বাড়ির সম্মুখভাগ। আনুষাঙ্গিক. সাইডিং। সিঁড়ি। ডিজাইন। উপকরণ। গ্লেজিং। দরজা
তুমি কি এখানে: » »

ভলিউম এবং পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলির জন্য মৌলিক সূত্র। কিভাবে গণনা করা যায় এবং এলাকা নির্ধারণ করা যায়। ত্রিভুজ। বেস এবং উচ্চতা মাধ্যমে

একটি জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল- একটি জ্যামিতিক চিত্রের একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য যা এই চিত্রটির আকার দেখাচ্ছে (এই চিত্রটির বন্ধ কনট্যুর দ্বারা সীমাবদ্ধ পৃষ্ঠের অংশ)। এর মধ্যে থাকা বর্গ এককের সংখ্যা দ্বারা এলাকার আকার প্রকাশ করা হয়।

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

  1. পাশাপাশি এবং উচ্চতা দ্বারা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলএকটি ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক গুণফল এবং এই দিকে টানা উচ্চতার দৈর্ঘ্যের সমান
  2. তিন বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
  3. তিনটি বাহু এবং খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলত্রিভুজের অর্ধ-ঘেরের গুণফল এবং উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।
    4. যেখানে S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
    - ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য,
    - ত্রিভুজের উচ্চতা,
    - পক্ষের মধ্যে কোণ এবং,
    - খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
    R - পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,

বর্গক্ষেত্রের সূত্র

  1. পাশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    বর্গাকার এলাকাএর পাশের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান।
  2. তির্যক দৈর্ঘ্য বরাবর একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    বর্গাকার এলাকাএর তির্যকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক বর্গক্ষেত্রের সমান।
    S=1 2
    2
    3. যেখানে S হল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
    - বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য,
    - বর্গক্ষেত্রের তির্যকের দৈর্ঘ্য।

আয়তক্ষেত্র এলাকা সূত্র

    একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলএর দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান

    যেখানে S হল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
    - আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।

সমান্তরাল ক্ষেত্রফলের সূত্র

  1. পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর ভিত্তি করে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল
  2. দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলএটির বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন দ্বারা গুণিত হয়।

    a b sin α

    3. যেখানে S সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল,
    - সমান্তরালগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্য,
    - সমান্তরালগ্রাম উচ্চতার দৈর্ঘ্য,
    - সমান্তরালগ্রামের বাহুর মধ্যবর্তী কোণ।

রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র

  1. পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর ভিত্তি করে একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএটির পাশের দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান এবং এই দিকে নামানো উচ্চতার দৈর্ঘ্য।
  2. পার্শ্ব দৈর্ঘ্য এবং কোণের উপর ভিত্তি করে একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র
    একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএর বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের গুণফল এবং রম্বসের বাহুর মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান।
  3. একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র তার কর্ণের দৈর্ঘ্যের উপর ভিত্তি করে
    একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএর কর্ণের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক গুণফলের সমান।
    4. যেখানে S হল রম্বসের ক্ষেত্রফল,
    - রম্বসের পাশের দৈর্ঘ্য,
    - রম্বসের উচ্চতার দৈর্ঘ্য,
    - রম্বসের পক্ষের মধ্যে কোণ,
    1, 2 - কর্ণের দৈর্ঘ্য।

ট্র্যাপিজয়েড এলাকার সূত্র

  1. ট্র্যাপিজয়েডের জন্য হেরনের সূত্র

    যেখানে S হল ট্র্যাপিজয়েডের এলাকা,
    - ট্র্যাপিজয়েডের ঘাঁটির দৈর্ঘ্য,
    - ট্র্যাপিজয়েডের পাশের দৈর্ঘ্য,

পৃথিবীকে কীভাবে পরিমাপ করা যায় তার জ্ঞান প্রাচীনকালে আবির্ভূত হয়েছিল এবং ধীরে ধীরে জ্যামিতি বিজ্ঞানে রূপ নিয়েছে। এই শব্দটি গ্রীক থেকে "ভূমি জরিপ" হিসাবে অনুবাদ করা হয়েছে।

দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থে পৃথিবীর একটি সমতল অংশের ব্যাপ্তির পরিমাপ হল ক্ষেত্রফল। গণিতে, এটি সাধারণত ল্যাটিন অক্ষর এস (ইংরেজি "বর্গ" - "ক্ষেত্রফল", "বর্গ") বা গ্রীক অক্ষর σ (সিগমা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। S একটি সমতলে একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল বা একটি শরীরের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে নির্দেশ করে এবং σ হল পদার্থবিদ্যায় একটি তারের ক্রস-বিভাগীয় এলাকা। এগুলি হল প্রধান প্রতীক, যদিও অন্য থাকতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, উপকরণের শক্তির ক্ষেত্রে, A হল প্রোফাইলের ক্রস-বিভাগীয় এলাকা।

সঙ্গে যোগাযোগ

গণনার সূত্র

সাধারণ পরিসংখ্যানগুলির ক্ষেত্রগুলি জেনে, আপনি আরও জটিলগুলির পরামিতিগুলি খুঁজে পেতে পারেন।. প্রাচীন গণিতবিদরা এমন সূত্র তৈরি করেছিলেন যা সহজেই তাদের গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ধরনের পরিসংখ্যান হল ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বহুভুজ, বৃত্ত।

একটি জটিল সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য, এটিকে ত্রিভুজ, ট্র্যাপিজয়েড বা আয়তক্ষেত্রের মতো অনেক সাধারণ চিত্রে বিভক্ত করা হয়। তারপর, গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে, এই চিত্রটির ক্ষেত্রফলের জন্য একটি সূত্র বের করা হয়। একটি অনুরূপ পদ্ধতি শুধুমাত্র জ্যামিতিতে নয়, গাণিতিক বিশ্লেষণেও বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলি গণনা করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

ত্রিভুজ

আসুন সহজতম চিত্র দিয়ে শুরু করি - একটি ত্রিভুজ। তারা আয়তক্ষেত্রাকার, সমদ্বিবাহু এবং সমবাহু। AB=a, BC=b এবং AC=c (∆ ABC) বাহু সহ যেকোন ত্রিভুজ ABC নিন। এর ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য, স্কুলের গণিতের কোর্স থেকে জানা সাইন এবং কোসাইন উপপাদ্যগুলো স্মরণ করি। সমস্ত গণনা বাদ দিয়ে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রগুলিতে পৌঁছেছি:

  • S=√ - হেরনের সূত্র, সবার কাছে পরিচিত, যেখানে p=(a+b+c)/2 হল ত্রিভুজের অর্ধ-ঘের;
  • S=a h/2, যেখানে h হল উচ্চতা a এর দিকে নামানো;
  • S=a b (sin γ)/2, যেখানে γ হল a এবং b বাহুর মধ্যে কোণ;
  • S=a b/2, যদি ∆ ABC আয়তক্ষেত্রাকার হয় (এখানে a এবং b পা হয়);
  • S=b² (sin (2 β))/2, যদি ∆ ABC সমদ্বিবাহু হয় (এখানে b হল "হিপস" এর একটি, β হল ত্রিভুজের "হিপস" এর মধ্যবর্তী কোণ);
  • S=a² √¾, যদি ∆ ABC সমবাহু হয় (এখানে a ত্রিভুজের একটি বাহু)।

চতুর্ভুজ

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d সহ একটি চতুর্ভুজ ABCD থাকুক। একটি নির্বিচারে 4-gon-এর ক্ষেত্রফল S বের করতে, আপনাকে এটিকে তির্যক দ্বারা দুটি ত্রিভুজে ভাগ করতে হবে, যেগুলির ক্ষেত্রগুলি সাধারণ ক্ষেত্রে S1 এবং S2 সমান নয়।

তারপরে তাদের গণনা করতে সূত্রগুলি ব্যবহার করুন এবং সেগুলি যোগ করুন, যেমন S=S1+S2। যাইহোক, যদি একটি 4-gon একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর অন্তর্গত হয়, তবে এর ক্ষেত্রটি পূর্বে পরিচিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

  • S=(a+c) h/2=e h, যদি টেট্রাগন একটি ট্র্যাপিজয়েড হয় (এখানে a এবং c হল বেস, e হল ট্র্যাপিজয়েডের মধ্যরেখা, h হল ট্র্যাপিজয়েডের ভিত্তিগুলির একটিতে নামানো উচ্চতা;
  • S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, যদি ABCD একটি সমান্তরাল হয় (এখানে φ হল a এবং b বাহুর মধ্যবর্তী কোণ, h হল a পাশে নেমে যাওয়া উচ্চতা, d1 এবং d2 কর্ণ);
  • S=a b=d²/2, যদি ABCD একটি আয়তক্ষেত্র হয় (d একটি তির্যক);
  • S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, যদি ABCD একটি রম্বস হয় (a হল রম্বসের পার্শ্ব, φ হল এর একটি কোণ, P হল পরিধি);
  • S=a²=P²/16=d²/2, যদি ABCD একটি বর্গ হয়।

বহুভুজ

একটি এন-গনের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য, গণিতবিদরা এটিকে সহজতম সমান পরিসংখ্যান - ত্রিভুজগুলিতে বিভক্ত করেন, তাদের প্রতিটির ক্ষেত্রফল খুঁজুন এবং তারপরে তাদের যোগ করুন। কিন্তু যদি বহুভুজ নিয়মিত শ্রেণীর অন্তর্গত হয়, তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করুন:

S=a n h/2=a² n/=P²/, যেখানে n হল বহুভুজের শীর্ষবিন্দু (বা বাহুর) সংখ্যা, a হল n-gon-এর পার্শ্ব, P হল এর পরিধি, h হল apothem, অর্থাৎ a 90° কোণে বহুভুজের কেন্দ্র থেকে এর একটি বাহুতে আঁকা অংশ।

বৃত্ত

একটি বৃত্ত হল একটি নিখুঁত বহুভুজ যার বাহুর সংখ্যা অসীম. আমাদের একটি বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রে ডানদিকের অভিব্যক্তির সীমা গণনা করতে হবে যার বাহুর সংখ্যা n অসীমের দিকে ঝুঁকছে। এই ক্ষেত্রে, বহুভুজের পরিধি R ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের দৈর্ঘ্যে পরিণত হবে, যা আমাদের বৃত্তের সীমানা হবে এবং P=2 π R এর সমান হবে। উপরের সূত্রে এই রাশিটিকে প্রতিস্থাপন করুন। আমরা পাব:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n))।

n→∞ হিসাবে এই রাশিটির সীমা খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা বিবেচনা করি যে n→∞ এর জন্য lim (cos (180°/n)) হল cos 0°=1 (lim হল সীমার চিহ্ন), এবং n→∞ এর জন্য lim = lim হল 1/π এর সমান (আমরা π rad=180° সম্পর্ক ব্যবহার করে ডিগ্রী পরিমাপকে রেডিয়ানে রূপান্তর করেছি, এবং x→∞ এ প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা লিম (sin x)/x=1 প্রয়োগ করেছি)। প্রাপ্ত মানগুলিকে S-এর শেষ অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করে, আমরা সুপরিচিত সূত্রে পৌঁছেছি:

S=π² R² 1 (1/π)=π R²।

ইউনিট

পরিমাপের পদ্ধতিগত এবং নন-সিস্টেমিক একক ব্যবহার করা হয়. সিস্টেম ইউনিট SI (সিস্টেম ইন্টারন্যাশনাল) এর অন্তর্গত। এটি একটি বর্গ মিটার (বর্গ মিটার, m²) এবং এটি থেকে প্রাপ্ত একক: mm², cm², km²।

বর্গ মিলিমিটারে (মিমি²), উদাহরণস্বরূপ, তারা বৈদ্যুতিক প্রকৌশলে তারের ক্রস-বিভাগীয় এলাকা পরিমাপ করে, বর্গ সেন্টিমিটার (সেমি²) - স্ট্রাকচারাল মেকানিক্সে একটি বিমের ক্রস-সেকশন, বর্গ মিটারে (m²) - একটি অ্যাপার্টমেন্ট বা বাড়িতে, বর্গ কিলোমিটারে (কিমি²) - ভূগোলে।

যাইহোক, কখনও কখনও পরিমাপের অ-পদ্ধতিগত একক ব্যবহার করা হয়, যেমন: বুনা, আর (ক), হেক্টর (হেক্টর) এবং একর (এসি)। আসুন আমরা নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি উপস্থাপন করি:

  • 1 শত বর্গ মিটার = 1 a = 100 m² = 0.01 হেক্টর;
  • 1 ha=100 a=100 acres=10000 m²=0.01 km²=2.471 ac;
  • 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 একর = 0.405 হেক্টর।

বর্গক্ষেত্র জ্যামিতিক আকার- সংখ্যাসূচক মানগুলি দ্বি-মাত্রিক স্থানে তাদের আকারকে চিহ্নিত করে। এই মান সিস্টেম এবং নন-সিস্টেম ইউনিটে পরিমাপ করা যেতে পারে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ক্ষেত্রফলের একটি নন-সিস্টেমিক একক হল শততম, এক হেক্টর। যদি পৃষ্ঠটি পরিমাপ করা হয় তা জমির একটি টুকরো হলে এটি হয়। ক্ষেত্রফলের সিস্টেম ইউনিট হল দৈর্ঘ্যের বর্গ। SI পদ্ধতিতে সমতল ক্ষেত্রফলের একক হল বর্গ মিটার। GHS-এ, ক্ষেত্রফলের একককে বর্গ সেন্টিমিটার হিসাবে প্রকাশ করা হয়।

জ্যামিতি এবং এলাকা সূত্রগুলি অবিচ্ছেদ্যভাবে সংযুক্ত। এই সংযোগ সত্য যে এলাকার গণনা নিহিত সমতল পরিসংখ্যানতাদের আবেদনের উপর ভিত্তি করে। অনেক পরিসংখ্যানের জন্য, বেশ কয়েকটি বিকল্প পাওয়া যায় যেখান থেকে তাদের বর্গ মাত্রা গণনা করা হয়। সমস্যা বিবৃতি থেকে তথ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা সবচেয়ে সহজ সম্ভাব্য সমাধান নির্ধারণ করতে পারি। এটি গণনাকে সহজতর করবে এবং গণনার ত্রুটির সম্ভাবনা ন্যূনতম পর্যন্ত কমিয়ে দেবে। এটি করার জন্য, জ্যামিতিতে পরিসংখ্যানের প্রধান ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করুন।

যে কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্রগুলো বিভিন্ন বিকল্পে উপস্থাপন করা হয়েছে:

1) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বেস a এবং উচ্চতা h থেকে গণনা করা হয়। ভিত্তিটি চিত্রটির পাশ হিসাবে বিবেচিত হয় যার উপর উচ্চতা কমানো হয়। তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল:

2) একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একইভাবে গণনা করা হয় যদি কর্ণকে ভিত্তি হিসাবে বিবেচনা করা হয়। যদি আমরা পাকে ভিত্তি হিসেবে নিই, তাহলে সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অর্ধেক পায়ের গুণফলের সমান হবে।

যে কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনার সূত্র সেখানে শেষ হয় না। আরেকটি অভিব্যক্তি রয়েছে পক্ষ ক, খএবং a এবং b এর মধ্যে γ কোণের একটি সাইনোসয়েডাল ফাংশন। সাইন মান টেবিলে পাওয়া যায়। আপনি একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এটি খুঁজে পেতে পারেন। তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল:

এই সমতা ব্যবহার করে, আপনি নিশ্চিত করতে পারেন যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পায়ের দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে নির্ধারণ করা হয়েছে। কারণ কোণ γ একটি সমকোণ, তাই একটি সমকোণ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সাইন ফাংশন দ্বারা গুণ না করে গণনা করা হয়।

3) একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন - একটি নিয়মিত ত্রিভুজ, যার পার্শ্ব a শর্ত দ্বারা পরিচিত বা সমাধান করার সময় এর দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। জ্যামিতি সমস্যায় চিত্র সম্পর্কে আর কিছুই জানা যায় না। তাহলে এই অবস্থায় এলাকা খুঁজে বের করবেন কীভাবে? এই ক্ষেত্রে, একটি নিয়মিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি প্রয়োগ করা হয়:

আয়তক্ষেত্র

কিভাবে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করবেন এবং একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু আছে এমন বাহুগুলির মাত্রা ব্যবহার করবেন? গণনার জন্য অভিব্যক্তি হল:

আপনি যদি একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে কর্ণের দৈর্ঘ্য ব্যবহার করতে চান, তাহলে আপনার কোণের সাইনের একটি ফাংশন প্রয়োজন হবে যখন তারা ছেদ করে। একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের এই সূত্রটি হল:

বর্গক্ষেত্র

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের দ্বিতীয় শক্তি হিসাবে নির্ধারিত হয়:

প্রমাণটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে একটি বর্গক্ষেত্র একটি আয়তক্ষেত্র। একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করা সমস্ত দিক একই মাত্রা আছে। অতএব, এই জাতীয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করা একটিকে অন্যটি দ্বারা গুণ করার জন্য নেমে আসে, অর্থাৎ, পাশের দ্বিতীয় শক্তিতে। এবং একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনার সূত্রটি পছন্দসই রূপ নেবে।

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অন্য উপায়ে পাওয়া যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি তির্যক ব্যবহার করেন:

একটি বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতলের একটি অংশ দ্বারা গঠিত একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়? এলাকা গণনা করার জন্য, সূত্রগুলি হল:

সমান্তরাল বৃত্ত

একটি সমান্তরালগ্রামের জন্য, সূত্রটিতে পাশের রৈখিক মাত্রা, উচ্চতা এবং গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - গুণ। যদি উচ্চতা অজানা থাকে, তাহলে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কিভাবে বের করা যায়? গণনা করার আরেকটি উপায় আছে। একটি নির্দিষ্ট মান প্রয়োজন হবে, যা সংলগ্ন বাহু দ্বারা গঠিত কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, সেইসাথে তাদের দৈর্ঘ্য দ্বারা নেওয়া হবে।

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্রগুলি হল:

রম্বস

রম্বস নামক চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কিভাবে বের করা যায়? একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল তির্যক সহ সরল গণিত ব্যবহার করে নির্ধারণ করা হয়। প্রমাণটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে d1 এবং d2 তে তির্যক অংশগুলি সমকোণে ছেদ করে। সাইন টেবিল থেকে এটা দেখা যাবে যে জন্য সমকোণএই ফাংশন এক সমান. অতএব, একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

রম্বসের ক্ষেত্রফল অন্যভাবেও পাওয়া যায়। এটি প্রমাণ করাও কঠিন নয়, এটির দিকগুলি দৈর্ঘ্যে একই। তারপর একটি সমান্তরালগ্রাম জন্য একটি অনুরূপ অভিব্যক্তি মধ্যে তাদের পণ্য প্রতিস্থাপন. সর্বোপরি, এই নির্দিষ্ট চিত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি রম্বস। এখানে γ হল রম্বসের অভ্যন্তরীণ কোণ। একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়:

ট্র্যাপিজয়েড

যদি সমস্যাটি তাদের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে তবে ঘাঁটির (a এবং b) মাধ্যমে একটি ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়? এখানে, উচ্চতা দৈর্ঘ্য h এর একটি পরিচিত মান ছাড়া, এই জাতীয় ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করা সম্ভব হবে না। কারণ এই মানটি গণনার জন্য অভিব্যক্তি ধারণ করে:

একটি আয়তক্ষেত্রাকার ট্র্যাপিজয়েডের বর্গক্ষেত্রের আকারও একইভাবে গণনা করা যেতে পারে। এটি বিবেচনায় নেওয়া হয় যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার ট্র্যাপিজয়েডে উচ্চতা এবং পাশের ধারণাগুলি একত্রিত হয়। অতএব, একটি আয়তক্ষেত্রাকার ট্র্যাপিজয়েডের জন্য, আপনাকে উচ্চতার পরিবর্তে পাশের দিকের দৈর্ঘ্য নির্দিষ্ট করতে হবে।

সিলিন্ডার এবং সমান্তরাল পাইপড

পুরো সিলিন্ডারের পৃষ্ঠের গণনা করার জন্য কী প্রয়োজন তা বিবেচনা করা যাক। এই চিত্রের ক্ষেত্রফল হল একজোড়া বৃত্ত যার নাম বেস এবং একটি পার্শ্ব পৃষ্ঠ। বৃত্ত গঠনকারী বৃত্তগুলোর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r এর সমান। একটি সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফলের জন্য নিম্নলিখিত গণনা করা হয়:

তিনটি জোড়া মুখ নিয়ে গঠিত সমান্তরাল পাইপের ক্ষেত্রটি কীভাবে খুঁজে পাবেন? এর পরিমাপ নির্দিষ্ট জোড়ার সাথে মেলে। বিপরীত মুখ একই পরামিতি আছে. প্রথমে, S(1), S(2), S(3) - অসম মুখের বর্গাকার মাত্রা খুঁজুন। তারপর সমান্তরাল পাইপের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল:

রিং

একটি সাধারণ কেন্দ্র সহ দুটি বৃত্ত একটি রিং গঠন করে। তারা রিংয়ের এলাকাও সীমাবদ্ধ করে। এই ক্ষেত্রে, উভয় গণনার সূত্র প্রতিটি বৃত্তের মাত্রা বিবেচনা করে। তাদের মধ্যে প্রথমটি, রিংয়ের ক্ষেত্রফল গণনা করে, বৃহত্তর R এবং ছোট r রেডিআই ধারণ করে। আরো প্রায়ই তারা বহিরাগত এবং অভ্যন্তরীণ বলা হয়। দ্বিতীয় অভিব্যক্তিতে, রিং এলাকাটি বৃহত্তর ডি এবং ছোট ডি ব্যাসের মাধ্যমে গণনা করা হয়। সুতরাং, পরিচিত ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে বলয়ের ক্ষেত্রফল নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

ব্যাসের দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে রিংয়ের ক্ষেত্রফল নিম্নরূপ নির্ধারণ করা হয়:

বহুভুজ

কিভাবে একটি বহুভুজের ক্ষেত্র খুঁজে বের করবেন যার আকৃতি নিয়মিত নয়? এই ধরনের পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রের জন্য কোন সাধারণ সূত্র নেই। কিন্তু যদি এটি একটি স্থানাঙ্ক সমতলে চিত্রিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ এটি চেকার্ড পেপার হতে পারে, তাহলে এই ক্ষেত্রে পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাবেন? এখানে তারা এমন একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে যার জন্য আনুমানিকভাবে চিত্রটি পরিমাপের প্রয়োজন হয় না। তারা এটি করে: যদি তারা এমন পয়েন্টগুলি খুঁজে পায় যা ঘরের কোণে পড়ে বা পুরো স্থানাঙ্ক থাকে তবে কেবল সেগুলিই বিবেচনায় নেওয়া হয়। তারপর এলাকাটি কী তা খুঁজে বের করতে, পিক দ্বারা প্রমাণিত সূত্রটি ব্যবহার করুন। ভাঙা রেখার ভিতরে থাকা বিন্দুর সংখ্যা যোগ করা প্রয়োজন যার অর্ধেক বিন্দু রয়েছে এবং একটি বিয়োগ করুন, অর্থাৎ এটি এইভাবে গণনা করা হয়:

যেখানে B, G - যথাক্রমে সম্পূর্ণ ভাঙা লাইনের ভিতরে এবং উপর অবস্থিত পয়েন্টের সংখ্যা।

জ্যামিতি সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনাকে সূত্রগুলি জানতে হবে - যেমন একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বা একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল - পাশাপাশি সহজ কৌশলগুলি যা আমরা কভার করব।

প্রথমে, আসুন পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলির সূত্র শিখি। আমরা তাদের বিশেষভাবে একটি সুবিধাজনক টেবিলে সংগ্রহ করেছি। প্রিন্ট করুন, শিখুন এবং প্রয়োগ করুন!

অবশ্যই, সমস্ত জ্যামিতি সূত্র আমাদের টেবিলে নেই। উদাহরণস্বরূপ, গণিতের প্রোফাইল ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার দ্বিতীয় অংশে জ্যামিতি এবং স্টেরিওমেট্রির সমস্যাগুলি সমাধান করতে, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য অন্যান্য সূত্র ব্যবহার করা হয়। আমরা অবশ্যই তাদের সম্পর্কে আপনাকে বলব।

তবে আপনার যদি একটি ট্র্যাপিজয়েড বা ত্রিভুজের ক্ষেত্র না, তবে কিছু জটিল চিত্রের ক্ষেত্র খুঁজে বের করতে হয়? সর্বজনীন উপায় আছে! আমরা FIPI টাস্ক ব্যাঙ্ক থেকে উদাহরণ ব্যবহার করে তাদের দেখাব।

1. একটি অ-মানক চিত্রের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়? উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্বিচারে চতুর্ভুজ? একটি সহজ কৌশল - আসুন আমরা এই চিত্রটিকে তাদের মধ্যে ভাগ করি যার সম্পর্কে আমরা সবকিছু জানি এবং এর ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করি - এই পরিসংখ্যানগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি হিসাবে।

এই চতুর্ভুজকে ভাগ করা যাক অনুভূমিক রেখাদুটি ত্রিভুজে বিভক্ত যার একটি সাধারণ ভিত্তি সমান। এই ত্রিভুজের উচ্চতা সমান এবং . তারপর চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান: .

উত্তর: .

2. কিছু ক্ষেত্রে, একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলকে কিছু এলাকার পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

এই ত্রিভুজের ভিত্তি এবং উচ্চতা কত সমান তা হিসাব করা এত সহজ নয়! কিন্তু আমরা বলতে পারি যে এর ক্ষেত্রফল একটি বাহু ও তিন বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের সমান সমকোণী ত্রিভুজ. আপনি কি তাদের ছবিতে দেখতে পাচ্ছেন? আমরা পেতে: .

উত্তর: .

3. কখনও কখনও একটি টাস্কে আপনাকে পুরো চিত্রের ক্ষেত্রফল নয়, তবে এটির অংশ খুঁজে বের করতে হবে। সাধারণত আমরা একটি সেক্টরের ক্ষেত্রফল সম্পর্কে কথা বলি - একটি বৃত্তের অংশ। ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের একটি সেক্টরের ক্ষেত্রফল খুঁজুন যার চাপের দৈর্ঘ্য সমান .

এই ছবিতে আমরা একটি বৃত্তের অংশ দেখতে পাই। পুরো বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান। বৃত্তের কোন অংশটি চিত্রিত করা হয়েছে তা খুঁজে বের করা বাকি। যেহেতু সমগ্র বৃত্তের দৈর্ঘ্য সমান (যেহেতু) এবং একটি প্রদত্ত সেক্টরের চাপের দৈর্ঘ্য সমান তাই, চাপের দৈর্ঘ্য পুরো বৃত্তের দৈর্ঘ্যের চেয়ে কয়েকগুণ কম। এই চাপটি যে কোণে অবস্থিত সেটিও একটি পূর্ণ বৃত্তের (অর্থাৎ ডিগ্রী) থেকে কম একটি গুণনীয়ক। অর্থাৎ সেক্টরের ক্ষেত্রফল পুরো বৃত্তের ক্ষেত্রফলের চেয়ে কয়েকগুণ ছোট হবে।



শিরোনাম: এন্ট্রি গ্রুপ
শেয়ার করুন