ই থেকে x পাওয়ার ডেরিভেটিভের একটি আশ্চর্যজনক বৈশিষ্ট্য। x এর শক্তির একটি সূচকের ডেরিভেটিভ একটি সীমা কী

বিষয় অধ্যয়ন করার সময় সুবিধার জন্য এবং স্পষ্টতার জন্য আমরা একটি সারসংক্ষেপ সারণী উপস্থাপন করি।

ধ্রুবকy = গ

পাওয়ার ফাংশন y = x p

(x p) " = p x p - 1

ব্যাখ্যামূলক কাজy = a x

(a x) " = a x ln a

বিশেষ করে, যখনa = ইআমাদের আছে y = e x

(e x) " = e x

লগারিদমিক ফাংশন

(log a x) " = 1 x ln a

বিশেষ করে, যখনa = ইআমাদের আছে y = logx

(ln x) " = 1 x

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

হাইপারবোলিক ফাংশন

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

আসুন আমরা বিশ্লেষণ করি যে কীভাবে নির্দিষ্ট টেবিলের সূত্রগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল বা, অন্য কথায়, আমরা প্রতিটি ধরণের ফাংশনের জন্য ডেরিভেটিভ সূত্রগুলির ডেরিভেশন প্রমাণ করব।

একটি ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ

প্রমাণ 1

এই সূত্রটি বের করার জন্য, আমরা একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের সংজ্ঞাটিকে ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করি। আমরা x 0 = x, যেখানে ব্যবহার করি এক্সযেকোনো বাস্তব সংখ্যার মান নেয়, বা অন্য কথায়, এক্স f(x) = C ফাংশনের ডোমেইন থেকে যে কোনো সংখ্যা। একটি ফাংশনের বৃদ্ধি এবং আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা ∆ x → 0 হিসাবে লিখি:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে 0 ∆ x এক্সপ্রেশনটি সীমা চিহ্নের অধীনে পড়ে। এটা "শূন্য দিয়ে ভাগ করা শূন্য" অনিশ্চয়তা নয়, যেহেতু লবটিতে একটি অসীম মান থাকে না, তবে অবিকল শূন্য। অন্য কথায়, একটি ধ্রুবক ফাংশনের বৃদ্ধি সর্বদা শূন্য।

সুতরাং, ধ্রুবক ফাংশনের ডেরিভেটিভ f (x) = C সম্পূর্ণ সংজ্ঞার ডোমেন জুড়ে শূন্যের সমান।

উদাহরণ 1

ধ্রুবক ফাংশন দেওয়া হয়:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4। 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

সমাধান

আসুন প্রদত্ত শর্তগুলি বর্ণনা করি। প্রথম ফাংশনে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যা 3 এর ডেরিভেটিভ দেখতে পাচ্ছি। নিম্নলিখিত উদাহরণে, আপনাকে এর ডেরিভেটিভ নিতে হবে ক, কোথায় ক- যেকোনো বাস্তব সংখ্যা। তৃতীয় উদাহরণটি আমাদের অযৌক্তিক সংখ্যা 4 এর ডেরিভেটিভ দেয়। 13 7 22, চতুর্থটি শূন্যের ডেরিভেটিভ (শূন্য একটি পূর্ণসংখ্যা)। অবশেষে, পঞ্চম ক্ষেত্রে আমাদের মূলদ ভগ্নাংশের ডেরিভেটিভ আছে - 8 7।

উত্তর:প্রদত্ত ফাংশনের ডেরিভেটিভ যেকোন বাস্তবের জন্য শূন্য এক্স(সম্পূর্ণ সংজ্ঞা এলাকায়)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4. 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভ

চলুন চলুন পাওয়ার ফাংশনএবং এর ডেরিভেটিভের সূত্র, যার ফর্ম আছে: (x p) " = p x p - 1, যেখানে সূচক পিকোনো বাস্তব সংখ্যা।

প্রমাণ 2

সূচকটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হলে সূত্রটির প্রমাণ এখানে রয়েছে: p = 1, 2, 3, …

আমরা আবার একটি ডেরিভেটিভের সংজ্ঞার উপর নির্ভর করি। একটি পাওয়ার ফাংশনের বৃদ্ধি এবং আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমাটি লিখি:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

লবটিতে অভিব্যক্তিটি সরল করার জন্য, আমরা নিউটনের দ্বিপদ সূত্র ব্যবহার করি:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

এইভাবে:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

এইভাবে, আমরা একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করেছি যখন সূচকটি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা।

প্রমাণ 3

মামলার সাক্ষ্যপ্রমাণ দিতে যখন ড পি-শূন্য ব্যতীত অন্য কোনো বাস্তব সংখ্যা, আমরা লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করি (এখানে আমাদের একটি লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ থেকে পার্থক্য বোঝা উচিত)। আরও সম্পূর্ণ বোঝার জন্য, লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ অধ্যয়ন করা এবং অতিরিক্তভাবে একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ বোঝার পরামর্শ দেওয়া হয়।

আসুন দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক: কখন এক্সইতিবাচক এবং কখন এক্সনেতিবাচক.

তাই x > 0। তারপর: x p > 0। আসুন বেস e এর সমতা y = x p লগারিদম করি এবং লগারিদমের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করি:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

এই পর্যায়ে, আমরা একটি অন্তর্নিহিতভাবে নির্দিষ্ট ফাংশন পেয়েছি। এর ডেরিভেটিভ সংজ্ঞায়িত করা যাক:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

এখন আমরা যখন মামলা বিবেচনা এক্স -একটি নেতিবাচক সংখ্যা।

যদি নির্দেশক পিএকটি জোড় সংখ্যা, তারপর পাওয়ার ফাংশন x এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

তারপর x পি< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

যদি পিএকটি বিজোড় সংখ্যা, তারপর পাওয়ার ফাংশন x এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - (- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

শেষ ট্রানজিশনের কারণে সম্ভব হয় যদি পিতাহলে একটি বিজোড় সংখ্যা p - 1হয় একটি জোড় সংখ্যা বা শূন্য (p = 1 এর জন্য), অতএব, ঋণাত্মক এক্সসমতা (- x) p - 1 = x p - 1 সত্য।

সুতরাং, আমরা যে কোনো বাস্তব পি-এর জন্য একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র প্রমাণ করেছি।

উদাহরণ 2

দেওয়া ফাংশন:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x লগ 7 12

তাদের ডেরিভেটিভ নির্ধারণ করুন।

সমাধান

আমরা ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে প্রদত্ত কিছু ফাংশনকে ট্যাবুলার ফর্ম y = x p এ রূপান্তর করি এবং তারপর সূত্রটি ব্যবহার করি:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x লগ 7 12 = x - লগ 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - লগ 7 12 x - লগ 7 12 - 1 = - লগ 7 12 x - লগ 7 12 - লগ 7 7 = - লগ 7 12 x - লগ 7 84

একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ

প্রমাণ 4

আসুন একটি ভিত্তি হিসাবে সংজ্ঞা ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ সূত্রটি বের করি:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

আমরা অনিশ্চয়তা পেয়েছি। এটি প্রসারিত করতে, আসুন একটি নতুন চলক লিখি z = a ∆ x - 1 (z → 0 হিসাবে ∆ x → 0)। এই ক্ষেত্রে, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a । শেষ পরিবর্তনের জন্য, একটি নতুন লগারিদম বেসে রূপান্তরের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়েছিল।

আসুন মূল সীমাতে প্রতিস্থাপন করি:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

আসুন আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি মনে রাখি এবং তারপরে আমরা সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রটি পাই:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

উদাহরণ 3

সূচকীয় ফাংশন দেওয়া হয়:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

তাদের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

সমাধান

আমরা সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

প্রমাণ 5

আসুন আমরা যেকোন একটি লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রের একটি প্রমাণ প্রদান করি এক্সসংজ্ঞার ডোমেনে এবং লগারিদমের বেস a-এর যেকোনো অনুমোদিত মান। ডেরিভেটিভের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, আমরা পাই:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - লগ a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · লগ a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · লগ a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

সমতার নির্দেশিত চেইন থেকে এটা স্পষ্ট যে রূপান্তরগুলি লগারিদমের সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে ছিল। সমতা লিম ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা অনুসারে সত্য।

উদাহরণ 4

লগারিদমিক ফাংশন দেওয়া হয়:

f 1 (x) = লগ ln 3 x , f 2 (x) = ln x

তাদের ডেরিভেটিভগুলি গণনা করা প্রয়োজন।

সমাধান

প্রাপ্ত সূত্র প্রয়োগ করা যাক:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

সুতরাং, প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ এক দ্বারা বিভক্ত এক্স.

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস

প্রমাণ 6

আসুন কিছু ত্রিকোণমিতিক সূত্র এবং প্রথম বিস্ময়কর সীমাটি ব্যবহার করি একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রটি বের করার জন্য।

সাইন ফাংশনের ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা পাই:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

সাইনের পার্থক্যের সূত্রটি আমাদের নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করার অনুমতি দেবে:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

অবশেষে, আমরা প্রথম বিস্ময়কর সীমা ব্যবহার করি:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

সুতরাং, ফাংশনের ডেরিভেটিভ পাপ xইচ্ছাশক্তি cos x.

আমরা কোসাইনের ডেরিভেটিভের সূত্রটিও প্রমাণ করব:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

সেগুলো. cos x ফাংশনের ডেরিভেটিভ হবে – পাপ এক্স.

আমরা পার্থক্যের নিয়মের উপর ভিত্তি করে স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভের সূত্রগুলি বের করি:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস

ইনভার্স ফাংশনের ডেরিভেটিভের বিভাগটি আর্কসাইন, আর্কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভের সূত্রের প্রমাণের উপর ব্যাপক তথ্য প্রদান করে, তাই আমরা এখানে উপাদানটির নকল করব না।

হাইপারবোলিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস

প্রমাণ 7

আমরা ডিফারেনশিয়াল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য ডিফারেনসিয়াল নিয়ম এবং সূত্র ব্যবহার করে হাইপারবোলিক সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের ডেরিভেটিভের সূত্র বের করতে পারি:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

টেবিলের প্রথম সূত্রটি বের করার সময়, আমরা একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে এগিয়ে যাব। কোথায় নিয়ে যাই এক্স- যে কোনো বাস্তব সংখ্যা, অর্থাৎ, এক্স- ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন থেকে যেকোনো সংখ্যা। ফাংশনের বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা এখানে লিখি:

এটি লক্ষ করা উচিত যে সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি প্রাপ্ত হয়, যা শূন্য দ্বারা ভাগ করা শূন্যের অনিশ্চয়তা নয়, যেহেতু লবটিতে একটি অসীম মান নেই, তবে অবিকল শূন্য। অন্য কথায়, একটি ধ্রুবক ফাংশনের বৃদ্ধি সর্বদা শূন্য।

এইভাবে, একটি ধ্রুবক ফাংশনের ডেরিভেটিভসংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে শূন্যের সমান.

একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রের ফর্ম আছে , যেখানে সূচক পি- যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।

আসুন প্রথমে প্রাকৃতিক সূচকের সূত্রটি প্রমাণ করি, অর্থাৎ for p = 1, 2, 3, …

আমরা ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা ব্যবহার করব। একটি পাওয়ার ফাংশনের বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমাটি লিখুন:

লবটিতে অভিব্যক্তিটি সরল করার জন্য, আমরা নিউটন দ্বিপদ সূত্রে ফিরে আসি:

তাই,

এটি একটি প্রাকৃতিক সূচকের জন্য একটি পাওয়ার ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র প্রমাণ করে।

একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

আমরা সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে ডেরিভেটিভ সূত্রের উদ্ভব উপস্থাপন করি:

আমরা অনিশ্চয়তায় পৌঁছে গেছি। এটিকে প্রসারিত করার জন্য, আমরা একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করি, এবং তে। তারপর শেষ ট্রানজিশনে, আমরা একটি নতুন লগারিদমিক বেসে রূপান্তরের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করেছি।

আসল সীমাতে প্রতিস্থাপন করা যাক:

আমরা যদি দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি স্মরণ করি, তাহলে আমরা সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রে পৌঁছাই:

লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

সবার জন্য লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্রটি প্রমাণ করা যাক এক্সসংজ্ঞার ডোমেন এবং বেসের সমস্ত বৈধ মান থেকে কলগারিদম ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:

আপনি যেমন লক্ষ্য করেছেন, প্রমাণের সময় লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে রূপান্তরগুলি করা হয়েছিল। সমতা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার কারণে সত্য।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র বের করতে, আমাদের কিছু ত্রিকোণমিতি সূত্র স্মরণ করতে হবে, সেইসাথে প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা।

সাইন ফাংশনের জন্য ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে .

আসুন সাইন সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করি:

এটি প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার দিকে ঘুরতে বাকি রয়েছে:

সুতরাং, ফাংশনের ডেরিভেটিভ পাপ xএখানে cos x.

কোসাইনের ডেরিভেটিভের সূত্রটি ঠিক একইভাবে প্রমাণিত হয়।

অতএব, ফাংশনের ডেরিভেটিভ cos xএখানে -পাপ এক্স.

আমরা পার্থক্যের প্রমাণিত নিয়ম (একটি ভগ্নাংশের ডেরিভেটিভ) ব্যবহার করে স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য ডেরিভেটিভের সারণীর সূত্র বের করব।

হাইপারবোলিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস।

পার্থক্যের নিয়ম এবং ডেরিভেটিভের সারণী থেকে সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র আমাদের হাইপারবোলিক সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র বের করতে দেয়।

বিপরীত ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

প্রেজেন্টেশনের সময় বিভ্রান্তি এড়াতে, আসুন সাবস্ক্রিপ্টে ফাংশনের আর্গুমেন্ট বোঝাই যার দ্বারা ডিফারেন্সিয়েশন করা হয়, অর্থাৎ এটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ f(x)দ্বারা এক্স.

এখন ফর্মুলেট করা যাক একটি বিপরীত ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার নিয়ম।

ফাংশন যাক y = f(x)এবং x = g(y)পারস্পরিক বিপরীত, যথাক্রমে এবং ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত। যদি একটি বিন্দুতে ফাংশনের একটি সসীম অ-শূন্য ডেরিভেটিভ থাকে f(x), তারপর বিন্দুতে বিপরীত ফাংশনের একটি সসীম ডেরিভেটিভ আছে g(y), এবং . অন্য পোস্টে .

এই নিয়ম যে কোনো জন্য সংস্কার করা যেতে পারে এক্সব্যবধান থেকে, তারপর আমরা পেতে .

আসুন এই সূত্রগুলির বৈধতা পরীক্ষা করা যাক।

প্রাকৃতিক লগারিদমের বিপরীত ফাংশনটি খুঁজে বের করা যাক (এখানে yএকটি ফাংশন, এবং এক্স- যুক্তি). জন্য এই সমীকরণ সমাধান হচ্ছে এক্স, আমরা পাই (এখানে এক্সএকটি ফাংশন, এবং y- তার যুক্তি)। এটাই, এবং পারস্পরিক বিপরীত ফাংশন।

ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা তা দেখতে পাই এবং .

আসুন নিশ্চিত করি যে বিপরীত ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি সন্ধানের সূত্রগুলি আমাদের একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়:

প্রাচীনকালে অনেক সংখ্যা তাদের বিশালতা এবং কুসংস্কারপূর্ণ অর্থ অর্জন করেছিল। আজকাল তাদের সাথে নতুন নতুন মিথ যুক্ত হচ্ছে। পাই সংখ্যা সম্পর্কে অনেক কিংবদন্তি রয়েছে; বিখ্যাত ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি এর চেয়ে কম বিখ্যাত নয়। তবে সম্ভবত সবচেয়ে আশ্চর্যজনক বিষয় হল ই সংখ্যা, যা সে ছাড়া করতে পারে না আধুনিক গণিত, পদার্থবিদ্যা এবং এমনকি অর্থনীতি।

e এর গাণিতিক মান প্রায় 2.718। কেন ঠিক না, কিন্তু আনুমানিক? যেহেতু এই সংখ্যাটি অযৌক্তিক এবং অতীন্দ্রিয়, তাই একে প্রাকৃতিক পূর্ণসংখ্যার সাথে ভগ্নাংশ বা মূলদ সহগ সহ বহুপদ হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। বেশিরভাগ গণনার জন্য, 2.718 এর নির্দিষ্ট নির্ভুলতা যথেষ্ট, যদিও বর্তমান স্তর কম্পিউটার প্রযুক্তিএক ট্রিলিয়ন দশমিক স্থানেরও বেশি নির্ভুলতার সাথে আপনাকে এর মান নির্ধারণ করতে দেয়।

সংখ্যা ই এর প্রধান বৈশিষ্ট্য হল যে এর সূচকীয় ফাংশন f(x) = e x এর ডেরিভেটিভ e x ফাংশনের মানের সমান। অন্য কোন গাণিতিক সম্পর্কের এমন অস্বাভাবিক সম্পত্তি নেই। আসুন এই বিষয়ে একটু বিস্তারিতভাবে কথা বলি।

কি একটা সীমা

প্রথমে সীমার ধারণাটি বোঝা যাক। কিছু গাণিতিক অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, i = 1/n। দেখতে পারেন, যে "n" বৃদ্ধি পায়", "i"-এর মান হ্রাস পাবে, এবং "n" অসীমতার দিকে ঝুঁকবে (যা ∞ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়), "i" শূন্যের সমান সীমা মান (আরও প্রায়শই সীমা বলা হয়) প্রবণ হবে। বিবেচনাধীন ক্ষেত্রে সীমার (লিম হিসাবে চিহ্নিত) অভিব্যক্তিটি লিম n →∞ (1/ n) = 0 হিসাবে লেখা যেতে পারে।

বিভিন্ন অভিব্যক্তির জন্য বিভিন্ন সীমা রয়েছে। এই সীমাগুলির মধ্যে একটি, দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা হিসাবে সোভিয়েত এবং রাশিয়ান পাঠ্যপুস্তকে অন্তর্ভুক্ত, অভিব্যক্তি lim n →∞ (1+1/ n) n। ইতিমধ্যে মধ্যযুগে এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যে এই অভিব্যক্তির সীমাটি সংখ্যা ই।

প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমার মধ্যে রয়েছে lim n →∞ (Sin n / n) = 1 অভিব্যক্তি.

কিভাবে e x এর ডেরিভেটিভ বের করবেন - এই ভিডিওতে।

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ কি?

ডেরিভেটিভের ধারণা ব্যাখ্যা করার জন্য, গণিতে একটি ফাংশন কী তা আমাদের স্মরণ করা উচিত। জটিল সংজ্ঞা সহ পাঠ্যকে বিশৃঙ্খল না করার জন্য, আমরা একটি ফাংশনের স্বজ্ঞাত গাণিতিক ধারণার উপর ফোকাস করব, যা এই সত্যটি নিয়ে গঠিত যে এতে এক বা একাধিক পরিমাণ অন্য পরিমাণের মান সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করে যদি তারা পরস্পর সম্পর্কিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, সূত্র S = π ∙ r 2 একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল, ব্যাসার্ধ r এর মান সম্পূর্ণ এবং স্বতন্ত্রভাবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করে।

প্রকারের উপর নির্ভর করে, ফাংশনগুলি বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিক, লগারিদমিক ইত্যাদি হতে পারে৷ তাদের দুটি, তিন বা ততোধিক আর্গুমেন্ট আন্তঃসংযুক্ত থাকতে পারে৷ উদাহরণস্বরূপ, দূরত্ব S ভ্রমণ করেছে, যা একটি বস্তু একটি অভিন্ন ত্বরিত গতিতে আচ্ছাদিত, ফাংশন S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে, যেখানে "t" হল চলাচলের সময়, যুক্তি "a" ” হল ত্বরণ (হতে পারে ধনাত্মক বা এবং একটি ঋণাত্মক মান) এবং “V” হল নড়াচড়ার প্রাথমিক গতি। এইভাবে, ভ্রমণ করা দূরত্ব তিনটি আর্গুমেন্টের মানের উপর নির্ভর করে, যার মধ্যে দুটি ("a" এবং "V") ধ্রুবক।

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের প্রাথমিক ধারণাটি প্রদর্শন করতে এই উদাহরণটি ব্যবহার করা যাক। এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের পরিবর্তনের হারকে চিহ্নিত করে। আমাদের উদাহরণে, এটি সময়ের একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে বস্তুর চলাচলের গতি হবে। ধ্রুবক "a" এবং "V" এর সাথে, এটি শুধুমাত্র সময়ের "t" এর উপর নির্ভর করে, অর্থাৎ, বৈজ্ঞানিক ভাষায়, আপনাকে সময় "t" সাপেক্ষে S ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিতে হবে।

এই প্রক্রিয়াটিকে ডিফারেন্সিয়েশন বলা হয় এবং এটি একটি ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা এবং তার যুক্তির বৃদ্ধির সীমা গণনা করার মাধ্যমে সঞ্চালিত হয়। স্বতন্ত্র ফাংশনের জন্য এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করা প্রায়শই কঠিন এবং এখানে আলোচনা করা হয় না। এটাও লক্ষণীয় যে কিছু নির্দিষ্ট পয়েন্টে কিছু ফাংশনের কোনো সীমা নেই।

আমাদের উদাহরণে, ডেরিভেটিভ এসসময়ের সাথে সাথে "t" রূপ নেবে S" = ds/dt = a ∙ t + V, যেখান থেকে দেখা যায় যে S" গতি "t" এর উপর নির্ভর করে একটি রৈখিক নিয়ম অনুসারে পরিবর্তিত হয়।

সূচকের ডেরিভেটিভ

একটি সূচকীয় ফাংশনকে একটি সূচকীয় ফাংশন বলা হয়, যার ভিত্তি হল সংখ্যা e। এটি সাধারণত F (x) = e x আকারে প্রদর্শিত হয়, যেখানে এক্সপোনেন্ট x একটি পরিবর্তনশীল পরিমাণ। এই ফাংশনটি বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ পরিসরের উপর সম্পূর্ণ ভিন্নতা রয়েছে। x বাড়ার সাথে সাথে এটি ক্রমাগত বৃদ্ধি পায় এবং সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হয়। এর বিপরীত ফাংশন হল লগারিদম।

বিখ্যাত গণিতবিদ টেলর এই ফাংশনটিকে তার নামে একটি সিরিজে প্রসারিত করতে সক্ষম হন e x = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3/3! + … x রেঞ্জে - ∞ থেকে + ∞ পর্যন্ত।

এই ফাংশন উপর ভিত্তি করে আইন, কে সূচকীয় বলা হয়। সে বর্ণনা করে:

চক্রবৃদ্ধি ব্যাংক সুদের হার বৃদ্ধি;
পশু জনসংখ্যা এবং বিশ্বব্যাপী জনসংখ্যা বৃদ্ধি;
কঠোর মর্টিস সময় এবং আরো অনেক কিছু।

আসুন আমরা এই নির্ভরতার উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্যটি আবারও পুনরাবৃত্তি করি - যে কোনও বিন্দুতে এর ডেরিভেটিভের মান সর্বদা এই বিন্দুতে ফাংশনের মানের সমান, অর্থাৎ (e x)" = e x।

আসুন আমরা সূচকের সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভগুলি উপস্থাপন করি:

(e ax)" = a ∙ e ax ;
(e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x)।

এই নির্ভরতাগুলি ব্যবহার করে, এই ফাংশনের অন্যান্য বিশেষ ধরণের জন্য ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ।

সংখ্যা সম্পর্কে কিছু মজার তথ্য ই

নেপিয়ার, ওট্রেড, হাইজেনস, বার্নোলি, লাইবনিজ, নিউটন, অয়লার এবং অন্যান্যদের মতো বিজ্ঞানীদের নাম এই সংখ্যার সাথে যুক্ত। পরেরটি আসলে এই সংখ্যার জন্য স্বরলিপি ই চালু করেছিল, এবং প্রথম 18টি চিহ্নও খুঁজে পেয়েছিল, সিরিজটি ব্যবহার করে e = 1 + 1/1 যা তিনি গণনার জন্য আবিষ্কার করেছিলেন! + 2/2! +3/3! ...

সংখ্যাটি সবচেয়ে অপ্রত্যাশিত স্থানে প্রদর্শিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি ক্যাটেনারি সমীকরণের অন্তর্ভুক্ত, যা একটি দড়ির তার নিজের ওজনের নিচের ঝাঁকুনিকে বর্ণনা করে যখন এর প্রান্তগুলি সমর্থনে স্থির থাকে।

ভিডিও

ভিডিও পাঠের বিষয় হল সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

মৌলিক ধারণা

$x$ শক্তির সূচকের ডেরিভেটিভের প্রশ্নটি পরীক্ষা করার আগে, আসুন সংজ্ঞাগুলি স্মরণ করি

ফাংশন
ক্রম সীমা;
অমৌলিক;
প্রদর্শক

$x$ এর শক্তিতে একটি সূচকের ডেরিভেটিভের স্পষ্ট বোঝার জন্য এটি প্রয়োজনীয়।

সংজ্ঞা 1

একটি ফাংশন দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি সম্পর্ক।

ধরা যাক $y=f(x)$, যেখানে $x$ এবং $y$ হল ভেরিয়েবল। এখানে $x$ কে আর্গুমেন্ট বলা হয় এবং $y$ কে ফাংশন বলা হয়। যুক্তি নির্বিচারে মান নিতে পারে. পালাক্রমে, ভেরিয়েবল $y$ যুক্তির উপর নির্ভর করে একটি নির্দিষ্ট আইন অনুসারে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ, আর্গুমেন্ট $x$ হল স্বাধীন চলক, এবং ফাংশন $y$ হল নির্ভরশীল ভেরিয়েবল। যে কোনো মূল্য $x$ এর জন্য একটি অনন্য মান $y$ আছে।

যদি, কিছু নিয়ম অনুসারে, প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা $n=1, 2, 3, ...$ একটি সংখ্যার সাথে যুক্ত হয় $x_n$, তাহলে আমরা বলি যে সংখ্যাগুলির ক্রম $x_1,x_2,..., x_n$ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। অন্যথায়, এই ধরনের একটি ক্রম $$x_n$$ হিসাবে লেখা হয়। সমস্ত সংখ্যা $x_n$ কে ক্রমটির সদস্য বা উপাদান বলা হয়।

সংজ্ঞা 2

একটি অনুক্রমের সীমা হল সংখ্যা রেখার সসীম বা অসীম দূরবর্তী বিন্দু। সীমাটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$। এই স্বরলিপির অর্থ হল $x_n$ ভেরিয়েবল $a$ $x_n\ থেকে a$ এর দিকে থাকে।

$x_0$ বিন্দুতে $f$ ফাংশনের ডেরিভেটিভকে নিম্নলিখিত সীমা বলা হয়:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$। এটি $f"(x_0)$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়৷

$e$ সংখ্যাটি নিম্নলিখিত সীমার সমান:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\আনুমানিক 2.718281828459045...$

এই সীমাতে, $n$ একটি স্বাভাবিক বা বাস্তব সংখ্যা।

সীমা, ডেরিভেটিভ এবং সূচকের ধারণাগুলি আয়ত্ত করার পরে, আমরা সূত্রটি প্রমাণ করতে শুরু করতে পারি $(e^x)"=e^x$।

$x$ শক্তিতে একটি সূচকের ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ

আমাদের আছে $e^x$, যেখানে $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$।

সূচকের বৈশিষ্ট্য দ্বারা $e^(a+bx)=e^a*e^b$ আমরা সীমার লব রূপান্তর করতে পারি:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$।

অর্থাৎ, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ থেকে 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$।

আসুন $t=e^(\Delta x)-1$ বোঝাই। আমরা পাই $e^(\Delta x)=t+1$, এবং লগারিদমের বৈশিষ্ট্য দ্বারা দেখা যাচ্ছে যে $\Delta x = ln(t+1)$।

যেহেতু সূচকীয় ক্রমাগত, আমাদের কাছে $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ তাই, যদি $\Delta x\to 0$, তাহলে $ t \ থেকে 0$।

ফলস্বরূপ, আমরা রূপান্তর দেখাই:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0)\frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$।

আসুন $n=\frac (1)(t)$, তারপর $t=\frac(1)(n)$ বোঝাই। দেখা যাচ্ছে যে যদি $t\to 0$, তাহলে $n\to\infty$।

আসুন আমাদের সীমা পরিবর্তন করি:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$।

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য অনুসারে $b\cdot ln c=ln c^b$ আমাদের আছে

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

সীমাটি নিম্নরূপ রূপান্তরিত হয়:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$।

লগারিদমের ধারাবাহিকতার বৈশিষ্ট্য এবং একটানা ফাংশনের জন্য সীমার বৈশিষ্ট্য অনুসারে: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, যেখানে $f(x)$ এর ধনাত্মক সীমা $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$ আছে। সুতরাং, লগারিদম ক্রমাগত এবং একটি ধনাত্মক সীমা $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ থাকার কারণে, আমরা অনুমান করতে পারি:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$।

দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার মান ব্যবহার করা যাক $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$। আমরা পেতে:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$।

এইভাবে, আমরা একটি সূচকের ডেরিভেটিভের সূত্রটি পেয়েছি এবং দাবি করতে পারি যে $x$ এর ঘাতের একটি সূচকের ডেরিভেটিভ $x$ এর ঘাতের একটি সূচকের ডেরিভেটিভের সমতুল্য:

অন্যান্য সূত্র এবং নিয়ম ব্যবহার করে এই সূত্রটি বের করার অন্যান্য উপায়ও রয়েছে।

উদাহরণ 1

আসুন একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার একটি উদাহরণ দেখি।

অবস্থা: $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$ ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

সমাধান: $2^x, 3^x$ এবং $10^x$ আমরা সূত্র প্রয়োগ করি $(a^x)"=a^x\cdot ln a$। উদ্ভূত সূত্র অনুসারে $(e^x)" =e^x$ চতুর্থ পদ $e^x$ পরিবর্তন হয় না।

উত্তর: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$।

এইভাবে, আমরা প্রাথমিক ধারণাগুলির সংজ্ঞা দেওয়ার সময় সূত্রটি $(e^x)"=e^x$ তৈরি করেছি এবং একটি পদ হিসাবে একটি সূচক সহ একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার উদাহরণ বিশ্লেষণ করেছি।

সূচকীয় (e থেকে x ঘাত) এবং সূচকীয় ফাংশন (a থেকে x শক্তি) এর ডেরিভেটিভের সূত্রের প্রমাণ এবং ডেরিভেশন। e^2x, e^3x এবং e^nx এর ডেরিভেটিভ গণনার উদাহরণ। উচ্চতর আদেশের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র।

বিষয়বস্তু

আরো দেখুন: সূচকীয় ফাংশন - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, গ্রাফ
এক্সপোনেন্ট, e থেকে x পাওয়ার - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, গ্রাফ

মৌলিক সূত্র

একটি সূচকের ডেরিভেটিভ নিজেই সূচকের সমান (x পাওয়ারের e এর ডেরিভেটিভটি x পাওয়ারের e এর সমান):
(1) (e x )′ = e x.

একটি বেস a সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভটি a এর প্রাকৃতিক লগারিদম দ্বারা গুণিত ফাংশনের সমান:
(2) .

একটি সূচক হল একটি সূচকীয় ফাংশন যার পাওয়ার বেস সংখ্যা e এর সমান, যা নিম্নলিখিত সীমা:
.
এখানে এটি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা বা একটি বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এর পরে, আমরা সূচকের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র (1) প্রাপ্ত করি।

সূচকীয় ডেরিভেটিভ সূত্রের ব্যুৎপত্তি

এক্সপোনেনশিয়াল বিবেচনা করুন, x শক্তিতে ই:
y = e x।
এই ফাংশন প্রত্যেকের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়. চলুন x চলকের সাপেক্ষে এর ডেরিভেটিভ বের করি। সংজ্ঞা অনুসারে, ডেরিভেটিভ হল নিম্নলিখিত সীমা:
(3) .

আসুন এই অভিব্যক্তিটিকে পরিচিত গাণিতিক বৈশিষ্ট্য এবং নিয়মগুলিতে হ্রাস করতে রূপান্তর করি। এটি করার জন্য আমাদের নিম্নলিখিত তথ্যগুলির প্রয়োজন:
ক)সূচক সম্পত্তি:
(4) ;
খ)লগারিদমের বৈশিষ্ট্য:
(5) ;
ভিতরে)লগারিদমের ধারাবাহিকতা এবং একটানা ফাংশনের জন্য সীমার বৈশিষ্ট্য:
(6) .
এখানে একটি ফাংশন আছে যার একটি সীমা আছে এবং এই সীমাটি ইতিবাচক।
ছ)দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার অর্থ:
(7) .

আসুন এই তথ্যগুলিকে আমাদের সীমাতে প্রয়োগ করি (3)। আমরা সম্পত্তি ব্যবহার করি (4):
;
.

এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক. তারপর; .
সূচকের ধারাবাহিকতার কারণে,
.
অতএব, যখন, . ফলস্বরূপ আমরা পাই:
.

এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক. তারপর এ, . এবং আমাদের আছে:
.

লগারিদম বৈশিষ্ট্য (5) প্রয়োগ করা যাক:
. তারপর
.

আসুন সম্পত্তি প্রয়োগ করি (6)। যেহেতু একটি ইতিবাচক সীমা আছে এবং লগারিদম ক্রমাগত, তারপর:
.
এখানে আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা (7) ব্যবহার করেছি। তারপর
.

এইভাবে, আমরা সূচকের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র (1) পেয়েছি।

একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রের ব্যুৎপত্তি

এখন আমরা ডিগ্রী a এর বেস সহ সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র (2) বের করি। আমরা বিশ্বাস করি যে এবং . তারপর সূচকীয় ফাংশন
(8)
প্রত্যেকের জন্য সংজ্ঞায়িত।

আসুন সূত্র রূপান্তর করি (8)। এটি করার জন্য, আমরা সূচকীয় ফাংশন এবং লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করব।
;
.
সুতরাং, আমরা সূত্র (8) কে নিম্নলিখিত ফর্মে রূপান্তরিত করেছি:
.

e থেকে x পাওয়ারের উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভ

এখন উচ্চতর আদেশের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক। আসুন প্রথমে সূচকটি দেখি:
(14) .
(1) .

আমরা দেখতে পাই যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ (14) ফাংশন (14) নিজেই সমান। পার্থক্য করে (1), আমরা দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ক্রম থেকে ডেরিভেটিভগুলি পাই:
;
.

এটি দেখায় যে nth অর্ডার ডেরিভেটিভও মূল ফাংশনের সমান:
.

সূচকীয় ফাংশনের উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভ

এখন ডিগ্রী a এর ভিত্তি সহ একটি সূচকীয় ফাংশন বিবেচনা করুন:
.
আমরা এটির প্রথম অর্ডার ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি:
(15) .

পার্থক্য করে (15), আমরা দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ক্রম থেকে ডেরিভেটিভগুলি পাই:
;
.

আমরা দেখতে পাই যে প্রতিটি পার্থক্য মূল ফাংশনকে দ্বারা গুণিত করে। অতএব, nম ক্রম ডেরিভেটিভের নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:
.

আরো দেখুন: