি ধনাত্মক সংখ্যা M থাকে যেমন |f(x)| x এর সকল মানের জন্য M। যদি এমন একটি সংখ্যা বিদ্যমান না থাকে, তাহলে ফাংশনটি সীমাহীন।

7) ফাংশনের পর্যায়ক্রমিকতা.

একটি ফাংশন f(x) পর্যায়ক্রমিক হয় যদি একটি অ-শূন্য সংখ্যা T থাকে যেমন ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেইন থেকে যে কোনো x এর জন্য নিম্নলিখিতটি ধারণ করে: f(x+T) = f(x)। এই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে ফাংশনের সময়কাল বলা হয়। সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক। (ত্রিকোণমিতিক সূত্র)।

19. মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ। অর্থনীতিতে ফাংশনের প্রয়োগ।

মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন। তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ

1. লিনিয়ার ফাংশন।

লিনিয়ার ফাংশন ফর্মের একটি ফাংশন বলা হয়, যেখানে x একটি চলক, a এবং b হল বাস্তব সংখ্যা।

সংখ্যা করেখার ঢাল বলা হয়, এটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকে এই রেখার প্রবণতার কোণের স্পর্শকের সমান। একটি রৈখিক ফাংশনের গ্রাফ একটি সরল রেখা। এটি দুটি পয়েন্ট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

লিনিয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

1. সংজ্ঞার ডোমেন - সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট: D(y)=R

2. মানের সেট হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট: E(y)=R

3. ফাংশনটি একটি শূন্য মান নেয় যখন বা।

4. সংজ্ঞার পুরো ডোমেনে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় (হ্রাস)।

5. একটি রৈখিক ফাংশন সংজ্ঞার সমগ্র ডোমেন জুড়ে অবিচ্ছিন্ন, পার্থক্যযোগ্য এবং।

2. দ্বিঘাত ফাংশন।

ফর্মের একটি ফাংশন, যেখানে x একটি চলক, সহগ a, b, c হল বাস্তব সংখ্যা, তাকে বলা হয় চতুর্মুখী