একটি কাটা পিরামিডের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করতে অনলাইন ক্যালকুলেটর। পিরামিড। ছেঁটে যাওয়া পিরামিড একটি ছেঁটে যাওয়া পিরামিড অনলাইন ক্যালকুলেটরের গণনা

জ্যামিতিতে বেশ কয়েকটি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করার সময় স্থানিক পরিসংখ্যানের আয়তন গণনা করার ক্ষমতা গুরুত্বপূর্ণ। সবচেয়ে সাধারণ পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে একটি হল পিরামিড। এই নিবন্ধে আমরা সম্পূর্ণ এবং ছাঁটা পিরামিড উভয়ই বিবেচনা করব।

ত্রিমাত্রিক চিত্র হিসাবে পিরামিড

সবাই মিশরীয় পিরামিড সম্পর্কে জানে, তাই আমরা কী ধরণের চিত্র সম্পর্কে কথা বলব সে সম্পর্কে তাদের ভাল ধারণা রয়েছে। যাইহোক, মিশরীয় পাথরের কাঠামোগুলি বিশাল শ্রেণীর পিরামিডের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনাধীন জ্যামিতিক বস্তু হল একটি বহুভুজ ভিত্তি, যার প্রতিটি শীর্ষবিন্দু স্থানের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে সংযুক্ত যা বেসের সমতলের অন্তর্গত নয়। এই সংজ্ঞাটি একটি এন-গন এবং এন ত্রিভুজ সমন্বিত একটি চিত্রের দিকে নিয়ে যায়।

যেকোনো পিরামিড n+1 মুখ, 2*n প্রান্ত এবং n+1 শীর্ষবিন্দু নিয়ে গঠিত। যেহেতু প্রশ্নে থাকা চিত্রটি একটি নিখুঁত পলিহেড্রন, চিহ্নিত উপাদানের সংখ্যা অয়লারের সমতা মেনে চলে:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2।

বেসে অবস্থিত বহুভুজ পিরামিডের নাম দেয়, উদাহরণস্বরূপ, ত্রিভুজাকার, পঞ্চভুজ ইত্যাদি। বিভিন্ন বেস সহ পিরামিডের একটি সেট নীচের ফটোতে দেখানো হয়েছে।

একটি চিত্রের n ত্রিভুজ যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে পিরামিডের শীর্ষবিন্দু বলে। যদি একটি লম্বকে এটি থেকে বেসের দিকে নামানো হয় এবং এটি জ্যামিতিক কেন্দ্রে ছেদ করে, তবে এই ধরনের চিত্রটিকে একটি সরলরেখা বলা হবে। যদি এই শর্ত পূরণ না হয়, তাহলে একটি আনত পিরামিড ঘটে।

একটি ডান চিত্র যার ভিত্তি একটি সমবাহু (সমভুজাকার) n-গন দ্বারা গঠিত হয় তাকে নিয়মিত বলা হয়।

পিরামিডের আয়তনের সূত্র

পিরামিডের আয়তন গণনা করতে, আমরা অখণ্ড ক্যালকুলাস ব্যবহার করব। এটি করার জন্য, আমরা বেসের সমান্তরাল প্লেনগুলিকে অসীম সংখ্যক পাতলা স্তরে কেটে চিত্রটিকে ভাগ করি। নীচের চিত্রটি h এবং পাশের দৈর্ঘ্য L এর একটি চতুর্ভুজ পিরামিড দেখায়, যেখানে চতুর্ভুজ অংশটির পাতলা স্তরটিকে চিহ্নিত করে।

এই ধরনের প্রতিটি স্তরের ক্ষেত্রফল সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2।

এখানে A 0 হল বেসের ক্ষেত্রফল, z হল উল্লম্ব স্থানাঙ্কের মান। দেখা যায় যে যদি z = 0 হয়, তাহলে সূত্রটি A 0 মান দেয়।

একটি পিরামিডের আয়তনের সূত্র পেতে, আপনাকে চিত্রের সমগ্র উচ্চতার উপর অবিচ্ছেদ্য গণনা করা উচিত, তা হল:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz)।

নির্ভরতা A(z) প্রতিস্থাপন করে এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ গণনা করে, আমরা অভিব্যক্তিতে পৌঁছাই:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h।

আমরা একটি পিরামিডের আয়তনের সূত্র পেয়েছি। V-এর মান খুঁজে বের করতে, শুধুমাত্র বেসের ক্ষেত্রফল দ্বারা চিত্রের উচ্চতাকে গুণ করুন এবং তারপর ফলাফলটিকে তিনটি দ্বারা ভাগ করুন।

লক্ষ্য করুন যে ফলাফলের অভিব্যক্তিটি যে কোনও ধরণের পিরামিডের আয়তন গণনার জন্য বৈধ। যে, এটি বাঁক হতে পারে, এবং এর ভিত্তি একটি নির্বিচারে এন-গন হতে পারে।

এবং এর আয়তন

উপরের অনুচ্ছেদে প্রাপ্ত আয়তনের জন্য সাধারণ সূত্রটি নিয়মিত বেস সহ একটি পিরামিডের ক্ষেত্রে পরিমার্জিত করা যেতে পারে। এই ধরনের বেসের ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n)।

এখানে L হল n শীর্ষবিন্দু সহ একটি নিয়মিত বহুভুজের পার্শ্ব দৈর্ঘ্য। চিহ্ন পাই হল সংখ্যা পাই।

সাধারণ সূত্রে A 0 এর অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি নিয়মিত পিরামিডের আয়তন পাই:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n)।

উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের জন্য, এই সূত্রটি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিতে পরিণত হয়:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h।

একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের জন্য, আয়তনের সূত্রটি রূপ নেয়:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h।

নিয়মিত পিরামিডের আয়তন নির্ধারণের জন্য তাদের ভিত্তির দিক এবং চিত্রের উচ্চতা সম্পর্কে জ্ঞান প্রয়োজন।

কাটা পিরামিড

আসুন ধরে নিই যে আমরা একটি নির্বিচারে পিরামিড নিয়েছি এবং শীর্ষবিন্দু সহ এর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের অংশ কেটে ফেলেছি। অবশিষ্ট চিত্রটিকে একটি কাটা পিরামিড বলা হয়। এটি ইতিমধ্যে দুটি এন-গোনাল বেস এবং এন ট্র্যাপিজয়েড নিয়ে গঠিত যা তাদের সংযুক্ত করে। যদি কাটিং প্লেনটি চিত্রের ভিত্তির সমান্তরাল হয়, তবে একই সমান্তরাল ঘাঁটিগুলির সাথে একটি কাটা পিরামিড গঠিত হয়। অর্থাৎ, তাদের একটির বাহুর দৈর্ঘ্য অন্যটির দৈর্ঘ্যকে একটি নির্দিষ্ট সহগ k দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়।

উপরের চিত্রটি একটি ছেঁটে যাওয়া নিয়মিত দেখায়। এটি দেখা যায় যে নীচেরটির মতো এর উপরের ভিত্তিটি একটি নিয়মিত ষড়ভুজ দ্বারা গঠিত।

উপরের অনুরূপ পূর্ণাঙ্গ ক্যালকুলাস ব্যবহার করে যে সূত্রটি তৈরি করা যেতে পারে তা হল:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1))।

যেখানে A 0 এবং A 1 হল যথাক্রমে নিম্ন (বড়) এবং উপরের (ছোট) ঘাঁটির ক্ষেত্র। h পরিবর্তনশীলটি ছাঁটা পিরামিডের উচ্চতা নির্দেশ করে।

চেওপস পিরামিডের আয়তন

বৃহত্তম মিশরীয় পিরামিডের ভিতরে থাকা আয়তন নির্ধারণের সমস্যাটি সমাধান করা আকর্ষণীয়।

1984 সালে, ব্রিটিশ ইজিপ্টোলজিস্ট মার্ক লেহনার এবং জন গুডম্যান চেওপস পিরামিডের সঠিক মাত্রা প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। এর মূল উচ্চতা ছিল 146.50 মিটার (বর্তমানে প্রায় 137 মিটার)। কাঠামোর চার পাশের প্রতিটির গড় দৈর্ঘ্য ছিল ২৩০.৩৬৩ মিটার। পিরামিডের ভিত্তিটি উচ্চ নির্ভুলতা সহ বর্গাকার।

এই পাথর দৈত্যের আয়তন নির্ধারণ করতে প্রদত্ত পরিসংখ্যান ব্যবহার করা যাক। যেহেতু পিরামিড নিয়মিত চতুর্ভুজাকার, তাহলে সূত্রটি এর জন্য বৈধ:

সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.

চেওপস পিরামিডের আয়তন প্রায় 2.6 মিলিয়ন m3। তুলনা করার জন্য, আমরা নোট করি যে অলিম্পিক সুইমিং পুলের আয়তন 2.5 হাজার মি 3। অর্থাৎ, পুরো চেওপস পিরামিডটি পূরণ করতে আপনার এমন 1000 টিরও বেশি পুলের প্রয়োজন হবে!

পিরামিডএকটি পলিহেড্রন, যার একটি মুখ একটি বহুভুজ ( ভিত্তি ), এবং অন্যান্য সমস্ত মুখ একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু সহ ত্রিভুজ ( পাশের মুখ ) (চিত্র 15)। পিরামিড বলা হয় সঠিক , যদি এর ভিত্তি হয় নিয়মিত বহুভুজএবং পিরামিডের শীর্ষটি ভিত্তির কেন্দ্রে প্রক্ষিপ্ত হয় (চিত্র 16)। একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড যার সব প্রান্ত সমান তাকে বলা হয় টেট্রাহেড্রন .

পার্শ্বীয় পাঁজরএকটি পিরামিড হল পাশের মুখের পাশ যা ভিত্তির অন্তর্গত নয় উচ্চতা পিরামিড হল তার উপর থেকে বেসের সমতলে দূরত্ব। একটি নিয়মিত পিরামিডের সমস্ত পার্শ্বীয় প্রান্ত একে অপরের সমান, সমস্ত পার্শ্বীয় মুখগুলি সমান সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা নিয়মিত পিরামিডের পাশের মুখের উচ্চতাকে বলা হয় apothem . তির্যক বিভাগ একটি সমতল দ্বারা একটি পিরামিডের একটি অংশ বলা হয় দুটি পার্শ্বীয় প্রান্তের মধ্য দিয়ে যা একই মুখের অন্তর্গত নয়।

পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ এলাকাপিরামিড হল সমস্ত পার্শ্বীয় মুখের এলাকার সমষ্টি। মোট পৃষ্ঠ এলাকা একে বলা হয় সমস্ত পাশের মুখ এবং ভিত্তির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি।

উপপাদ্য

1. যদি একটি পিরামিডের সমস্ত পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি বেসের সমতলে সমানভাবে ঝুঁকে থাকে, তাহলে পিরামিডের শীর্ষটি ভিত্তির কাছাকাছি ঘেরা বৃত্তের কেন্দ্রে অভিক্ষিপ্ত হয়।

2. যদি একটি পিরামিডের সমস্ত পার্শ্ব প্রান্তের দৈর্ঘ্য সমান হয়, তাহলে পিরামিডের শীর্ষটি ভিত্তির কাছে ঘেরা একটি বৃত্তের কেন্দ্রে অভিক্ষিপ্ত হয়।

3. যদি একটি পিরামিডের সমস্ত মুখ বেসের সমতলে সমানভাবে ঝুঁকে থাকে, তাহলে পিরামিডের শীর্ষটি ভিত্তিতে খোদাই করা একটি বৃত্তের কেন্দ্রে প্রক্ষিপ্ত হয়।

একটি নির্বিচারে পিরামিডের আয়তন গণনা করতে, সঠিক সূত্রটি হল:

কোথায় ভি- আয়তন;

এস বেস- ভিত্তি এলাকা;

এইচ- পিরামিডের উচ্চতা।

একটি নিয়মিত পিরামিডের জন্য, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি সঠিক:

কোথায় পি- বেস পরিধি;

জ ক- apothem;

এইচ- উচ্চতা;

এস পূর্ণ

এস পাশ

এস বেস- ভিত্তি এলাকা;

ভি- একটি নিয়মিত পিরামিডের আয়তন।

কাটা পিরামিডপিরামিডের বেস এবং পিরামিডের ভিত্তির সমান্তরাল একটি কাটিং প্লেনের মধ্যে ঘেরা পিরামিডের অংশকে বলা হয় (চিত্র 17)। নিয়মিত কাটা পিরামিড বেস এবং পিরামিডের ভিত্তির সমান্তরাল একটি কাটিং প্লেনের মধ্যে ঘেরা একটি নিয়মিত পিরামিডের অংশকে বলা হয়।

কারণছোট পিরামিড - অনুরূপ বহুভুজ। পাশের মুখগুলো - ট্র্যাপিজয়েডস। উচ্চতা একটি ছোট পিরামিড এর ঘাঁটির মধ্যে দূরত্ব। তির্যক একটি ছোট পিরামিড হল একটি অংশ যা এর শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে যা একই মুখের উপর থাকে না। তির্যক বিভাগ একটি ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের একটি অংশ যা একটি সমতল দুটি পার্শ্বীয় প্রান্তের মধ্য দিয়ে যায় যা একই মুখের অন্তর্গত নয়।

একটি কাটা পিরামিডের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলি বৈধ:

(4)

কোথায় এস 1 , এস 2 - উপরের এবং নীচের ঘাঁটিগুলির এলাকা;

এস পূর্ণ- মোট পৃষ্ঠ এলাকা;

এস পাশ- পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ এলাকা;

এইচ- উচ্চতা;

ভি- একটি কাটা পিরামিডের আয়তন।

একটি নিয়মিত কাটা পিরামিডের জন্য সূত্রটি সঠিক:

কোথায় পি 1 , পি 2 – ঘাঁটিগুলির পরিধি;

জ ক- একটি নিয়মিত কাটা পিরামিড এর apothem.

উদাহরণ 1.একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডে, গোড়ায় ডিহেড্রাল কোণ 60º। বেসের সমতলে পাশের প্রান্তের প্রবণতার কোণের স্পর্শক খুঁজুন।

সমাধান।আসুন একটি অঙ্কন করি (চিত্র 18)।

পিরামিড নিয়মিত, যার অর্থ হল গোড়ায় একটি সমবাহু ত্রিভুজ রয়েছে এবং সমস্ত পাশের মুখগুলি সমান সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। গোড়ার ডাইহেড্রাল কোণ হল বেসের সমতলে পিরামিডের পাশের মুখের প্রবণতার কোণ। রৈখিক কোণ হল কোণ কদুটি লম্বের মধ্যে: ইত্যাদি পিরামিডের শীর্ষটি ত্রিভুজের কেন্দ্রে (বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিভুজের খোদাইকৃত বৃত্ত) প্রক্ষিপ্ত হয় এবিসি) পাশের প্রান্তের প্রবণতার কোণ (উদাহরণস্বরূপ এস.বি.) হল প্রান্ত এবং ভিত্তির সমতলে এর অভিক্ষেপের মধ্যবর্তী কোণ। পাঁজরের জন্য এস.বি.এই কোণ কোণ হবে এসবিডি. স্পর্শক খুঁজে পেতে আপনার পা জানতে হবে তাইএবং ও.বি.. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য যাক বিডিসমান 3 ক. ডট সম্পর্কিতলাইনের অংশ বিডিঅংশে বিভক্ত করা হয়: এবং আমরা খুঁজে থেকে তাই: থেকে আমরা খুঁজে পাই:

উত্তর:

উদাহরণ 2।একটি নিয়মিত কাটা চতুর্ভুজাকার পিরামিডের আয়তন নির্ণয় করুন যদি এর ভিত্তিগুলির কর্ণগুলি সেমি এবং সেমি সমান হয় এবং এর উচ্চতা 4 সেমি হয়।

সমাধান।একটি কাটা পিরামিডের আয়তন খুঁজে পেতে, আমরা সূত্র (4) ব্যবহার করি। খুঁজতে ভিত্তি এলাকাবেস বর্গক্ষেত্রগুলির দিকগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন, তাদের কর্ণগুলি জেনে। ঘাঁটিগুলির দিকগুলি যথাক্রমে 2 সেমি এবং 8 সেমি সমান। এর অর্থ হল ঘাঁটির ক্ষেত্রগুলি এবং সূত্রে সমস্ত ডেটা প্রতিস্থাপন করে, আমরা কাটা পিরামিডের আয়তন গণনা করি:

উত্তর: 112 সেমি 3.

উদাহরণ 3.একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখের ক্ষেত্রফল খুঁজুন, যার ভিত্তিগুলির পার্শ্বগুলি 10 সেমি এবং 4 সেমি এবং পিরামিডের উচ্চতা 2 সেমি।

সমাধান।আসুন একটি অঙ্কন করি (চিত্র 19)।

এই পিরামিডের পাশের মুখটি একটি সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড। একটি ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনাকে ভিত্তি এবং উচ্চতা জানতে হবে। শর্ত অনুযায়ী ঘাঁটি দেওয়া হয়, শুধুমাত্র উচ্চতা অজানা থেকে যায়। আমরা তাকে কোথা থেকে খুঁজে বের করব ক 1 ইএকটি বিন্দু থেকে লম্ব কনিচের বেসের সমতলে 1, ক 1 ডি– থেকে লম্ব কপ্রতি 1 এসি. ক 1 ই= 2 সেমি, যেহেতু এটি পিরামিডের উচ্চতা। খুঁজতে ডি.ইশীর্ষ ভিউ দেখান একটি অতিরিক্ত অঙ্কন করা যাক (চিত্র 20)। ডট সম্পর্কিত- উপরের এবং নীচের ঘাঁটিগুলির কেন্দ্রগুলির অভিক্ষেপ। যেহেতু (চিত্র 20 দেখুন) এবং অন্যদিকে ঠিক আছে– বৃত্তে খোদাই করা ব্যাসার্ধ এবং ওম- একটি বৃত্তে খোদিত ব্যাসার্ধ:

MK = DE.

থেকে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুযায়ী

পাশের মুখের এলাকা:

উত্তর:

উদাহরণ 4.পিরামিডের গোড়ায় একটি সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড রয়েছে, যার ভিত্তিগুলি কএবং খ (ক> খ) প্রতিটি পাশের মুখ পিরামিডের গোড়ার সমতলের সমান একটি কোণ গঠন করে j. পিরামিডের মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান।আসুন একটি অঙ্কন করি (চিত্র 21)। পিরামিডের মোট পৃষ্ঠ এলাকা এসএবিসিডিক্ষেত্রফলের সমষ্টি এবং ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলের সমান এ বি সি ডি.

আসুন আমরা এই বিবৃতিটি ব্যবহার করি যে যদি পিরামিডের সমস্ত মুখ বেসের সমতলে সমানভাবে ঝুঁকে থাকে, তাহলে শীর্ষবিন্দুটি ভিত্তিতে খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্রে প্রক্ষিপ্ত হয়। ডট সম্পর্কিত- শীর্ষবিন্দু অভিক্ষেপ এসপিরামিডের গোড়ায়। ত্রিভুজ এসওডিত্রিভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ সিএসডিবেসের সমতলে। অর্থোগোনাল প্রজেকশনের ক্ষেত্রে উপপাদ্য দ্বারা সমতল চিত্রআমরা পেতে:

একইভাবে এর অর্থ এইভাবে, ট্র্যাপিজয়েডের এলাকা খুঁজে পেতে সমস্যাটি হ্রাস করা হয়েছিল এ বি সি ডি. আসুন একটি ট্র্যাপিজয়েড আঁকুন এ বি সি ডিআলাদাভাবে (চিত্র 22)। ডট সম্পর্কিত- একটি ট্রাপিজয়েডে খোদাই করা একটি বৃত্তের কেন্দ্র।

যেহেতু একটি বৃত্ত একটি ট্র্যাপিজয়েডে খোদাই করা যেতে পারে, তাহলে বা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে আমরা

কাটা পিরামিডএকটি পলিহেড্রন যার শীর্ষবিন্দু হল ভিত্তির শীর্ষবিন্দু এবং বেসের সমান্তরাল সমতল দ্বারা এর বিভাগের শীর্ষবিন্দু।

একটি কাটা পিরামিডের বৈশিষ্ট্য:

• একটি কাটা পিরামিডের ভিত্তিগুলি একই রকম বহুভুজ।
• কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখগুলি হল ট্র্যাপিজয়েড।
• একটি নিয়মিত কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি সমান এবং পিরামিডের গোড়ার দিকে সমানভাবে ঝুঁকে থাকে।
• নিয়মিত কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখগুলি সমান সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড এবং পিরামিডের গোড়ার দিকে সমানভাবে ঝুঁকে থাকে।
• একটি নিয়মিত ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের পার্শ্বীয় প্রান্তে দ্বিহেড্রাল কোণগুলি সমান।

একটি কাটা পিরামিডের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন

ছেঁটে দেওয়া পিরামিডের উচ্চতা হোক, এবং ছেঁটে দেওয়া পিরামিডের ঘাঁটির পরিধি হোক, এবং কাটা পিরামিডের ঘাঁটির ক্ষেত্র হোক, কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হোক, ক্ষেত্রফল হোক ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের মোট পৃষ্ঠের, এবং ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের আয়তন। তারপর নিম্নলিখিত সম্পর্ক রাখা:

.

যদি একটি কাটা পিরামিডের গোড়ার সমস্ত ডাইহেড্রাল কোণ সমান হয় এবং পিরামিডের সমস্ত পার্শ্বীয় মুখের উচ্চতা সমান হয়, তাহলে

এবং একটি কাটিং প্লেন যা এর ভিত্তির সমান্তরাল।

বা অন্য কথায়: কাটা পিরামিড- এটি একটি পলিহেড্রন যা একটি পিরামিড এবং এর ক্রস বিভাগটি ভিত্তির সমান্তরাল দ্বারা গঠিত।

পিরামিডের ভিত্তির সমান্তরাল একটি অংশ পিরামিডকে 2 ভাগে বিভক্ত করে। পিরামিড এর বেস এবং ক্রস সেকশনের মধ্যবর্তী অংশ কাটা পিরামিড.

একটি কাটা পিরামিডের জন্য এই বিভাগটি এই পিরামিডের ভিত্তিগুলির মধ্যে একটি হতে দেখা যাচ্ছে।

একটি কাটা পিরামিডের ঘাঁটির মধ্যে দূরত্ব হল একটি কাটা পিরামিডের উচ্চতা.

কাটা পিরামিড হবে সঠিক, যখন পিরামিড থেকে এটি উদ্ভূত হয়েছিল তাও সঠিক ছিল।

নিয়মিত কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখের ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতা apothemনিয়মিত কাটা পিরামিড।

একটি কাটা পিরামিড বৈশিষ্ট্য.

1. নিয়মিত কাটা পিরামিডের প্রতিটি পাশের মুখ একই আকারের একটি সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড।

2. একটি ছাঁটা পিরামিডের ভিত্তিগুলি একই রকম বহুভুজ।

3. একটি নিয়মিত কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি সমান আকারের হয় এবং একটি পিরামিডের গোড়ার সাথে তুলনা করে ঝুঁকে থাকে।

4. কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখগুলি হল ট্র্যাপিজয়েড।

5. একটি নিয়মিত ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের পাশ্বর্ীয় প্রান্তে ডিহেড্রাল কোণগুলি সমান মাত্রার।

6. ভিত্তি এলাকার অনুপাত: S 2 /S 1 = k 2.

একটি কাটা পিরামিড জন্য সূত্র.

একটি নির্বিচারে পিরামিডের জন্য:

একটি কাটা পিরামিডের আয়তন উচ্চতার গুণফলের 1/3 সমান জ (ওএস) উপরের ভিত্তির ক্ষেত্রফলের যোগফল দ্বারা এস ঘ (abcde), কাটা পিরামিডের নীচের ভিত্তি এস 2 (ABCDE) এবং তাদের মধ্যে গড় সমানুপাতিক।

পিরামিড ভলিউম:

কোথায় এস ঘ, এস 2- বেস এলাকা,

জ— কাটা পিরামিডের উচ্চতা।

পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ এলাকা কাটা পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টির সমান।

একটি নিয়মিত কাটা পিরামিডের জন্য:

নিয়মিত কাটা পিরামিড- একটি পলিহেড্রন যা একটি নিয়মিত পিরামিড এবং এর বিভাগ দ্বারা গঠিত হয়, যা বেসের সমান্তরাল।

একটি নিয়মিত ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল তার ঘাঁটি এবং অ্যাপোথেমের পরিধির যোগফলের ½ গুণফলের সমান।

কোথায় এস ঘ, এস 2- বেস এলাকা,

φ - পিরামিডের গোড়ায় ডাইহেড্রাল কোণ।

সিএইচকাটা পিরামিডের উচ্চতা, পৃ 1এবং P2- ঘাঁটিগুলির পরিধি, এস ঘএবং এস 2- ভিত্তি এলাকা, এস পাশ- পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ এলাকা, এস পূর্ণ- মোট পৃষ্ঠ এলাকা:

বেসের সমান্তরাল সমতল দ্বারা একটি পিরামিডের বিভাগ।

একটি সমতল দ্বারা একটি পিরামিডের একটি অংশ, যা তার ভিত্তির সমান্তরাল (উচ্চতার সাথে লম্ব) এবং পিরামিডের উচ্চতা এবং পার্শ্বীয় প্রান্তগুলিকে সমানুপাতিক অংশে ভাগ করে।

একটি সমতল দ্বারা একটি পিরামিডের একটি অংশ যা এর ভিত্তির সমান্তরাল (এর উচ্চতার সাথে লম্ব) একটি বহুভুজ যা পিরামিডের ভিত্তির অনুরূপ এবং এই বহুভুজগুলির সাদৃশ্য সহগ উপরের থেকে তাদের দূরত্বের অনুপাতের সাথে মিলে যায় পিরামিড এর

পিরামিডের ভিত্তির সমান্তরাল আড়াআড়ি অংশগুলি পিরামিডের শীর্ষ থেকে তাদের দূরত্বের বর্গ দ্বারা বিভক্ত।

একটি পিরামিড হল একটি পলিহেড্রন যার ভিত্তি একটি নির্বিচারে বহুভুজ দ্বারা উপস্থাপিত হয়, এবং অবশিষ্ট মুখগুলি একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু সহ ত্রিভুজ, যা পিরামিডের শীর্ষের সাথে মিলে যায়।
আপনি যদি পিরামিডের বেসের সমান্তরাল একটি অংশ আঁকেন তবে এটি চিত্রটিকে দুটি ভাগে ভাগ করবে। নীচের বেস এবং বিভাগের মধ্যে স্থান, প্রান্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ, বলা হয় কাটা পিরামিড.

একটি কাটা পিরামিডের আয়তনের সূত্রটি উচ্চতার গুণফলের এক তৃতীয়াংশ এবং তাদের গড় সমানুপাতিক সহ উপরের এবং নীচের ঘাঁটিগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি:

আসুন একটি ছোট পিরামিডের আয়তন গণনার একটি উদাহরণ বিবেচনা করি।

সমস্যা: একটি ত্রিভুজাকার ছোট পিরামিড দেওয়া হয়েছে। এর উচ্চতা h = 10 সেমি, একটি বেসের বাহুগুলি হল a = 27 সেমি, b = 29 সেমি, c = 52 সেমি। দ্বিতীয় ভিত্তিটির পরিধি হল P2 = 72 সেমি। পিরামিডের আয়তন নির্ণয় কর।

ভলিউম গণনা করতে, আমাদের ঘাঁটির ক্ষেত্রফল প্রয়োজন। একটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য জেনে আমরা > গণনা করতে পারি। এটি করার জন্য আপনাকে আধা-ঘেরটি খুঁজে বের করতে হবে:


এখন S2 খুঁজে বের করা যাক:


পিরামিডটি কেটে ফেলা হয়েছে জেনে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে বেসে থাকা ত্রিভুজগুলি একই রকম। এই ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য সহগ ঘেরের অনুপাত থেকে পাওয়া যেতে পারে। ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফলের অনুপাত এই সহগের বর্গক্ষেত্রের সমান হবে:



এখন যেহেতু আমরা কাটা পিরামিডের ঘাঁটির ক্ষেত্রফল পেয়েছি, আমরা সহজেই এর আয়তন গণনা করতে পারি:

এইভাবে, সাদৃশ্য সহগ গণনা করে এবং ঘাঁটিগুলির ক্ষেত্রফল গণনা করে, আমরা একটি প্রদত্ত ছাঁটা পিরামিডের আয়তন খুঁজে পেয়েছি।